Теоретическая механика. Раздел «Кинематика»

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации 

Департамент образования, научно-технологической политики 

и рыбохозяйственного комплекса 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  

учреждение высшего образования 

«Волгоградский государственный аграрный университет» 

 

Кафедра «Механика» 

 
 
 

Н. С. Воробьева 
Н. В. Бабоченко 

Е. Н. Захаров 
А. В. Дяшкин 

 
 
 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. 

РАЗДЕЛ «КИНЕМАТИКА» 

 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Волгоград 

Волгоградский ГАУ 

2021 
 

УДК 531 
ББК 22.21 
Т-33 

 
 
 

Рецензент – 

кандидат технических наук, доцент кафедры «Детали машин и подъемно-транспортные устройства» ФГБОУ ВО Волгоградский ГТУ       
А. В. Попов 

 
 

 
Т-33  Теоретическая механика. Раздел «Кинематика»: учебнометодическое пособие / Н. С. Воробьева, Н. В. Бабоченко, Е. Н. Захаров, А. В. Дяшкин. – Волгоград: ФГБОУ ВО Волгоградский ГАУ, 
2021. – 76 с. 
 
 
 

Учебно-методическое пособие составлено для проведения прак
тических занятий и самостоятельного решения задач по теоретической механике согласно Государственному образовательному стандарту высшего образования по направлениям подготовки бакалавров: 
35.03.06 Агроинженерия, 20.03.01 Техносферная безопасность, 
43.03.01 Сервис, 20.03.02 Природообустройство и водопользование. 

Изложены основные теоретические сведения по разделу «Кине
матика» курса теоретической механики. Представлены подробно иллюстрированные примеры с указанием планов решения задач и приведены формулировки индивидуальных задач по вариантам для организации аудиторной и самостоятельной учебной работы студентов, 
вопросы для самоконтроля. 
 
 

 
УДК 531 

ББК 22.21 

 
 

© ФГБОУ ВО Волгоградский 
ГАУ, 2021 
© Авторы, 2021 
 

Раздел 1. 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПО РАЗДЕЛУ «КИНЕМАТИКА» 

 

1.1 
Основные понятия 

 

Кинематика – один из разделов теоретической механики, в ко
тором изучается перемещение материальных предметов (объектов) 
вне зависимости от причин, вызывающих движение. 

Законом (или уравнением) движения материального объекта назы
вается математическая связь (формула), устанавливающая зависимость 
положения точки в пространстве с изменением времени, или подругому, закон движения – это математическая модель движения тела. 

Законы движения материальных объектов задаются тремя фор
мами: векторным, координатным и естественным. 

 

1.2 Способы задания движения 

 

1.2.1 Векторная форма задания движения точки 

Место нахождение движущейся точки М в данном случае ука
зывается радиусом-вектором    , проведенным из неподвижной точки в 
точку М (рис. 1.1). 

 

 

Рисунок 1.1 

 
Отдельному моменту времени t соответствует конкретное зна
чение радиуса-вектора: 

 

                                 
)
(t
r
r 
.                                               (1.1) 

 

Выражение (1.1) является законом движения точки М в вектор
ной форме. Нарисованная линия конеца радиуса-вектора точки при 
его изменении, называется годографом радиуса-вектора. Значит, траектория движения точки служит годографом ее радиуса-вектора. 

 

 

 

Рисунок 1.2 

 

Скорость движения точки М. Под скоростью движения любого 

объекта физика понимает путь, пройденный телом в единицу времени, 
т.е. отношение отрезка пути, пройденного за некоторый промежуток 
времени, к этому промежутку времени. В рассуждениях о состоянии 
движущегося объекта, о его способности изменять свое положение 
используются понятия средней и  мгновенной скоростей. 

Перемещение точки М за взятый временной промежуток     

∆t=(t1-t2) определяется вектором 
r
M
M


2
1
. Вектор r
  направлен по 

хорде траектории (совпадает он с нею только тогда, когда движение 
является прямолинейным). 

Из векторного треугольника рисунка 1.2 следует:  
.
1
2
r
r
r




Тогда средняя скорость vср движения точки М может быть оценена отношением: 

 

.t

r
vcp



 
 
 
 
 
(1.2) 

 

Так как ∆t – скалярная величина, то направление вектора 
cp
v  

совпадает с направлением r
 . Величина оцениваемой скорости изме
няется в зависимости от выбранного положения точки М2 в момент 

времени (t1+∆t), фактически от величины выбранного значения ∆t. 
Для получения значения мгновенной скорости движения надо определить предел отношения (1.2) при ∆t→0: 

 

 

 

Рисунок 1.3 

 

.
,
lim
0
dt

r
d
v
dt

r
d
v
v
cp
t





 
 
 
(1.3) 

 
Скорость точки М в конкретный момент времени численно оп
ределяется через первую дериват от радиуса-вектора точки по времени. 

Скорость (вектор v ), как и вектор r
d , в пределе стремится по 

касательной к траектории. В системе СИ скорость движения – (м/с). 

Ускорение движения точки. Ускорение – это скорость (быстрота) 

изменения скорости движения с течением времени.  Следовательно, 

 

.t

v
acp



  
 
 
 
(1.4) 

 

Вектор ускорения направлен по вектору ∆v (рис. 1.4). Если так
же устремить ∆t→0, то справедливо будет: 

 

.
2

2

dt

r
d

dt
v
d
a


 
 
 
 
(1.5) 

 

Ускорение точки М в конкретный момент времени численно 

определяется через первую дериват от скорости движения по времени и второй дериват от радиуса-вектора по времени. Ускорение в 

системе СИ измеряется в [м/с2]. При криволинейном движении мгновенный вектор ускорения a (как впрочем, и средний 
ср
а
) направлен в 

сторону вогнутости кривой (см. рис. 1.3). 

