Математика для воспитателей

-¬¡ ©¡¡
«¬ª°¡--¤ª©œ§¸©ª¡
ª¬œ£ªžœ©¤¡
-ÁÌÄÛ
ÊÍÉʾ¼É¼
¾

¿ÊÀÏ
Н.И. ФРЕЙЛАХ
МАТЕМАТИКА 
ДЛЯ ВОСПИТАТЕЛЕЙ
УЧЕБНИК
2-е издание, переработанное и дополненное
Допущено Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебника для студентов
учреждений среднего профессионального образования
Москва
ИНФРА-М
2023

УДК 372.851(075.32)
ББК 22.1я723
 
Ф86
Р е ц е н з е н т ы:
Стойлова Л.П., кандидат педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и методики ее преподавания в начальной 
школе Московского городского педагогического университета;
Ходос А.С., кандидат экономических наук, преподаватель математики Педагогического колледжа № 16 г. Москвы, доцент кафедры 
высшей математики МИРЭА — Российского технологического университета
Фрейлах Н.И.
Ф86  
Математика для воспитателей : учебник / Н.И. Фрейлах. — 2-е изд., 
перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 136 с. — (Среднее профессиональное образование). 
ISBN 978-5-16-018090-8 (print)
ISBN 978-5-16-111102-4 (online)
Учебник содержит теоретический материал, практические задания, 
вопросы для самоконтроля и задания для самостоятельной работы обучающихся. Раскрываются некоторые вопросы логики, теории множеств, 
теории величин, теории чисел, геометрический материал, понятие текстовой задачи. В приложении представлены вопросы и задания для итоговой 
аттестации (экзамена) студентов, опорные конспекты для систематизации 
приобретаемых знаний.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов среднего профессионального образования последнего 
поколения.
Для студентов педагогических колледжей, обучающихся по специальностям 44.02.01 «Дошкольное образование» и 44.02.04 «Специальное дошкольное образование», имеющих математическую подготовку средней 
школы и изучающих математику ЕН.01 как дисциплину цикла «Математический и общий естественно-научный цикл». Может быть полезен воспитателям детских садов, групп продленного дня и родителям, желающим 
грамотно осуществлять математическое развитие детей и помощь в изучении математики.
УДК 372.851(075.32)
ББК 22.1я723
ISBN 978-5-16-018090-8 (print)
ISBN 978-5-16-111102-4 (online)
© Фрейлах Н.И., 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ
Своевременное математическое развитие дошкольников, успешное изучение математики учащимися в школе во многом зависит от
профессиональных знаний и умений воспитателей детских садов и
воспитателей групп продленного дня в школе. Прежде чем решать,
как учить, надо знать, чему учить. Владение предметом изучения
необходимо не только учителю, но и воспитателю, участвующему в
развитии ребенка. Математика — наука, которую изобрел человек в
процессе своего развития для решения практических задач. Без использования математических знаний не обходится ни одна наука, да
и все жизненные проблемы легче решаются посредством математики. Дать этот инструмент в руки детям, сформировать основы научного мировоззрения — одна из задач взрослых.
Основная его цель — повысить общеобразовательный и культурный уровень будущих воспитателей, дать возможность осуществлять принцип научности в работе по математическому развитию
детей.
Задачи курса:
1. Выявить место математики среди других наук и ее использование в различных сферах жизни.
2. Расширить знания научных основ предмета (элементы логики, теории множеств, чисел, величин, элементы геометрии).
3. Создать необходимую базу для изучения курсов МДК.03.04.
«Теория и методика математического развития» (специальности
050114) и МДК.02.06. «Теоретические основы и методика математического развития дошкольников» (специальности 050710) и профессиональной деятельности (развития воспитания и образования
детей).
Для целенаправленной и плодотворной работы воспитателю общеобразовательных и специальных учреждений необходимо знать
суть математических представлений, которые формируются у детей
в дошкольном и школьном возрасте.
Большое внимание в данном курсе уделяется вопросам логики и
элементам теории множеств, которые не изучаются в явном виде в
средней школе, но являются не только фундаментом всей математики, но основой математического развития ребенка и формирования
всех видов деятельности. Лекции о геометрических фигурах, величинах, натуральных числах расширяют и систематизируют школьные знания, что обеспечит возможность грамотно осуществлять помощь детям в изучении математики. Формирование умения решать
задачи — одно из условий успешного обучения в школе. Этой про

