Математический анализ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ

В.Г. ШЕРШНЕВ

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению
38.03.01 «Экономика»

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
 
Ш50

Шершнев В.Г.
Ш50  
Математический анализ : учебное пособие / В.Г. Шершнев. — 
Москва : ИНФРА-М, 2023. — 288 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-005488-9 (print)
ISBN 978-5-16-102414-0 (online)
Учебное пособие подготовлено на основе лекций, читаемых автором 
на экономических факультетах Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова. В пособии содержится теоретический материал 
по разделам математического анализа: множества, пределы последовательностей и функций, дифференциальное исчисление функций одной 
и нескольких переменных — неопределенный и определенный интегралы, 
дифференциальные уравнения и ряды. Приводится решение характерных 
заданий. 
Предназначено для студентов экономических направлений подготовки.

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-16-005488-9 (print)
ISBN 978-5-16-102414-0 (online)
© Шершнев В.Г., 2014

Глава 1.  ВВедение В математический анализ

1.1.  
множестВа

1.1.1.  определение множества

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.
Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, 
производная, интеграл и т.д.
Величиной называется все, что может быть измерено и выражено 
числом.
Множеством называется совокупность некоторых элементов. 
Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы 
множеств — строчными буквами. Элементы множеств заключаются 
в фигурные скобки. Если элемент  х  принадлежит множеству  Х, 
то записывают  х ∈ Х  (∈ — принадлежит). Если множество  А  является частью множества  В,  то записывают  А ⊂ В  (⊂ — содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
1) A = {2, 5, 7, 10, 8} — множество чисел;
2) X = {x1, x2, ..., xn} — множество некоторых элементов  x1, x2, ..., xn;
2) N = {1, 2, ..., n, ...} — множество натуральных чисел;
3) Z = {0, ±1, ±2, ..., ±n, ...} — множество целых чисел.
В общем случае множество элементов  х  с помощью определяющего свойства  f(x)  записывается в виде  X = {x | f(x)}.
Например:

1) Q
m
n m n
Z
n
=
∈
≠
,
,
0  — множество рациональных чисел;

2) X
x y
R x
y
=
∈
+
≤
{ ,
}
2
2
1  — множество вещественных чисел 

x, y,  для которых сумма квадратов не превосходит единицу.
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается  ∅.
При записи математических выражений часто используются 
кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.
∀ — квантор общности, используется вместо слов «для всех», 
«для любого».
∃ — квантор существования, используется вместо слов «существует», «имеется». Используется также сочетание символов  ∃!,  которое читается как существует единственный.
Например, запись  ∀ x ∈ D ∃! y ∈ E  означает, что для любого  x, 
принадлежащего множеству  D,  существует единственное  y,  принадлежащее множеству  E.

1.1.2.  операции над множествами

Два множества А и В равны (А = В), если они состоят из одних 
и тех же элементов.
Например, если  A = {1, 2, 3, 4},  B = {3, 1, 4, 2},  то  А = В.
Объединением (суммой) множеств  А  и В  называется множество 
А ∪ В,  элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если  A = {1, 2, 4},  B = {3, 4, 5, 6},  то  А ∪ В = {1, 2, 3, 
4, 5, 6}.
Если объединяются  n  множеств, то записывают  А1 ∪ А2 ∪ ... ∪

∪
=

=
A
A
n
i
i

n

1∪
.

Пересечением (произведением) множеств  А  и В  называется множество  А ∩ В,  элементы которого принадлежат как множеству  А, 
так и множеству В.
Например, если  A = {1, 2, 4},  B = {3, 4, 5, 2},  то  А ∩ В = {2, 4}.
Если множество является пересечением n множеств, то записы
вают A
A
A
A
n
i
i

n

1
2
1
∩
∩
∩
=

=
...
.
∩

Разностью множеств  А  и В  называется множество  А\В,  элементы которого принадлежат множеству  А,  но не принадлежат множеству  В.
Например, если  A = {1, 2, 3, 4},  B = {3, 4, 5},  то  А\В = {1, 2}.
Симметрической разностью множеств  А  и В  называется множество  А Δ В,  являющееся объединением разностей множеств  А\В  и 
В\А ,  т.е.  А Δ В = (А\В) ∪ (В\А).
Например, если  A = {1, 2, 3, 4},  B = {3, 4, 5, 6},  то  А Δ В =
= {1, 2} ∪ {5, 6} = {1, 2, 5, 6}.