 

1.2.2 Координатная форма задания движения 

Прямоугольная декартова система координат (на том же рис. 

1.1) показывает, что изменение положения точки М может быть описано уравнениями, представляющими собой зависимости координат 
точки М от времени: 

 

x=x(t), y=y(t), z=z(t). 
 
 
 
(1.6) 

 

В этой записи аргумент (время) выступает как параметр, кото
рый может быть исключен из этих уравнений: 

 

y=y(x), z=z(x), 
 
 
 
(1.6a) 

 

которые и являются уравнениями траекторий точки как линии, образованной пересечением двух поверхностей. 

Функции времени (1.6) могут рассматриваться как функции из
менения проекций радиуса-вектора движущейся точки М по заданной 
кривой на оси прямоугольной системы координат. 

Скорости изменения координат движущейся точки (скорости 

движения по прямолинейным осям координат) могут быть представлены как первые производные названных функций 

 

.
;
;
dt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx
v
z
y
x



 
 
 
(1.7) 

 

По этим проекциям на основании правила параллелепипеда для 

любого вектора следует: 

 

.
2
2
2
2
2
2
z
y
x
v
v
v
v
z
y
x









  
(1.8) 

 

Направляющие косинусы вектора скорости v, как любого векто
ра, определяются отношениями: 

 

.
cos
;
cos
;
cos
v
v

v

v

v
v
z

V

y

V

x

V






 
 
(1.9) 

 

Ускорение движущейся точки М в координатном способе зада
ния движения определяется аналогичными рассуждениями: 

 

.
;
;
2

2

2

2

2

2

dt

z
d

dt
dv
a

dt

y
d

dt

dv
a

dt

x
d

dt
dv
a
z

z

y

y

x

x






 
(1.10) 

Модуль ускорения точки М считается по формуле: 
 

,
2
2
2

z
y
x
а
а
а
а



 
 
 
(1.11) 

 

а направляющие косинусы вектора а : 
 

.
cos
;
cos
;
cos
a
a

a

a

a
a
z

a

y

a

x

a






 
(1.12) 

 

Случай плоской задачи является частным случаем пространст
венной. 

 

1.2.3 Естественная форма задания движения точки 

Тела иногда вынуждены (принудительно) двигаться по заданной 

траектории. Трамвай, троллейбус, поезд, – вот небольшой перечень 
реальных объектов, движущихся в описанных условиях. Кинематические характеристики движущегося материального объекта (точки), в 
частности его ускорение, тесно связаны с геометрическими свойствами траектории. Для изучения этих свойств и особенностей движения 
точки в таких условиях используются естественные координаты, 
опирающиеся на эти свойства. При этом траектория считается заданной, т.е. закон движения известен: это функция, устанавливающая зависимость длины кривой s, пройденной точкой, от времени: 

 

s=f(t). 
 
 
 
    (1.13) 

 

Начало отсчета (начало движения точки и направление движе
ния) для s устанавливается (выбирается) в зависимости от условий задачи. 

В связи с тем, что траектория движения точки в общем случае 

пространственная и криволинейная, все элементарные перемещения 
по ней рассматриваются в дифференциальной форме.  

Предельное положение соприкасающейся плоскости (плоскость, 

которая соприкасается  с кривой М1, М2 в точке М1  см раздел 1.1.1.)в 
точке М кривой демонстрирует на нем плоскость П. Положение касательной в точке М определяет единичный вектор  . Проведем через 
точку М плоскость N, перпендикулярную заданной кривой 
.


 Пе
ресечение этой плоскости с плоскостью П является линией, перпендикулярной касательной к точке М (вектору   ). Её направление в сторону вогнутости кривой характеризует единичный вектор   . Он называется главной нормалью. 
 
 

Рисунок 1.4 

 

Чтобы завершить рисунок 1.4, необходимо провести плоскость, 

включающую единичный вектор касательной   и перпендикулярную 
вектору главной нормали. Она пересекает нормальную плоскость по 
линии, перпендикулярной соприкасающейся плоскости П. Направление этого перпендикуляра отражает вектор b  (направлен в сторону 
вогнутости кривой в рассматриваемой плоскости В). 

Плоскость В называется спрямляющей в том смысле, что эта 

плоскость «пытается» удержать на себе участок кривой в окрестности 
точки М, а вектор b  – бинормалью. 

Векторы 
b
n,
,

 – взаимно перпендикулярны и направлены так, 

что выполняется следующее соотношение 

 

,n
b


 
 
 
 
 
(1.14) 

 

т.е. они (
b
n,
,

) образуют правую тройку взаимно перпендикулярных 

векторов. 

Группировка координат
b
n,
,

 образуют естественную систему 

координат иначе подвижную систему координат (сопровождающий 
трехгранник). Использование естественной системы координат упрощает оценку кинематических параметров движения точки, особенно 
ускорения. 

Скорость движения точки в естественных координатах. Рас
сматривая заданные движения точки в векторной форме, мы уже установили, что вектор скорости в ней устремлен по касательной, проведенной через точку М расположенной на пути движения. Местона