Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Д.В. БЕКЛЕМИШЕВ





                КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ
                ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ




ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ


Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений







МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2009

УДК 514
ББК 22.151
     Б42


    Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 12-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 312 с. — ISBN 978-5-9221-0979-6.
    В учебнике излагается основной материал, входящий в объединенный курс аналитической геометрии и линейной алгебры: векторная алгебра, прямые и плоскости, линии и поверхности второго порядка, аффинные преобразования, системы линейных уравнений, линейные пространства, евклидовы и унитарные пространства, аффинные пространства, тензорная алгебра.
    Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений.
    Табл. 2. Ил. 55. Библиогр. 23 назв.
































ISBN 978-5-9221-0979-6

                                   © ФИЗМАТЛИТ, 2006, 2008, 2009
         © Д. В. Беклемишев, 2006, 2008, 2009

Учебное издание




БЕКЛЕМИШЕВ Дмитрий Владимирович



КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ





Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: А.М. Садовский Оформление переплета: А.Ю. Алехина














Подписано в печать 13.05.08. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 19,5. Уч.-изд. л. 22. Тираж 3000 экз.
Заказ №



Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru




Отпечатано в ГУП «ИПК Чувашия», 428019 г. Чебоксары, пр-т И.Яковлева, 13



ISBN 978-5-9221-0979-6

ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие ............................................... 8

ГЛАВА I ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Векторы............................................... 9
    1 .Предварительные замечания (9). 2.Определение вектора (9). 3.0 другом определении вектора (10). 4. Линейные операции (11). 5. Линейная зависимость векторов (13). 6. Базис (16).
§ 2. Системы координат.................................... 17
    1. Декартова система координат (17). 2. Деление отрезка в заданном

    отношении (18). 3. Декартова прямоугольная система координат (19).
    4.  Полярная система координат (19). 5. Цилиндрические и сферические координаты (20).
§ 3. Замена базиса и системы координат.......................... 21
    1.  Изменение базиса (21). 2. Изменение системы координат (22). 3. Замена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости (22).

§ 4. Скалярное, смешанное и векторное произведения.............. 24
    1. Скалярное произведение (24). 2. Ориентация прямой, плоскости и
    пространства (27).   3. Площадь ориентированного параллелограмма,
    объем ориентированного параллелепипеда (29). 4. Смешанное произведение (30).                             5. Выражение векторного и смешанного произведения
    через компоненты сомножителей (32). 6. Детерминанты второго и
    третьего порядков (33). 7. Условия коллинеарности и компланарности (35).               8. Площадь параллелограмма (36). 9. Двойное векторное
    произведение (37). 10. Биортогональный базис (37). 11. О векторных величинах (38).

ГЛАВА II ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ
§ 1. Общее понятие об уравнениях................................ 40
    1. Определения (40). 2. Алгебраические линии и поверхности (42).
    3.  Уравнения, не содержащие одной из координат (44). 4. Однородные уравнения. Конусы (45).
§ 2. Уравнения прямых и плоскостей.............................. 46

Оглавление

    1. Поверхности и линии первого порядка (46). 2. Параметрические
    уравнения прямой и плоскости (47). 3. Прямая линия на плоскости (48).                          4. Векторные уравнения плоскости и прямой (50). 5. Параллельность плоскостей и прямых на плоскости (52).  6. Уравнения
    прямой в пространстве (54).
§ 3. Основные задачи о прямых и плоскостях .................... 56
    1. Уравнение прямой, проходящей через две точки (56). 1. Уравнение
    прямой, проходящей через две точки (56). 3. Параллельность прямой и плоскости (56). 4. Полупространство (57). 5. Расстояние от точки до плоскости (58). 6. Расстояние от точки до прямой (58). 7. Расстояние между скрещивающимися прямыми (59).   8. Вычисление углов (60).
    9. Некоторые задачи на построение (60). 10. Пучок прямых (62). 11.0 геометрическом смысле порядка алгебраической линии (63).

    ГЛАВА III ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Исследование уравнения второго порядка.................... 65
§ 2. Эллипс, гипербола и парабола.............................. 69
    1. Эллипс (69). 2. Гипербола (73). 3. Парабола (76).
§ 3. Линия второго порядка, заданная общим уравнением ....       79
    1. Пересечение линии второго порядка и прямой (79). 2. Тип линии (80).                                        3. Диаметр линии второго порядка (80). 4. Центр линии
    второго порядка (81). 5. Сопряженные направления (84). 6. Главные направления (85).                                7. Касательная к линии второго порядка (85).
    8. Особые точки (86).
§ 4. Поверхности второго порядка............................... 88
    1. Поверхности вращения (88). 2. Эллипсоид (89). 3. Конус второго порядка (90). 4. Однополостный гиперболоид (90). 5. Двуполостный
    гиперболоид (91). 6. Эллиптический параболоид (92).   7. Гиперболи    ческий параболоид (92).