1.1.3.  свойства операций над множествами

1. Свойство перестановочности (коммутативность) для объединения и пересечения множеств, т.е.  А ∪ В = В ∪ А;   А ∩ В = В ∩ А.
2. Сочетательное свойство (ассоциативность) для объединения 
и пересечения множеств, т.е. (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С);  (А ∩ В) ∩ С =
= А ∩ (В ∩ С).
3. Распределительное свойство (дистрибутивность) для объединения и пересечения множеств:
1) (А ∪ В) ∩ С = (А ∩ С) ∪ (В ∩ С);
2)  А ∩ (В ∪ С) = (А ∩ В) ∪ (А ∩ С);
3) (А ∩ В) ∪ С = (А ∪ С) ∩ (В ∪ С);
4)  А ∪ (В ∩ С) = (А ∪ В) ∩ (А ∪ С).
Разность множеств не обладает этими свойствами.
Если множество  В  содержится в множестве D (В ⊂ D), то разность  D\В  называется дополнением множества  В  до множества  D. 
Записывают  CD(B) = D\В.  Для дополнений множеств справедлив 
закон Моргана:
1) CD(А ∪ В) = CD(A) ∩ CD(B); 
2) CD(А ∩ В) = CD(A) ∪ CD(B).

1.1.4.  декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств называется множество 
точек  (x, y)  Rx × Ry = {(x, y)| х ∈ Rx, y ∈ Ry}.  В частном случае, если 
Rx = {х ∈ R| х ∈ [a, b]},  Ry = {y ∈ R|  y ∈ [c, d]},  то  Rx × Ry = {(x, y)| х ∈
∈ [a, b], y ∈ [c, d]}.

1.1.5.  модуль числа, его свойства

По определению x
x
x
x
x
=
≥
−
<
,
;
,
.
если
если
0
0

1) |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|;
2) |x + y| ≤ |x| + |y|;
3) |x - y| ≥ |x| - |y|   или   |x - y| ≥ |y| - |x|;
4) ||x| - |y|| ≤ |x - y| ≤ |x| + |y|.

1.1.6.  Грани числовых множеств

Число  К  называется верхней гранью множества  А,  если 
∀х ∈ A   x ≤ K.  Если  С > 0,  то  К + С  также является верхней гранью 
этого множества.
Число  k  называется нижней гранью множества  А,  если  ∀х ∈ A 
x ≥ k.  Если  С > 0,  то  k - С  также является нижней гранью этого 
множества.

Аксиома отделимости. Если  ∀х ∈ A  и  ∀y ∈ B   x ≤ y,  то существует такое число  с,  что  x ≤ c ≤ y   ∀х ∈ A  и  ∀y ∈ B.
Среди множества верхних граней  K + С  множества  А  существует наименьшая верхняя грань  M,  которая называется точной 
верхней гранью или «супремум»  М = sup (A).  Также среди множества 
нижних граней  k - С  для множества  А  существует наибольшая 
нижняя грань  m,  которая называется точной нижней гранью или 
«инфимум»  m = inf (A).
Например: 1) если  А = [0; 1],  то  sup (A) = 1,  inf (A) = 0;  2) если 
А = (0; 1),  то  sup (A) = 1,  inf (A) = 0.

