Обыкновенные дифференциальные уравнения. Краткий курс

Москва

Горячая линия – Телеком

2020

Рекомендовано Федеральным учебно-методическим
объединением в системе высшего образования по укрупненной
группе специальностей и направлений подготовки 10.00.00 –
«
»
Информационная безопасность
в качестве учебного пособия
для студентов образовательных организаций высшего
образования, обучающихся по направлениям подготовки и
специальностям УГСНП 10.00.00 –
«Информационная безопасность»

УДК. 517.91 (075.8) 
ББК 22.161.6 я73 
 Т41 

Р е ц е н з е н т ы : ведущий научный сотрудник лаборатории математического 
анализа механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова 
канд. физ.-мат. наук, с.н.с. В. А. Носов; профессор кафедры дифференциальных уравнений МГУ имени М. В. Ломоносова, доктор физ.-мат. наук 
И. В. Асташова. 

Тимашев А. Н. 

Т41    Обыкновенные дифференциальные уравнения. Краткий курс. 

Учебное пособие для вузов. −  М.:  Горячая линия – Телеком, 
2020. – 164 с.: ил.  
ISBN 978-5-9912-0688-4. 

Кратко изложен курс обыкновенных дифференциальных уравнений, предназначенный для изучения на механико-математических и 
физико-математических факультетах университетов и других вузов с 
повышенной математической подготовкой. В основу пособия положены материалы лекционного курса, который автор многие годы читал 
на факультете прикладной математики Института криптографии, 
связи и информатики. 
Для студентов (слушателей) высших учебных заведений, обучающихся по техническим специальностям.  

   ББК 22.161.6 я73 

Учебное издание 
Тимашев Александр Николаевич 
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: 
КРАТКИЙ КУРС 
Учебное пособие для вузов 

Тиражирование книги начато в 2018г. 

Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и 
какими бы то ни было средствами без письменного разрешения правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»
www.techbook.ru
 © А. Н. Тимашев

Предисловие

Всякий знает, что такое кривая, пока
не выучится математике настолько,
что вконец запутается в бесчисленных
исключениях.
К.Ф. Клейн

Учебное пособие написано на основе обработанных записей лекций по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения», которые автор многие годы читал на факультетах прикладной математики и информационной безопасности Института криптографии, связи
и информатики. Как и в предыдущих книгах автора «Математический анализ», «Аналитические функции комплексного переменного»
и «Мера и интеграл. Краткий курс», по форме изложения — это
нечто среднее между учебником и конспектом лекций. Цель изложения — по возможности соединить преимущества того и другого
и, тем самым, обеспечить доступность восприятия материала. Насколько это удалось — пусть судит читатель.
Объем материала соответствует программе курса обыкновенных
дифференциальных уравнений, читаемого обычно в IV-V семестрах
на физико-математических факультетах университетов и других вузов с повышенной математической подготовкой. Некоторым отличием от существующих традиций является глава VII, посвященная
краткому изложению элементов теории дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
По курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» имеется достаточно много хороших учебников, курсов лекций и учебных пособий, как отечественных, так и переводных.
Не пытаясь
кого-либо копировать, при написании учебного пособия автором были, тем не менее, использованы идеи и подходы, заимствованные из
[4, 25] и, особенно, [11] (эти издания послужили вдохновляющими
примерами).
Материал учебного пособия разбит на главы. Нумерация осуществляется по следующему принципу: разделы нумеруются в пределах каждой главы, причем номеру раздела предшествует номер
главы.
Для утверждений, примеров и определений используется
тройная нумерация: номер главы, номер раздела, номер утверждения (примера, определения). Все утверждения нумеруются подряд
в пределах данного раздела независимо от их типа.
Для понимания материала достаточно знания курса математического анализа и элементов теории функций комплексного переменного в объеме первых двух лет обучения на механико-математических и физико-математических факультетах университетов.

Предисловие

В заключение хочется помянуть добрым словом своих учителей:
П.С. Александрова, И.А. Вайнштейна, А.И. Узкова, И.Я. Верченко,
И.Ф. Лохина, Г.П. Толстова и других.
Выражаю признательность товарищам по кафедре за полезные
замечания, дружескую критику и, пожалуй, самое главное — многолетние содержательные беседы и обсуждения.
Ноябрь 2017 г.