ПРЕДИСЛОВИЕ
блеме посвящена последняя лекция, которая раскрывает понятие
текстовой задачи и ее решения.
Умение
пользоваться
математическими
методами
познания,
владение математическим языком, сформированность математических представлений, знание основных математических понятий и их
взаимосвязей необходимо воспитателю для осуществления не только образовательных, но и общеразвивающих и коррекционных задач в процессе воспитания детей.
Данное пособие поможет не только студентам в изучении предмета, но и преподавателям в организации учебного процесса. В силу небольшого количества часов, предусмотренного учебным планом для
изучения данного курса, теоретический материал излагается в сжатой
форме. При
проведении лекций необходимо осуществлять деятельностный подход в обучении, студенты должны активно участвовать в
обсуждении материала, применять свои знания в практической работе, использовать имеющиеся знания школьной программы по математике. Лекционный материал снабжен заданиями, в процессе которых студенты используют знания предыдущих лекций и охватывают
вопросы, которые будут изучаться в будущем. Таким образом осуществляется взаимосвязь теоретического и практического материала.
Для обеспечения мотивации в обучении на семинарских занятиях предлагаются для обсуждения вопросы («Вопросы для самостоятельной работы»), связанные с профессиональной деятельностью,
раскрывающие необходимость научных знаний предмета, задания
для повышения общей эрудированности. Опорные конспекты помогут систематизировать и обобщить полученные знания, упростят
процесс
запоминания
изученного.
Вопросы
для
самоконтроля
(в конце каждой темы) и итогового контроля (в приложении) могут
использоваться для текущих зачетов и экзамена. Студенты имеют
возможность самостоятельно подготовиться и проконтролировать
себя, что активизирует их познавательную деятельность и стимулирует к самообразованию. Изучение данного курса может быть базой для
дальнейшего математического образования. Желающие расширить
свои знания могут воспользоваться литературой, указанной в конце
пособия.
При разработке учебника автор опирался на современные программы
школьных
и
дошкольных
образовательных
учреждений
(в том числе специальных), учебно-методические пособия по математике, методике математического развития дошкольников, методике преподавания математики в начальных классах. Автор благодарен Л.П. Стойловой за помощь, замечания и полезные советы, которые сыграли большую роль при написании данного пособия.

ВВЕДЕНИЕ
Математика и ее роль в жизни общества
«Тот, кто не знает математики, не
может узнать никакой другой науки и
даже обнаружить своего невежества».
Роджер Бэкон
(английский философ
и естествоиспытатель, ок. 1214—92)
Воспитателю школьных и дошкольных учреждений нужно знать
многие педагогические науки: педагогику, психологию, дефектологию и др.; необходимо владеть различными методиками, в частности — математического развития детей, а для этого нужно разбираться в математических понятиях, владеть математическим языком, иметь запас математических знаний, умений и навыков.
Изучение научных основ курса математики: элементов логики,
теории множеств, теории чисел, теории величин, элементов геометрии поможет осуществить принцип научности в работе с детьми,
логично строить рассуждения, грамотно раскрывать математические
понятия, правильно формировать математические умения. Знакомство с историей возникновения и развития математики расширит
кругозор педагогов, даст возможность проявить свою эрудицию в
общении с ребенком.
Математика
—
наука
о
количественных
отношениях
и
пространственных формах действительного мира.
Математические объекты: множества, числа, величины, геометрические фигуры и др.
Методы математического познания:
абстрагирование
—
мысленное
отвлечение
от
ряда
сторон,
свойств или связей предметов и явлений для выделения их существенных признаков;
идеализация — мысленное представление идеальных объектов,
не существующих в действительности (точка, прямая, плоскость,
число и др.);

ВВЕДЕНИЕ
моделирование — построение моделей и исследование объектов
на их моделях.
Математика как наука изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления. Но в отличие от других наук, математика изучает их особые свойства, отвлекаясь от других. Так, геометрия изучает форму и размеры предметов, не принимая во внимание,
например, их цвет. Вообще математические объекты (геометрическая фигура, число, величина) созданы человеческим умом и существуют лишь в мышлении человека, в знаках и символах, которые
образуют математический язык. Абстрактность математики позволяет применять ееё в самых разных областях, она представляет собой
могущественный инструмент для познания природы.
Появление первых математических понятий связано с появлением абстрактной мысли вообще. Археологические раскопки свидетельствуют о наличии примитивного абстрактного мышления у первобытного человека. На протяжении тысячелетий в процессе своей
практической деятельности человек вырабатывал такие понятия,
как: «один — много»,
«больше — меньше», понятия, отражающие
форму, величину, пространственное расположение предметов и др.
Эти представления получили свое дальнейшее развитие вследствие
расширения потребностей человека, развития земледелия, строительства и пр. Существует мнение, что математика, так же как поэзия, живопись, музыка, была вызвана к жизни не только практическими, но и духовными потребностями человека, его стремлением к
познанию, красоте и гармонии, а главное — доказательству.
Что же дала математика человечеству? Многие крупнейшие ученые видят ее главную задачу в содействии объяснению законов природы. Союз математики и наук о природе (физики, химии, биологии и др.) сделал возможным многие величайшие открытия (законы
движения планет, теория относительности, таблица Менделеева,
формулы ДНК и мн. др.). Математика служит базой для инженерных наук, без нее невозможно строительство зданий, мостов, электростанций, поездов, самолетов, ракет . Потребность решать эти
грандиозные задачи привела к созданию компьютеров. Мы являемся современниками новой технической и информационной революции. Трудно назвать профессию, где человек обходился бы без знания математики.
Для чего изучают математику? Достижения науки математики
являются частью общечеловеческой культуры. Каждый день, решая
личные и бытовые проблемы (расчет времени на дорогу, покупка
товаров, приготовление пищи, ремонт дома и мн. др.), мы используем имеющиеся у нас математические знания. Маленький ребенок,