1.1.7.  счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества  А  и В,  между их элементами устанавливают соответствие.
Если это соответствие взаимнооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными,  А ~ В  или  А ⇔ В.
Примеры.
1. Множества  А = {1, 2, 3, …, n, …}  и  B = {21, 22, 23, ..., 2n, ...} 
являются равномощными, так как между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие:  1 ↔ 21,  2 ↔ 22,  3 ↔ 23, 
…, n ↔ 2n, ….
2. Множество точек катета  BC  и гипотенузы  AC  треугольника 
ABC  являются равномощными (рис. 1).

Рис. 1

3. Можно установить взаимнооднозначное соответствие между 
точками отрезка [0; 1] и множеством точек всей числовой прямой 
(-∞; +∞). Построим полуокружность радиуса  r = 0,5  с центром 
в точке  С  (0,5; 0,5)  (рис. 2).

Рис. 2

Через точку  x1,  принадлежащую отрезку [0; 1], проведем прямую 
параллельно оси  Oy  до пересечения с полуокружностью в точке  M1. 
Через точки  С  и M1  проведем прямую до пересечения с осью  Ox 
в точке  x11.  Следовательно, точке  x1  соответствует точка  x11  и наоборот. Таким образом, можно установить соответствие между любой 
точкой отрезка [0; 1] и точкой множества точек числовой прямой 
(-∞; +∞).  В частности, если  x1 = 0,5,  то  x11 = 0,5;  если  x1 = 1,  то 
x11 = ∞. Следовательно, эти множества равномощные, [0; 1] ~ (-∞; ∞).
Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке 
возрастания их номеров   u1, u2, ..., un , ....
Счетным множеством называется множество эквивалентное 
множеству натуральных чисел.
Следовательно, любая последовательность является счетным 
множеством.
Предложение 1. Для того, чтобы множество было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде последовательности.
Предложение 2. Декартово произведение конечного или счетного 
числа счетных множеств является счетным множеством.
Предложение 3. Любое подмножество счетного множества является либо конечным, либо счетным.
Таким образом, счетное множество является наименее мощным из 
бесконечных множеств.
Более мощным, чем счетное множество, является множество 
действительных чисел  R = (-∞; +∞).  Его мощность называют мощностью континуума. Так как  [0; 1] ~ R,  то множество точек отрезка 
[0; 1] обладает также мощностью континуума.

1.2.  
Функции, их классиФикация

Одним из основных понятий математического анализа является 
функция.
Зачатки определения функции имелись у П. Ферма и Б. Паскаля. 
Впервые слово функция употребил Лейбниц в 1692 г.
Определение функции, наиболее близкое к современному, дал  
И. Бернулли в 1718 г.
До недавнего времени наиболее распространенным было следующее определение функции.
Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению х соответствует единственное определенное значение y. Записывается  y = f(x).
В настоящее время обычно употребляют определение функции, 
основанное на теории множеств.

Переменная величина y называется функцией переменной величины  x  с областью определения  D  и множеством значений  E,  если 
для любого значения  х,  принадлежащего множеству  D  (∀х ∈ D) 
существует единственное значение  y,  принадлежащее множеству Е 
(y ∈ E)  (рис. 3), т.е.

y = f(x) ⇔ ∀х ∈ D  ∃!  y ∈ E.

Рис. 3

Например, найти область определения и множество значений 

функции y
x
=
−

1

1
2 . Получаем  D(y) = {х ∈ R| |x| < 1},  E(y) = [1, +∞).

Если между множествами  D  и E  можно установить взаимно 
однозначное соответствие, то существует обратная функция
x = f -1(y)  или  x = ϕ(y).
Если аргумент функции  y = f(u)  является в свою очередь функцией переменной величины  х  u = ϕ(x),  то  y = f(ϕ(x))  называется 
сложной функцией.
Здесь функции  y = f(u)  и  u = ϕ(x)  называются составляющими 
функциями.
Например,   y = sin x3  сложная функция, ее составляющие функции  y = sin u  и  u = x3.
Основными элементарными функциями являются следующие:
1) y = xa,  a ∈ R — степенная функция;
2) y = ax,  a > 0,  a ≠ 1 — показательная функция;
3) y = loga x,  a > 0,  a ≠ 1 — логарифмическая функция;
4) y = sin x,  y = cosx,  y = tg x,  y = ctg x — тригонометрические 
функции;
5) y = arcsin x,  y = arccosx,  y = arctg x,  y = arcctg x — обратные 
тригонометрические функции.
Функция называется элементарной, если она образована из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических 
действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения 
в рациональную степень.