Глава I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА

1.1. Интегральные кривые. Поле направлений.
Ломаные Эйлера

Пусть n ∈
, и пусть V ⊂
n+2; F : V →
.
При таких
условиях уравнение вида

F(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0

называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка. Предполагается, что x — независимое переменное, y — вещественная функция переменного x, определенная на некотором
промежутке I ⊂
(конечном или бесконечном, не вырождающемся
в точку), т. е. y: I →
. Функция y считается n раз дифференцируемой на I, так что y′, . . . , y(n) — производные этой функции по x
соответствующих порядков. Кроме того, предполагается, что функция F существенно зависит от последнего переменного (формально это означает, что существуют два вектора (t1, . . . , tn+2) ∈ V и
(s1, . . . , sn+2) ∈ V с вещественными компонентами, такие, что ti = si,
i = 1, . . . , n + 1; tn+2 ̸= sn+2 и F(t1, . . . , tn+2) ̸= F(s1, . . . , sn+2)).
Дифференциальным это уравнение называется потому, что в
него входит не только функция, которую нужно найти (функция
F предполагается известной), но и её последовательные производные y′, . . . , y(n) до n-го порядка включительно (отсюда и термин —
уравнение n-го порядка).
Обыкновенным оно называется потому,
что функция y зависит только от одного вещественного переменного x и, таким образом, выражение F(x, y, y′, . . . , y(n)) не содержит
частных производных.
1.1.1. Определение. Вещественная функция y = ϕ называется решением на промежутке Iдифференциального уравнения

F(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0,

если выполнены условия:

Г л а в а I

а) функция ϕ определена и n раз дифференцируема на I;
б) ∀x ∈ I (x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)) ∈ V ;
в) ∀x ∈ I F(x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)) = 0.
В сформулированном определении существенно, что решение
определено именно на промежутке, т. е. на связном подмножестве
R. Так, например, если n = 1; c = const ∈
; F =
3; F(x, y, y′) =
= y′ − y2, то функция y = ϕ(x) = (c − x)−1 (определенная при всех
значениях x ̸= c) не является решением дифференциального уравнения y′ −y2 = 0 на множестве
\{c} = (−∞, c)∪(c, +∞), хотя ∀x ̸= c
выполнены условия а), б), в), если заменить в них I на
\ {c}.
В то же время сужения этой функции на интервалы (−∞, c) и
(c, +∞) являются решениями этого уравнения на этих интервалах.
Эти решения следует считать различными, поскольку они определены на разных интервалах.
Допустим, что функция F имеет вид

F(x, y, y′, . . . , y(n)) = y(n) − f(x, y, y′, . . . , y(n−1)),

где f: G →
; G ⊂
n+1 (при таких условиях V = G ×
). В таком
случае рассмотренное выше уравнение принимает следующий вид:

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)).

Такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей
производной. Определение решения этого уравнения является переформулировкой определения 1.1.1 для этого частного случая.
1.1.2. Определение. Вещественная функция y = ϕ называется решением на промежутке I дифференциального уравнения

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)),

если выполнены условия:
а) функция ϕ определена и n раз дифференцируема на I;
б) ∀x ∈ I (x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n−1)(x)) ∈ G;
в) ∀x ∈ I ϕ(n)(x) = f(x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n−1)(x)).
Наиболее важным в условиях этого определения является случай, когда n = 1. В этом случае соответствующее уравнение принимает вид

y′ = f(x, y).

При этом f: G → R; G ⊂
2. Условие б) в определении 1.1.2 при
n = 1 означает, что график функции ϕ содержится в G.
1.1.3. Определение. Пусть y = ϕ — решение на промежутке I дифференциального уравнения y′ = f(x, y). Тогда множество
{x, ϕ(x) | x ∈ I} (т. е. график функции ϕ) называется интегральной
кривой этого уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка
7

Таким образом, любая интегральная кривая уравнения y′ =
= f(x, y) содержится в области определения функции f
1.1.4. Определение. Пусть x0 ∈ I; (x0, y0) ∈ G; ϕ — решение
на промежутке I уравнения y′ = f(x, y) и ϕ(x0) = y0. В этом случае
говорят, что интегральная кривая {(x, ϕ(x)) | x ∈ I} проходит через
точку (x0, y0) или (что то же самое), что решение ϕ удовлетворяет
начальному условию ϕ(x0) = y0.
Если решение ϕ уравнения y′ = f(x, y) определено на промежутке I и x0 ∈ I, то по определению решения (x0, ϕ(x0)) ∈ G и
ϕ′(x0) = f(x0, ϕ(x0)).
Проведем через точку (x0, ϕ(x0)) прямую с
угловым коэффициентом f(x0, ϕ(x0)). Уравнение этой прямой в координатах (x, y) имеет вид

y = ϕ(x0) + f(x0, ϕ(x0)(x − x0).

