Математический анализ

Рекомендовано федеральным государственным казенным 
образовательным учреждением высшего профессионального образования 
"Академия Федеральной службы безопасности Российской Федерации" 
в качестве учебного пособия для студентов (слушателей) высших учебных 
заведений, обучающихся по укрупненной группе направлений подготовки 
и специальностей 10.00.00 «Информационная безопасность»

Москва
Горячая линия – Телеком
2022

УДК. 517(075.8) 
ББК 22.16 
     Т41 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор физ.-мат. наук, с.н.с. А. М. Шойтов;  
доктор физ.-мат. наук, доцент  Ф. К. Алиев 

Т41       

Тимашев А. Н. 
    Математический анализ. Учебное пособие для вузов. −  
М.:  Горячая линия – Телеком, 2022. – 552 с.: ил.  

ISBN 978-5-9912-0546-7. 

Изложен современный курс математического анализа, предназначенный для изучения на механико-математических и физикоматематических факультетах университетов и других вузов с повышенной математической подготовкой.  
Для студентов (слушателей) высших учебных заведений, обучающихся по техническим специальностям.  

      ББК 22.16 

Учебное издание 

Тимашев Александр Николаевич 
Математический анализ 
Учебное пособие для вузов 

Тиражирование книги начато в 2017 г.     

Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме 
и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»

www.techbook.ru
© А. Н. Тимашев

Предисловие

В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот может достичь её
сияющих вершин, кто, не страшась
усталости, карабкается вверх по её
каменистым тропам.
К. Маркс

Книга представляет собой обработанные и несколько расширенные записи лекций по курсу математического анализа, которые автор многие годы читал на факультете прикладной математики Института криптографии, связи и информатики. По форме изложения — это нечто среднее между учебником и конспектом лекций.
Автор стремился «соединить доступность изложения, свойственную
учебнику, с краткостью конспекта» [1; c. 5]. Насколько ему это удалось — пусть судит читатель.
Объем материала соответствует программе курса анализа, читаемого в течение первых двух лет обучения на механико-математических и физико-математических факультетах университетов и других
вузов с повышенной математической подготовкой (с некоторыми добавлениями), за исключением следующих разделов: кратные интегралы, метрические и топологические пространства, криволинейные
интегралы, дифференциальные формы и элементы теории поля. Тему «Кратные интегралы» целесообразно рассматривать в курсе «Теория меры и интеграла», так что практикуемое в курсе анализа изложение теории кратных интегралов Римана не вызвано существенной
необходимостью (хотя простейшие типы таких интегралов рассматриваются в книге). Излагаемые обычно в анализе элементы теории
метрических и топологических пространств до некоторой степени
«повисают в воздухе», поскольку в курсе анализа почти нет примеров метрических пространств с метрикой, отличной от евклидовой
(исключение составляет пространство C[a,b], а также некоторые экзотические примеры), так что для нужд анализа, как правило, вполне
достаточно теории конечномерных евклидовых пространств над полем вещественных чисел. То же справедливо и в отношении топологических пространств, так как при рассмотрении этих вопросов в
курсе анализа не изучаются топологические пространства, не являющиеся метризуемыми, существование которых как раз и оправдывает переход к более общему понятию топологии. По мнению автора,
место этих разделов — в курсе функционального анализа. Наконец,
элементы теории криволинейных интегралов и дифференциальных
форм излагаются (в двумерном варианте) в курсе теории функций

Предисловие

комплексного переменного (включая формулу Грина), где они непосредственно и применяются.
Несмотря на наличие большого количества учебников, курсов
лекций и учебных пособий по математическому анализу, как отечественных, так и переводных, автор не пытался кого-либо копировать.
Однако при написании книги были использованы идеи, заимствованные из [5, 29] и, особенно, [22] — эти издания послужили
вдохновляющими примерами.
Материал книги разбит на главы. Нумерация осуществляется
по следующему принципу: параграфы нумеруются в пределах каждой главы, причем номеру параграфа предшествует номер главы.
Для утверждений используется тройная нумерация: номер главы,
номер параграфа, номер утверждения.
Утверждения нумеруются
подряд в пределах данного параграфа независимо от их типа. При
такой нумерации для случая примера цифра 6 не означает, что это
шестой пример в данном параграфе, а указывает лишь общий порядковый номер в ряду выделенных утверждений параграфа. Равенство, справедливое по определению, обозначается символом ≡.
В заключение хочется вспомнить своих учителей: П.С. Александрова, И.А. Вайнштейна, А.И. Узкова, И.Я. Верченко, И.Ф. Лохина,
Г.П. Толстова и других.
Автор признателен товарищам по кафедре за полезные замечания, конструктивную критику и, самое главное, многолетние содержательные беседы и обсуждения.