Например, y
x

x
= log

sin

2
3

.

Функция называется алгебраической, если она образована из 
независимой переменной  x  с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведение в степень с рациональным показателем.
Функция называется трансцендентной, если она не является алгебраической.
Алгебраическая функция называется иррациональной, если она 
содержит операцию извлечение корня.
Функция называется рациональной, если она является алгебраической и не содержит корней независимой переменной.
Простейшей рациональной функцией является многочлен вида

P(x) = a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an ,

где  a0, a1, ..., an - 1, an — числовые коэффициенты;  х – независимая 
переменная;  n – целое положительное число.
Любую рациональную функцию можно представить в виде отношения двух многочленов

y
P x
Q x
=
( )
( ) ,

где  Q(x) = b0xm + b1xm - 1 + ... + bm - 1x + bm,   b0, b1, ..., bm - 1, bm — числовые коэффициенты;  m – целое положительное число.

1.3.  
ПРедел ПоследоВательности

Окрестностью точки  x0  называется любой интервал, содержащий эту точку.
d-окрестностью точки x0  Ud(x0) называется интервал длиной  2d 
с центром в этой точке.
В математическом анализе обычно рассматривается  d-окрестность точки  x0  Ud(x0),  которая не содержит точку  x0  (рис. 4).

Рис. 4

Кратко записывается

Ud(x0) = {х ∈ R|   0 < |x - x0| < d}
или
Ud(x0) = (x0 - d < x < x0 ∪ x0 < x < x0 + d).

Пусть в некоторой области  D  имеется предельная точка  x0.
Точка называется предельной, если любая, сколь угодно малая,
 ее окрестность содержит бесконечное множество точек этого множества. Из любого бесконечного множества точек можно выбрать 
бесконечное счетное множество, т.е. последовательность  {xn} = x1, 
x2, ..., xn, ....  Пусть эта последовательность такая, что с увеличением 
номера n члены последовательности  xn  неограниченно приближаются к  x0 ,  но никогда не достигают его. Так что расстояние от точки 
х  до точки  x0  становится сколь угодно мало, но никогда не становится равным нулю. В этом случае говорят, что члены последовательности  {xn}  стремятся к  x0.  Стремятся к  x0 — значит неограниченно 
приближаются, но не достигают  x0  (рис. 5).

Рис. 5

Определение предела последовательности. Число  b  называется 

пределом последовательности  {xn} = x1, x2, ..., xn, ... lim{
}
,
n
n
x
b
→∞
=
(
)  

если для любого, сколь угодно малого, положительного  d  существует такое положительное число  N,  что если номер члена последовательности  n > N,  то  xn  принадлежит  d-окрестности числа  b 
(xn ∈ Ud(b)).
Кратко с помощью кванторов можно записать

lim{
}
( )
:
.
n
n
n
x
b
N
n
N
x
b
→∞
=
⇔ ∀
>
∃
>
>
⇒
<
−
<
δ
δ
δ
0
0
0

Например, доказать, что  lim
.
n
n
→∞
=
1
0  Запишем последнее соот
ношение из определения предела и преобразуем его, учитывая, что 

x
n
n = 1 , а  b = 0. Получим x
b
n
n
n
N
n −
=
−
=
<
⇔
>
⇒
=
1
0
1
1
1
δ
δ
δ
δ
( )
. 

Отсюда следует, что для того, чтобы член последовательности x
n
n = 1