В точке (x0, ϕ(x0)) такая прямая касается графика функции ϕ,
т. е. соответствующей интегральной кривой. Обратно, если (x0, y0) ∈
∈ G, то точке (x0, y0) можно поставить в соответствие прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, равный f(x0, y0). Если существует интегральная кривая ϕ уравнения
y′ = f(x, y), проходящая через точку (x0, y0), то построенная прямая будет касательной к этой кривой в точке (x0, y0) (мы здесь не
делаем различия между функцией ϕ и её графиком).
Таким образом, дифференцируемая на промежутке I вещественная функция ϕ является решением на этом промежутке дифференциального уравнения y′ = f(x, y) тогда и только тогда, когда её
график, т. е. множество {(x, ϕ(x)) | x ∈ I}, содержится в области
определения функции f и в каждой своей точке (x0, ϕ(x0)), x0 ∈ I,
имеет в качестве касательной прямую, проходящую через эту точку
и имеющую угловой коэффициент, равный f(x0, ϕ(x0)).
1.1.5. Определение. Семейство всех прямых вида

y − y0 = f(x0, y0)(x − x0),
(x0, y0) ∈ G,

называется полем направлений дифференциального уравнения

y′ = f(x, y).

1.1.6. Следствие. Любая интегральная кривая уравнения y′ =
= f(x, y) в каждой своей точке касается некоторой прямой из поля
направлений.
1.1.7.
Определение. Пусть a > 0; b > 0, и пусть x0 ∈
;
y0 ∈
. Замкнутым прямоугольником будем называть множество

a,b(x0, y0) = {(x, y) | |x − x0| ⩽ a; |y − y0| ⩽ b}.

Открытым прямоугольником назовем множество
a,b(x0, y0) = {(x, y) | |x − x0| < a; |y − y0| < b}.

Г л а в а I

Из сформулированного определения следует, что
a,b(x0, y0) — замкнутое множество в
2;
a,b(x0, y0) — открытое множество в
2;
(x0, y0) — центр каждого из этих прямоугольников (точка пересечения диагоналей); a и b — половины длин сторон каждого прямоугольника, причем стороны этих прямоугольников параллельны
осям координат.

Ломаные Эйлера

Предположим, что f — вещественная функция, непрерывная
на замкнутом прямоугольнике a,b(x0, y0). Тогда f ограничена на
этом прямоугольнике, поскольку согласно критерию компактности
a,b(x0, y0) — компакт в
2 (как множество замкнутое и ограниченное). Следовательно, существует постоянная M > 0, такая, что

sup

(x,y)∈П
{|f(x, y)|} ⩽ M

(мы пишем для краткости a,b(x0, y0) = ). Пусть 0 < a0 ⩽ min{a;
b/M}. Положим I = [x0 − a0, x0 + a0]. Далее проведем через точку
(x0, y0) прямую с угловым коэффициентом, равным f(x0, y0). Уравнение этой прямой имеет вид

y = y0 + f(x0, y0)(x − x0).

Отложим на этой прямой, начиная от точки (x0, y0), отрезок длины 1/k, k ∈
, в направлении возрастания аргумента x. Координаты правого конца этого отрезка обозначим (x1, y1). Затем через
точку (x1, y1) проведем прямую с угловым коэффициентом f(x1, y1),
предполагая, что построенный выше отрезок не имеет общих точек с
прямой x = x0 + a0 и |y1 − y0| ⩽ b. Уравнение этой прямой имеет вид

y = y1 + f(x1, y1)(x − x1).

На построенной прямой отложим, начиная от точки (x1, y1), отрезок длины 1/k в направлении возрастания аргумента x. Координаты правого конца этого отрезка обозначим (x2, y2). Если указанный
отрезок не имеет общих точек с прямой x = x0 + a0 и |y2 − y0| ⩽ b,
то через точку (x2, y2) проведем прямую с угловым коэффициентом
f(x2, y2) и т. д. Такой процесс будем продолжать до тех пор, пока
некоторый из построенных отрезков не пересечет прямую x = x0+a0.
Поскольку
sup

