Математика. ЕГЭ. Профильный уровень. Сборник задач с теоретическим материалом, примерами решений и тренировочными вариантами

ЕГЭ. ПРОФИЛЬНЫЙ
УРОВЕНЬ
Сборник задач

с теоретическим материалом,
примерами решений
и тренировочными
вариантами

Москва
Лаборатория знаний
2021

Учебно-методическое пособие

Под редакцией

Электронное издание

М. В. Федотова

МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва,  А. Б. Золотарёв

УДК 512
ББК 22.1я729+22.1я721.6
З-80

З-80
Математика. ЕГЭ. Профильный уровень. Сборник
задач с теоретическим материалом, примерами решений
и тренировочными вариантами : учебно-методическое
пособие / Н. Д. Золотарёва, А. Б. Золотарёв ; под ред.
М. В. Федотова. — Электрон. изд. — М. : Лаборатория
знаний, 2021. — 275 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл.
с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-701-1
Настоящее пособие составлено на основе задач открытого
банка заданий ЕГЭ. Пособие содержит краткое описание каждой из девятнадцати задач ЕГЭ по математике профильного
уровня, теоретический материал, примеры решений задач
и 10 тренировочных вариантов.
Рекомендуется абитуриентам, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.
УДК 512
ББК 22.1я729+22.1я721.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика. ЕГЭ. Профильный уровень. Сборник задач с теоретическим материалом, примерами решений и тренировочными
вариантами : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, А. Б. Золотарёв ; под ред. М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 270 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). —
ISBN 978-5-00101-350-1.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или
выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-701-1

© Н. Д. Золотарёва,
А. Б. Золотарёв, 2021

© Лаборатория знаний, 2021

СОДЕРЖАНИЕ

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Используемые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Об экзамене
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Часть
I. Задания с кратким ответом
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Задание № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Задание № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

Задание № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

Задание № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

Задание № 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

Задание № 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

Задание № 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

Задание № 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

Задание № 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

Задание № 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

Задание № 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Задание № 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Часть II. Задания с развернутым ответом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Задание № 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Задание № 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Задание № 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Задание № 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Задание № 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Задание № 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Задание № 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Часть III. Тренировочные варианты ЕГЭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Вариант 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Вариант 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Вариант 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Вариант 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Вариант 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Вариант 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Вариант 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Вариант 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Содержание

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Задание № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Задание № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Задание № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Задание № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Задание № 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Задание № 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Задание № 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Задание № 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Задание № 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Задание № 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Задание № 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Задание № 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Задание № 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Задание № 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Задание № 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Задание № 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Задание № 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Задание № 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Задание № 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Вариант 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Вариант 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Вариант 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Вариант 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Вариант 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Вариант 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Вариант 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Вариант 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

ОТ РЕДАКТОРА

Уважаемые читатели, вы держите в руках одну из книг серии
«ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие
в эту серию, являются результатом многолетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета
вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ имени
М. В. Ломоносова.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информатике
и физике для старшеклассников для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и вступительным экзаменам в вузы. Недавно вышли пособия
по математике для подготовки к ГИА для девятиклассников.
Настоящее
пособие
составлено
на
основе
задач
открытого
банка
заданий
ЕГЭ
и
будет
полезно
старшеклассникам
при
подготовке к сдаче ЕГЭ, поскольку охватывает все типы задач,
входящих в экзамен профильного уровня по математике. Для
подготовки
к
дополнительному
вступительному
экзамену
по
математике,
который
проводят
МГУ
имени
М. В. Ломоносова
и некоторые другие вузы, мы рекомендуем написанные нами
ранее пособия по основному и углубленному курсу по алгебре
и геометрии.

Заместитель декана по учебной работе
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для подготовки к сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня. Этот экзамен необходимо сдавать тем, кто собирается поступать в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание
методов
решения
задач,
примеры
применения
методов
и набор заданий для решения. Задачи в разделах в основном
расположены по принципу от простого — к сложному. Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов,
поэтому
сами
разделы
и
задачи
в
разделах
рекомендуется
изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач
надо после изучения соответствующего теоретического материала
и разбора примеров.

Рекомендуется абитуриентам, учителям математики, руководителям кружков и факультативов.

Желаем удачи!

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

{a}
— множество, состоящее из одного элемента a;
∪
— объединение;
∩
— пересечение;
∅
— пустое множество;
∈
— знак принадлежности;
⊂
— знак включения подмножества;
∀
— для любого;
A\B
— разность множеств A и B;
=⇒
— следовательно;
⇐⇒
— тогда и только тогда;
N
— множество всех натуральных чисел;
N0 = N ∪ {0} — множество всех целых неотрицательных чисел;
Z
— множество всех целых чисел;
Q
— множество всех рациональных чисел;
R
— множество всех действительных чисел;
ОДЗ
— область допустимых значений;
. . .
. . .
— знак системы, означающий, что должны выполняться все условия, объединенные этим знаком;
. . .
. . .
— знак совокупности, означающий, что должно выполняться хотя бы одно из условий, объединенных
этим знаком.

Необходимо отметить, что в формулировках задач параллельно
с математически более корректной терминологией типа «длина
отрезка AB равна 5» и записью |AB| = 5 используется школьная
терминология типа «отрезок AB равен 5» и запись AB = 5.

ОБ ЭКЗАМЕНЕ

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:
— часть
1
содержит
8
заданий
(задания
1–8)
с
кратким
ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
— часть 2
содержит
4
задания (задания
9–12)
с
кратким
ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби
и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная
запись решения с обоснованием выполненных действий).
По
уровню
сложности
задания
распределяются
следующим
образом: задания 1–8 имеют базовый уровень; задания 9–17 —
повышенный уровень; задания 18 и 19 относятся к высокому
уровню сложности.
Задания
части
1
экзаменационной
работы
(задания
1–8)
проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение анализировать информацию, представленную на
графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших
геометрических конструкциях. В часть 1 работы включены задания по всем основным разделам курса математики: геометрия
(планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического
анализа, теория вероятностей и статистика.
Задание с кратким ответом (1–12) считается выполненным,
если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде
целого числа или конечной десятичной дроби.
Задания части 2 работы проверяют знания на том уровне требований, который традиционно предъявляется вузами с профильным экзаменом по математике. Последние три задания части 2
предназначены для конкурсного отбора в вузы с повышенными
требованиями к математической подготовке абитуриентов.
Возможны различные способы записи развернутого решения.
Главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора
работы.
В
остальном
(метод,
форма
записи)
решение
может
быть
произвольным.
Полнота
и
обоснованность
рассуждений
оцениваются независимо от выбранного метода решения. При
решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок
математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных

Об экзамене
9

пособиях, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ
среднего общего образования.
Задания 13–19 с развернутым ответом, в числе которых 5 заданий повышенного уровня и 2 задания высокого уровня сложности,
предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов. При выполнении заданий с развернутым ответом части 2 экзаменационной работы в бланке ответов № 2 должны быть записаны
полное обоснованное решение и ответ для каждой задачи.
Правильное решение каждого из заданий 1–12 оценивается одним первичным баллом; каждого из заданий 13, 14 и 15 — двумя
первичными баллами; заданий 16 и 17 — тремя первичными баллами; 18 и 19 — четырьмя первичными баллами. Максимальное
количество первичных баллов — 32. Продолжительность экзамена
3 часа 55 минут.