Сентябрь 2015 г.

Глава I
Введение

1.1. Логические основы

В этом параграфе обсуждаются правила логического вывода,
которыми следует руководствоваться при проведении доказательств
утверждений и обосновании логических высказываний (подробнее
эти вопросы рассматриваются в курсе математической логики). Логические высказывания (или утверждения) — первоначальные неопределяемые понятия.
Каждое логическое высказывание может
быть либо истинным, либо ложным, причём сразу и тем и другим
быть не может.
Логические высказывания будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т. д.
Рассмотрим некоторые примеры логических операций, т. е. правил, согласно которым одному (или нескольким) логическим высказываниям ставится в соответствие другое высказывание. Эти правила описываются с помощью так называемых таблиц истинности, в
которых для всех возможных случаев, соответствующих истинности
или ложности исходных высказываний, указывается, являются ли
это другое высказывание истинным или ложным (такие случаи далее обозначаются буквами И и Л соответственно). Ниже для каждой
операции приводятся таблицы истинности.
а) Операция логического отрицания
Если A — логическое высказывание, то его отрицание обозначается A.

A
A

И
Л

Л
И

б) Импликация A ⇒ B (читается: из A следует B):

Г л а в а I

A
B
A ⇒ B

И
И
И

И
Л
Л

Л
И
И

Л
Л
И

в) Двойная импликация A ⇔ B:

A
B
A ⇔ B

И
И
И

И
Л
Л

Л
И
Л

Л
Л
И

Из этой таблицы следует, что двойная импликация A ⇔ B истинна лишь в том случае, когда обе импликации A ⇒ B и B ⇐ A
истинны (этот факт часто формулируют так: если двойная импликация A ⇔ B истинна, то высказывание A истинно тогда и только
тогда, когда истинно высказывание B; вместо слов «тогда и только
тогда» иногда используют выражение «в том и только в том случае»)
Говорят также, что для истинности A необходима и достаточна истинность B.
г) Конъюнкция A ∧ B (читается: A и B):

A
B
A ∧ B

И
И
И

И
Л
Л

Л
И
Л

Л
Л
Л

Конъюнкция A ∧ B истинна тогда и только тогда, когда оба
высказывания A и B истинны.
1.1.1. Утверждение. Двойная импликация

(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ B)

всегда истинна.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Справедливость утверждения проверяется непосредственно во всех четырёх возможных случаях, если использовать таблицы истинности операций отрицания, импликации и
конъюнкции.
1.1.2. Замечание. Из утверждения 1.1.1 следует, что импликация A ⇒ B истинна тогда и только тогда, когда ложна конъюнкция
A ∧ B.
д) Дизъюнкция A ∨ B (читается: A или B).

Введение
7

A
B
A ∨ B

И
И
И

И
Л
И

Л
И
И

Л
Л
Л

Дизъюнкция A∨B истинна тогда и только тогда, когда истинно
хотя бы одно (т. е. ровно одно или оба) из высказываний A или B
(говорят также: либо A, либо B).
Широко применяемый метод доказательства «от противного»
основан на следующем утверждении.
1.1.3. Утверждение. Двойная импликация (A ⇒ B) ⇔ (B ⇒
⇒ A) всегда истинна.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Справедливость этого утверждения устанавливается так же, как и утверждения 1.1.1.
Из утверждения 1.1.3 следует, что импликация A ⇒ B истинна
тогда и только тогда, когда истинна импликация B ⇒ A (или эквивалентно, когда ложна конъюнкция A ∧ B — согласно утверждению
1.1.1). Таким образом, для доказательства истинности импликации
A ⇒ B достаточно обосновать истинность импликации B ⇒ A (полученной из первой по методу «от противного»).
Кроме логических операций, для связи между логическими высказываниями употребляются специальные символы, называемые
логическими кванторами: квантор существования ∃ (читается: существует); квантор всеобщности ∀ (читается: для любого (любой,
любых)); квантор единственности «!» (читается: единственный (единственная, единственное)); устанавливающий квантор «:» (или |) —
читается: такой, что (или обладающий свойством). Иногда используется обозначение (читается: пусть). Кроме того, пишут ̸ ∃ (читается: не существует).
1.1.4. Замечание. Логические кванторы следует употреблять
в строго определенном порядке. При изменении порядка расположения кванторов смысл логического высказывания может измениться
(в дальнейшем изложении у нас будет возможность не раз в этом
убедиться).