ГЛАВА IV ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
§ 1. Отображения и преобразования.............................. 95
    1. Определение (95). 2. Примеры (95). 3. Произведение отображе    ний (96). 4. Координатная запись отображений (98).
§ 2. Линейные преобразования .................................. 99
    1. Ортогональные преобразования (99). 2. Определение линейных преобразований (100). 3. Произведение линейных преобразований (102).
    4. Образ вектора при линейном преобразовании (103).
§ 3. Аффинные преобразования.................................. 106
    1. Образ прямой линии (106). 2. Изменение площадей при аффинном преобразовании (107).   3. Образы линий второго порядка (109).
    4. Разложение ортогонального преобразования (110).    5. Разложение
    аффинного преобразования (111).

Оглавление

5

ГЛАВА V МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Матрицы............................................... 114
    1. Определение (114). 2. Транспонирование матриц (115). 3. Некоторые виды матриц (116).                         4. Сложение и умножение на число (116).
    5. Линейная зависимость матриц (117).
§ 2. Умножение матриц ..................................... 120
    1. Символ У~) (120). 2. Определение и примеры (121). 3. Свойства умножения матриц (123). 4. Элементарные преобразования. Элементар    ные матрицы (125). 5. Вырожденныеи невырожденные матрицы (127).

    6. Обратная матрица (129).
§ 3. Ранг матрицы.......................................... 132
    1. Определение (132). 2. Основные теоремы (134). 3. Ранг произве    дения матриц (134). 4. Нахождение ранга матрицы (135).
§ 4. Детерминанты ......................................... 136

    1.  Определение детерминанта (136). 2. Единственность детерминанта (139).                        3. Существование детерминанта. Разложение по столбцу (140).                        4. Свойства детерминантов (142). 5. Формула полного
    разложения (143).
§ 5. Системы линейных уравнений (основной случай).............. 146
    1.  Постановка задачи (146). 2. Основной случай (148). 3. Правило
    Крамера (148). 4. Формулы для элементов обратной матрицы (149).
§ 6. Системы линейных уравнений (общая теория)................. 149
    1.  Условия совместности (149). 2. Нахождение решений (152). 3. Приведенная система (152). 4. Общее решение системы линейных уравнений (155). 5. Пример (155).


ГЛАВА VI ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Основные понятия..................................... 158
    1. Определение линейного пространства (158). 2. Простейшие следст    вия (160). 3. Линейная зависимость (160). 4. Базис (161). 5. Замена базиса (164). 6. Ориентация пространства (165).
§ 2. Линейные подпространства............................. 166
    1. Определения и примеры (166). 2. Сумма и пересечение подпрост    ранств (168).
§ 3. Линейные отображения ................................ 172

    1.  Определение (172). 2. Координатная запись отображений (174).
    3.  Изоморфизм линейных пространств (176). 4. Изменение матрицы
    линейного отображения при замене базисов (177). 5. Канонический
    вид матрицы линейного отображения (177). 6. Сумма и произведение отображений (177).
§ 4.  Задача о собственных векторах.............................. 179
    1.  Линейные преобразования (179). 2. Умножение преобразований (180).
    3.  Инвариантные подпространства (181). 4. Собственные подпространства (183). 5. Характеристическое уравнение (184). 6. Свойства собст-

Оглавление

    венных подпространств (186).   7. Комплексные характеристические
    числа (187). 8. Приведение матрицы преобразования к диагональному виду (188). 9. Приведение матрицы преобразования к треугольному
    виду (190).
§ 5.  Линейные функции.......................................... 192
    1.  Определение функции (192). 2. Линейные функции (192). 3. Со    пряженное пространство (194).
§ 6.  Квадратичные формы ....................................... 196
    1.  Билинейные функции (196). 2. Квадратичные формы (198). 3. Ранг и индекс квадратичной формы (202).  4. Полуторалинейные функ    ции (205).
§ 7.  Теорема Жордана........................................... 207
    1.  Теорема Гамильтона-Кэли (207). 2. Корневые подпространства (208).
    3.  Строение корневого подпространства (209). 4. Теорема Жорда    на (212). 5. Приведение к жордановой форме (213).

    ГЛАВА VII ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1.  Евклидовы пространства ................................... 216
    1.  Скалярное произведение (216). 2. Длина и угол (217). 3. Выраже    ние скалярного произведения через координаты сомножителей (218).
    4.  Ортогональные базисы (219). 5. Ортогональные матрицы (220).
    6.  Ортого- нальное дополнение подпространства (221). 7. Ортогональные проекции (222). 8. Метод ортогонализации (223). 9. <2Г?-разло    жение (224). 10. Объем параллелепипеда (224).
§ 2.  Линейные преобразования евклидовых пространств........... 226
    1.  Преобразование, сопряженное данному (226). 2. Самосопряженные
    преобразования (228). 3. Изоморфизм евклидовых пространств (231).
    4.  Ортогональные преобразования (232). 5. Сингулярное разложение (233).                              6. Полярное разложение (236). 7. Сингулярные числа
    линейного преобразования (237).
§ 3.  Функции на евклидовых пространствах ...................... 239
    1.  Линейные функции (239).    2. Преобразование, присоединенное к
    билинейной функции (240). 3. Ортонормированный базис, в котором
    квадратичная форма имеет диагональный вид (241).
§ 4.  Понятие об унитарных пространствах ....................... 243
    1.  Определение (243). 2. Свойства унитарных пространств (245). 3. Самосопряженные и унитарные преобразования (246). 4. Эрмитовы формы в унитарном пространстве (247).