Математика и ее роль в жизни общества
7
познавая окружающую действительность, приобретает и применяет
первичные математические представления о количестве, величине,
форме и др. не только благодаря обучению, но и познавательному
интересу, природной потребности. Изучение математики оказывает
огромное влияние на интеллектуальные и творческие способности
человека.
Задания для самостоятельной работы
1. Приведите примеры применения математики в различных сферах
жизни человеческого общества: экономике (сельском хозяйстве и
промышленности), политике, искусстве, других науках, домашнем хозяйстве и др.
2. Выберите одну из наук и раскройте на ее примере значение фразы известного советского математика Соболева С.Л. (1908—89 гг.)
«Математика — это царица и служанка всех наук…».
3. Приведите примеры использования математических понятий в устном народном творчестве: пословицах, поговорках, скороговорках,
считалках, прибаутках, песнях, сказках, загадках и др.

ТЕМА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
1.1. Объем и содержание понятия
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых
угла и др. Различают свойства существенные и несущественные.
Существенное свойство — свойство, без которого объект не может существовать.
Несущественное свойство — свойство,
отсутствие которого не
влияет на существование объекта.
Для квадрата, изображенного на рисунке 1, существенные свойства: АВ=ВС=СD=DА, АВ||DС, АD||ВС; несущественные свойства:
АВ, DС — горизонтальны, АD, ВС — вертикальны.
Рис.1
Рис. 2
Рис. 3
Если квадрат повернуть, сохранятся только существенные свойства, именно они и составляют понятие об объекте.
Задание 1
Назовите существенные свойства фигуры, изображенной на рисунке 2.
Рассмотрим пример диалога с дошкольником, используя наглядный материал (рис. 3):
– Опиши левую фигуру. (Белый треугольник.)

1.2. Отношение рода и вида между понятиями
9
– Опиши правую фигуру. (Черный треугольник.)
– Чем фигуры похожи? (Формой.)
– Чем фигуры отличаются? (Цветом.)
– Что есть у треугольника? (3 стороны, 3 угла.)
Таким образом, дети выясняют существенные и несущественные
свойства
понятия
«треугольник».
Существенные
свойства:
«иметь три стороны», «иметь три угла»; несущественное свойство —
цвет.
Содержание понятия — совокупность всех существенных свойств
объекта.
Когда говорят о математическом объекте, имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином.
Объем понятия — совокупность всех объектов, обозначаемая одним термином.
Например, содержание понятия «квадрат» — это совокупность
всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объем этого понятия входят все квадраты, которые только можно представить.
Итак, любое понятие характеризуется:
– термином (название);
– объемом;
– содержанием.
1.2. Отношение рода и вида между понятиями
Математические понятия могут находиться в разных отношениях.
Понятия находятся в отношении рода и вида, если объем одного
понятия включает объем другого понятия, но не совпадает с ним.
Примеры:
1) Квадрат и прямоугольник находятся в отношении рода и вида,
где прямоугольник — родовое понятие, а квадрат — видовое понятие, так как все квадраты являются прямоугольниками, но не все
прямоугольники являются квадратами.
2) Отрезок и прямая не находятся в отношении рода и вида, так
как отрезок — это часть прямой, а не ее разновидность. Они находятся в отношении части и целого.
Уже в дошкольном возрасте дети рано начинают понимать родовидовые отношения, не называя их явно. Например, выполняя
задание: «Назови одним словом» (рис. 4), они подразумевают, что

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
Рис. 4
понятия «квадрат», «прямоугольник», «трапеция», «ромб», «параллелограмм» являются видовыми по отношению к понятию «четырехугольник».
Задание 2
Назовите, какие из перечисленных понятий находятся в отношении
рода и вида: круг, ломаная, треугольник, отрезок, многоугольник,
радиус, окружность.
Если объемы понятий совпадают, то эти понятия тождественны.
Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник» тождественны. В школе на уроках русского
языка дети изучают понятие «синонимы» — слова, различные по
звучанию, но тождественные по смыслу.
Некоторые особенности родовидовых отношений между понятиями
1) Понятия рода и вида относительны. Одно и то же понятие
может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым
по отношению к другому. Например: понятие «прямоугольник» —
родовое к понятию «квадрат», но видовое к понятию «четырехугольник».
2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых
понятий. Например, для понятия «квадрат» родовыми являются понятия
«прямоугольник», «ромб», «четырехугольник», «многоугольник», «геометрическая фигура».
3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия.
Например: квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.
4) У родового понятия больше объем, но меньше содержание; у видового понятия больше содержание, но меньше объем. Например, объем
понятия «прямоугольник» больше, чем объем понятия «квадрат», так
как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «прямоугольник» меньше, чем содержание понятия «квадрат», так как квадрат обладает всеми свойствами
прямоугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.