1.2. Элементы теории множеств

Понятие множества — одно из самых фундаментальных понятий всей математики. Оно является первоначальным (исходным) и
не определяется (т. е. не выражается через другие математические
понятия) в том же смысле, в котором в элементарной геометрии не
определяются понятия точки, прямой и плоскости. Эту аналогию
можно продолжить и дальше.
В элементарной геометрии точки,

Г л а в а I

прямые и плоскости задаются с помощью системы аксиом Евклида. Аналогично, излагаемая логически строго теория множеств базируется на соответствующей системе аксиом (так называемая система Цермело–Френкеля, о которой можно почитать, например, в
[10, ч. I]). Мы, однако, будем изучать элементы теории множеств,
исходя из «наивной» (т. е. неаксиоматической) точки зрения; впрочем, в следующем параграфе приводится формулировка одной из
аксиом теории множеств — аксиомы выбора; далее формулируется
утверждение, которое можно принять за аксиому, поскольку оно логически не зависит от остальных аксиом (так называемая гипотеза
континуума).
Будем понимать множество как совокупность элементов. Каждый элемент множества считается в нем ровно один раз. Множество,
не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом H. Далее множества, как правило, будем обозначать
заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т. д., а их
элементы — строчными буквами: a, b, c, d и т. д.
1.2.1. Определение. Запись a ∈ A означает, что a является
элементом множества A (или эквивалентно, что элемент a принадлежит множеству A).
Запись a /∈ A означает, что a не является
элементом множества A (т. е. элемент a не принадлежит A).
1.2.2. Определение. Запись A = {a} означает, что множество
A состоит из элементов a. Если P — некоторое свойство, которым
каждый из рассматриваемых элементов может обладать или не обладать, то запись A = {a | P} означает, что A — множество всех
рассматриваемых элементов a, обладающих свойством P (и только
таких элементов).
Далее будем обозначать:

— множество всех целых положительных (т. е. натуральных)
чисел;

— множество всех целых чисел;

— множество всех рациональных чисел;

— множество всех вещественных (т. е. действительных) чисел;

— множество всех комплексных чисел;
Иногда обозначают также:
(J) множество всех иррациональных чисел (определения всех
этих множеств будут даны ниже).
1.2.3.
Определение. Множество A, содержащее единственный элемент a, называется одноэлементным.
При этом пишут:
A = {a}.
1.2.4. Пример. Справедливо равенство {n ∈
| n2 = 4} =
= {2}.

Введение
9

1.2.5. Определение. Запись A ⊂ B означает, что любой элемент множества A является элементом множества B (т. е. ∀a ∈ A
a ∈ B). При этом A называют подмножеством множества B. Если,
кроме того, A ̸= B т. е. (∃b ∈ B: b /∈ A), то A называется собственным подмножеством B.
1.2.6.
Замечание.
В дальнейшем изложении, как правило,
союз «и» понимается как конъюнкция, а союз «или» — как дизъюнкция.
1.2.7. Определение. Если A ⊂ B и B ⊂ A то говорят, что
множества A и B равны, и пишут A = B. В противном случае (т. е.
если ∃a ∈ A : a /∈ B или ∃b ∈ B : b /∈ A) пишут A ̸= B и говорят,
что множества A и B не равны.
Таким образом, запись A = B означает, что множества A и B
содержат одни и те же элементы (либо вовсе не содержат их, если
A = ∅ и B = ∅).
1.2.8.
Замечание. Символ ⊂ называется символом включения.
1.2.9. Определение. Если A ̸= ∅, то A называется непустым
множеством.
1.2.10.
Утверждение.
Для любого множества A A ⊂ A и
∅ ⊂ A.
1.2.11. Утверждение. Если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C.
Справедливость утверждений 1.2.10 и 1.2.11 проверяется непосредственно, исходя из определения 1.2.5 символа включения.
1.2.12.
Замечание. Если ∅1 и ∅2 — два пустых множества,
то согласно утверждению 1.2.10 ∅1 ⊂ ∅2 и ∅2 ⊂ ∅1, так что ∅1 = ∅2
Таким образом, существует только одно пустое множество.
1.2.13. Пример. Справедлива цепочка включений
⊂
⊂
⊂
⊂
⊂
(это будет доказано ниже).
1.2.14. Пример. Справедливы равенства {x ∈
| x2 = 2} ⊂ J;
{x ∈
| x2 = 2} ∩
= ∅ (это также будет доказано ниже).