ГЛАВА VIII АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Плоскости ........................................ 249
    1. Аффинное пространство (249). 2. Плоскости в аффинном пространстве (251).
§ 2. Общая теория линий и поверхностей второго порядка .... 252

Оглавление

7

    1. Закон преобразования коэффициентов (252). 2. Линии второго по    рядка на плоскости (255). 3. Ортогональные инварианты (256). 4. Поверхности второго порядка (257).

ГЛАВА IX ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1.  Тензоры в линейном пространстве...................... 263
    1. Вводные замечания (263). 2. Обозначения (263). 3. Определение и примеры (265).                              4. Линейные операции (268). 5. Умножение
    тензоров (269). 6. Свертывание (270). 7. Транспонирование (272).
    8. Симметрирование и альтернирование (273).  9. Замечание (274).
    10. Симметричные и антисимметричные тензоры (275).
§ 2.  Тензоры в евклидовом пространстве ................... 277
    1. Метрический тензор (277). 2. Поднятие и опускание индексов (277).
    3. Евклидовы тензоры (278).
§ 3. Поливекторы. Внешние формы ........................... 281
    1. р-векторы (281). 2. Относительные инварианты (283). 3. Внешние формы (284). 4. Внешнее умножение (285).

Указания и ответы к упражнениям............................ 289

Предметный указатель....................................... 302

Список литературы.......................................... 306

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Эта книга отражает многолетний опыт преподавания соответствующего курса в Московском физико-техническом институте. Особенности подготовки студентов МФТИ вызывают необходимость ускоренного изложения курса математики, по объему приближающегося к университетскому. В связи с этим аналитическая геометрия излагается так, чтобы на простом и доступном материале подготовить студента к изучению линейной алгебры. Собственно линейной алгебре, т. е. теории линейных пространств, предпослана большая глава о системах линейных уравнений и матрицах. Ее цель — дать читателю исследование систем линейных уравнений, независимое от методов линейной алгебры. В этой же главе собраны и другие сведения, необходимые для дальнейшего.
   Настоящее издание существенно отличается от предыдущих. Добавлена теорема о приведении матрицы линейного преобразования к треугольному виду, параграфы о теореме Жордана и о сингулярном разложении матрицы. В настоящем издании улучшены некоторые доказательства и исправлены погрешности предыдущего. Более подробное представление о строении книги можно получить из оглавления.
   Мне хочется с благодарностью отметить то влияние, которое оказали на эту книгу преподаватели кафедры высшей математики МФТИ, больше других все, читавшие лекции по курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Особенно я благодарен проф. А.А. Абрамову, проф. Л.А. Беклемишевой, чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцеву, проф. В.Б. Лидскому, акад. Л.В. Овсянникову, проф. С.С. Рыш-кову, проф. С.А. Теляковскому.

ГЛАВА I


ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА








§ 1. Векторы

   1.    Предварительные замечания. Первые главы этой книги можно рассматривать как продолжение школьного курса геометрии. Известно, что каждая математическая дисциплина основывается на некоторой системе не доказываемых предложений, называемых аксиомами. Полный перечень аксиом геометрии, так же, как и обсуждение роли аксиом в математике, можно найти в книге Н.В. Ефимова [5]. (Цифры в квадратных скобках означают ссылки на список рекомендуемой литературы, помещенный в конце книги.)
   Мы не ставим себе целью изложение логических основ предмета и потому просто опираемся на теоремы, доказываемые в курсе элементарной геометрии. Равным образом мы не пытаемся дать определения основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости. Читатель, интересующийся их строгим введением, может обратиться к той же книге Н.В. Ефимова, мы же просто будем считать, что эти и другие введенные в школьном курсе математики понятия известны читателю.
   Предполагаются также известными определение вещественных (действительных) чисел и их основные свойства. (Строгая теория вещественного числа приводится в учебниках математического анализа.) Будет широко использоваться то обстоятельство, что при выбранной единице измерения каждому отрезку можно сопоставить положительное вещественное число, называемое его длиной. Единицу измерения длин мы будем считать выбранной раз и навсегда и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются.
   2.    Определение вектора. Понятие вектора также известно из школьного курса, но лучше напомнить основные факты, с ним связанные. Пару точек мы называем упорядоченной, если про эти точки известно, какая из них первая, а какая — вторая.
   Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется направленным отрезком или вектором. Первый из его концов называется началом, второй — концом вектора. К векторам относится и нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.
   Направление вектора на рисунке принято обозначать стрелкой, над буквенным обозначением вектора тоже ставится стрелка, напри