(x,y)∈ ¯П
{|f(x, y)|} ⩽ M,

то минимальная длина проекции одного отрезка на ось абсцисс не

Дифференциальные уравнения первого порядка
9

меньше, чем
1
k cos(arctg M) =
1

k
√

1 + M 2 > 0,

и поэтому это обязательно произойдет на некотором шаге, и притом
не позже, чем этот отрезок пересечет одну из прямых y = y0 + b
или y = y0 − b.
Аналогичное построение проведем и в направлении убывания
аргумента x, причем процесс будем продолжать до тех пор, пока
некоторый из построенных отрезков не пересечет прямую x = x0−a0.
Пусть ϕk — функция, определенная на отрезке I = [x0 − a0, x0 + a0],
графиком которой является построенная ломаная.
Полагая k =
= 1, 2, . . ., получаем последовательность {ϕk} функций, определенных на I, и соответствующую ей последовательность ломаных, называемых ломаными Эйлера.
Рассмотрим некоторые свойства функций ϕk, k = 1, 2, . . ., и соответствующие им свойства ломаных Эйлера.
1. Каждая из функций ϕk, k = 1, 2, . . ., определена и непрерывна
на отрезке I = [x0 − a0, x0 + a0].
Это свойство очевидным образом следует из определения ломаных Эйлера.
2. Любая ломаная Эйлера (т. е. график любой функции ϕk) содержится в замкнутом прямоугольнике a0,b(x0, y0).
Д о к a з a т е л ь c т в о. Используя введенные выше обозначения,
имеем

|y1 − y0| = |f(x0, y0)| |x1 − x0| ⩽ M |x1 − x0| ⩽ Ma0 ⩽ b

по выбору a0 и в предположении, что отрезок длины 1/k с концами в
точках (x0, y0) и (x1, y1) не пересекает ни одну из прямых x = x0 +a0
и x = x0 − a0, k = 1, 2, . . ..
Если точка (x, y) лежит на этом отрезке, то при том же предположении

|y − y0| = |f(x0, y0)| |x − x0| ⩽ M|x − x0| ⩽ Ma0 ⩽ b,

и поэтому

(x, y) ∈ a0,b(x0, y0).

Аналогичные рассуждения можно провести и для случая, когда
точка (x, y) лежит на любом другом отрезке ломаной, удовлетворяющем условию, сформулированному в этом предположении (с соответствующей заменой точек (x0, y0) и (x1, y1) на концы этого отрезка).
Доказанное свойство обосновывает корректность способа построения ломаных Эйлера, поскольку точка (x, y) любой такой ло

Г л а в а I

маной удовлетворяет условиям |x − x0| ⩽ a0 и (x, y) ∈ (действительно, из неравенства a0 ⩽ a следует, что

a0,b(x0, y0) ⊂ a,b(x0, y0) = ;

кроме того, b/a0 ⩾ M).
3. ∀x′, x′′ ∈ I ∀k ∈
|ϕk(x′) − ϕk(x′′)| ⩽ M|x′ − x′′|.

В частности, ∀x ∈ I

|ϕk(x) − y0| = |ϕk(x) − ϕk(x0)| ⩽ M |x − x0|,
k = 1, 2, . . ..

Это свойство, как и свойство 1, очевидным образом следует из
определения ломаных Эйлера, если учесть, что всегда модуль суммы
не превосходит суммы модулей.
Для того чтобы сформулировать и доказать четвертое свойство,
необходимо вспомнить некоторые сведения из курса математического анализа.
1.1.8. Определение. Семейство комплексных функций {fα |
α ∈ A}, определенных на множестве E, называется равномерно ограниченным на этом множестве, если

sup
α∈A
x∈E
{|fα(x)|} < +∞.

В сформулированном ниже определении считаем, что m ∈
и
ρm — евклидова метрика в пространстве
m.
1.1.9. Определение. Семейство комплексных функций {fα |
α ∈ A} определенных на множестве E ⊂
m, называется равностепенно непрерывным на E, если ∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀x, y ∈ E: ρm(x, y) < δ
∀α ∈ A |fα(x) − fα(y)| < ε.
Если семейство {fα | α ∈ A} равномерно ограничено на E, то
∀α ∈ A функция fα ограничена на E. Обратное утверждение неверно.
1.1.10.
Пример.
Пусть E = [0, 1]; A =
и ∀α = n ∈
∀x ∈ [0, 1] fn(x) = n. Тогда последовательность fn не является равномерно ограниченной на [0, 1], хотя каждая из функций fn ограничена на [0, 1]; n = 1, 2, . . ..
Из определения 1.1.9 следует, что ∀α ∈ A функция fα равномерно непрерывна (в частности, непрерывна) на E, если семейство
{fα | α ∈ A} равностепенно непрерывно на E. Обратное утверждение опять-таки неверно.
1.1.11.
Пример.
Пусть E = [0, 2π]; A =
; fn(x) = sin nx
(n = α ∈
; x ∈ E). Тогда каждая из функций fn непрерывна на
отрезке [0, 2π] и поэтому равномерно непрерывна на этом отрезке