Операции над множествами

1.2.15. Определение. Объединением множеств A и B называется множество A ∪ B, содержащее все те и только те элементы,
каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A
или B.
1.2.16. Определение. Пересечением множеств A и B называется множество A∩B, содержащее все те и только те элементы, каждый из которых принадлежит как множеству A, так и множеству B.
1.2.17. Замечание. Может случиться, что A ∩ B = ∅. В этом
случае множества A и B называются непересекающимися.
1.2.18. Пример. Имеем J ∩
= ∅;
∩ J = ∅.

Г л а в а I

1.2.19. Утверждение. Всегда A ∩ ∅ = ∅; A ∪ ∅ = A; A ∩ B =
= B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A. Кроме того, справедливы законы дистрибутивности:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Д о к a з a т е л ь c т в о. Для обоснования каждого из выписанных
равенств достаточно проверить, что любой элемент, принадлежащий
множеству, находящемуся в левой части равенства, принадлежит
множеству, находящемуся в его правой части, и обратно. Если, например, x ∈ (A ∪ (B ∩ C)) то x ∈ A или x ∈ (B ∩ C) Если x ∈ A, то
x ∈ (A ∪ B) и x ∈ (A ∪ С), поскольку A ⊂ (A ∪ B) и A ⊂ (A ∪ C).
Следовательно, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Если же x ∈ (B ∩ C), то x ∈ B
и x ∈ C, так что x ∈ (A ∪ B) и x ∈ (A ∪ С), поскольку B ⊂ (A ∪ B) и
C ⊂ (A∪C). Поэтому и в этом случае x ∈ (A∪B)∩(A∪C). Обратно,
если x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), то x ∈ (A ∪ B) и x ∈ (A ∪ С). Рассуждая далее аналогично, убеждаемся в том, что тогда x ∈ A ∪ (B ∩ C).
Тем самым мы доказали второй закон дистрибутивности. Остальные
равенства либо непосредственно следуют из определений операций
объединения и пересечения, либо (первый закон дистрибутивности)
доказываются аналогично.
1.2.20. Замечание. Если считать, что A, B, C — вещественные
числа, и рассматривать объединение как сумму, а пересечение — как
произведение, то, как известно из арифметики, первый закон дистрибутивности будет справедлив, а второй — нет (точнее, он будет
справедлив тогда и только тогда, когда A = 0 или A + B + C = 1).
1.2.21.
Определение.
Разностью множеств A и B (в указанном порядке) называется множество A \ B содержащее все те и
только те элементы, каждый из которых принадлежит A и не принадлежит B.
1.2.22. Следствие. Всегда A \ A = ∅; A \ ∅ = A; ∅ \ A = ∅.
Кроме того, если A ⊂ B, то A \ B = ∅, и обратно.
Д о к a з a т е л ь c т в о. Справедливость следствия вытекает непосредственно из определений операции разности и символа включения.
1.2.23. Определение. Если B ⊂ A, то разность A \ B называется дополнением множества B во множестве A.
1.2.24. Замечание. Пишут A \ B = B, если B ⊂ A и известно,
о каком множестве A идёт речь.
1.2.25. Пример. Если A =
и B =
, то B = J.
1.2.26. Определение. Симметрической разностью множеств
A и B называется множество A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
Отметим следующие свойства симметрической разности: