Прикладная логика

Н. Н. Непейвода 

ПРИКЛАДНАЯ 

ЛОГИКА 

Учебное пособие 

Третье издание, 
существенно переработанное и дополненное 

Москва 
Берлин 
2019 

УДК 517.11(075)
ББК 22.12я73  
        Н53 

Первое издание книги было частично поддержано Минвузом России, 
гранты 94-1.17-336, программа «Фундаментальные исследования 
в естествознании» и «Логические операторы», Новосибирский центр 
по математическим наукам, 1996. Второе издание книги было 
поддержано фирмой «Новософт», г. Новосибирск 

Непейвода, Н. Н. 

Н53 
 
Прикладная логика : учебное пособие / Н. Н. Непейвода. — 
3-е изд., существ. перераб. и доп. — Москва , Берлин : Директ-Медиа, 
2019. — 575 с. : ил. DOI: 10.23681/561272

ISBN 978-5-4499-0126-2 

Данное пособие содержит введение в язык современной математики и методы 
современной логики, основные важнейшие для приложений и методологии результа-
ты логики ХХ века, советы по применению методов и методологии логики в инфор-
матике и информационном анализе сложных задач, методологический и философ-
ский анализ следствий приведённых результатов и методов. Впервые в мировой ли-
тературе оно содержит систематическое изложение конструктивной математики с 
точки зрения как современной информатики, так и многоуровневого анализа её 
успехов и уроков. Его можно использовать совместно с обучающими программами 
высокого уровня и программами проверки рассуждений, подобными AGDA. 
Рекомендовано Государственным комитетом Российской Федерации по высше-
му образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заве-
дений, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», 
«Лингвистика», «Философия» и «Психология». 
Предыдущие версии книги выпущены издательствами УдГУ, 1997 (1-е издание); 
НГУПресс, 2000 г. (2-е издание, исправленное и дополненное). 

Текст приводится в авторской редакции. 

ISBN 978-5-4499-0126-2 
© Непейвода Н. Н., текст, 2019 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2019 

УДК 517.11(075)
ББК 22.12я73  

Α. Α. Марков 
Α. Г. Драгалин 
Β. Α. Журавлёв 

(09.09.1903— 
(10.04.1941 — 
(01.02.1941 — 

11.10.1979). 
18.12.1998). 
27.01.2007). 

Посвящаю эту книгу душам: моих учителей академика Андрея Андреевича Маркова и профессора Альберта Григорьевича Драгалина, научившим меня не только науке, 
но и умению быть самим собой; ректора Удмуртского государственного университета Виталия Анатольевича Журавлёва, сделавшего возможным противоречившее всем 
устоявшимся обычаям и инструкциям преподавание, которое заставило меня развить 
и углубить свои взгляды и подарило много н о в х идей. 

Благодарю свою жену Людмилу, с которой мы вместе прошли жизнь и которая мно¬
го дала мне и как человек, и как оригинальнй педагог и логик; моей дочери 
нтонине, 
которая стала моим продолжателем и поддерживала меня в работе над книгой. 

так е коллектив дГ 
и б ы в и х моих студентов (за искл чением последней 
группы, у которой я начал преподавать и о у т и л глубину и быстроту деградации об¬
разования и студенчества до состояния «онижедети»). 

i 

Оглавление 

Введение 
x 

In.1. Что такое современная логика? 
x 

In.2. Методологические принципы, на которых основано данное изложение 
xix 

In.3. Как работать с данной книгой? 
xxiv 

In.4. Введение ко второму изданию 
xxvii 

In.5. Введение к третьему изданию 
xxviii 

I 
Язык математики 
1 

1. Необходимость точного языка в математике 
2 

1.1. 
Как и почему появился я з к математической логики? 
2 

1.2. 
Зачем изучать формальный язык математики? 
7 

2. Простейшие высказывания 
13 

2.1. Что такое высказывание? 
13 

2.2. 
Математическая интерпретация высказываний 
18 

2.3. 
Предметы и унивёрс. Термы 
19 

2.4. 
Предикаты и элементарные формулы 
21 

2.5. 
екоторе обозначения 
23 

3. Запись высказываний. Логические формулы 
26 

3 6 
Таблицы истинности 
30 

ii 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

4. Методы перевода с естественного языка на математический и обратно 
38 

4 1 Кванторы 
бласти действия 
38 

4.2. 
"Многоэтажные" кванторы. Дополнительные 
ограничения 
40 

4.3. 
«Если на клетке слона увидишь надпись "буйвол", не верь глазам своим» 47 

4.4. 
Таблицы истинности и формулировка отрицаний 
51 

4.5. 
р о с т е й и е преобразования классических формул 
53 

4.6. 
арадокс кучи куч 
55 

4.7. 
Равенство. Единственность и неединственность 
56 

5. Базовые математические понятия 
62 

5.1. Множества. Диаграммы Эйлера и Венна 
62 

5.2. Кортежи, n-ки, наборы, прямые произведения, прямые суммы 
71 

5.3. 
т н о е н и я 
76 

5 7 
Графы 
102 

II 
Классическая логика 
115 

6. Индукция 
116 

6.2. Об индуктивных определениях 
121 

6 3 
Трансфинитная индукция и ординал 
125 

6.3.1. 
Построение начального отрезка ординалов 
125 

6.3.2. 
Свойства вполне упорядоченных множеств 
127 

6.3.3. 
Представления ординалов. Действия над ординалами 
130 

6.3.4. 
остроение функций рекурсией по определени 
либо параметру 135 

7. Введение в синтаксис 
138 

7.2. Корректность синтаксических определений 
145 

7.3. Свободные и связанные переменные. Подстановка 
150 

8. Семантика классической логики 
155 

8.2. Теория, модель, логическое следствие 
159 

8.3. Теорема о замене эквивалентнх 
163 

8.4. Булевы алгебры и алгебраическая семантика 
164 

8.5. Языки высших порядков 
167 

iii 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

9. Семантические таблицы для классической логики 
170 

9.1. 
т таблиц истинности к семантическим таблицам 
170 

9.2. 
равила разбиения формул в семантических таблицах 
172 

9.3. Семантические таблицы с кванторами 
175 

9.4. С о к р а ё н н е семантические таблиц 
180 

9.5. Исчисления традиционного типа 
186 

9.6. Секвенции и формализация семантических таблиц 
191 

9.7. Семантические таблицы с равенством и для теорий 
195 

9.8. Теорема полноты 
198 

10. Элементы нестандартного анализа 
213 

10.2. 
естандартная модель 
217 

10.3. Hестандартная действительная ось 
219 

10.4. 
естандартне переформулировки 
223 

10.5. Суперструктуры и теорема Лося 
227 

10.5.1. 
ксиома выбора, некоторые её следствия и альтернатив 
. . . . 227 

10.5.2. 
льтрафильтры и структуры 
231 

11. Естественный вывод в классической логике 
234 

11.1. 
структуре математических доказательств 
234 

11.2. Правила естественного вывода 
236 

11.2.1. Общая структура. Импликация и конъюнкция 
236 

11.2.2. Дизъюнкция и разбор случаев 
238 

11.2.3. Отрицание. Приведение к абсурду и "от противного". A V —A . 239 
11.2.4. Hекоторые полезные выводимые правила 
240 

11.3. Естественный в в о д как граф 
244 

11.4. 
равила формулировки отрицанийи согласованность с классической 
истинностью 
246 

11.5. Теорема полноты естественного вывода 
250 

11.6. Логика с равенством и ее полнота 
254 

11.7. Метод резолюций и его сравнение с методом 

естественного вывода 
255 

11.8. Окольные пути как средство сокращения вывода 
261 

11.9. 
есколько слов о я з к е 
ролог 
263 

12. Основы теории определений 
266 

12.2. С о к р а а и е определения 
267 

12.3. Теорема 
рейга об интерполяции 
268 

12.4. Теорема Бета об определимости 
271 

iv 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

13. 
еполнота и не ор ализуе ость 
273 

13.1. Теорема Тарского о невыразимости истины 
273 

13.2. Аксиоматическое описание вычислимости 
275 

13.3. 
редставимость через доказуемость 
285 

13.4. Неполнота 
291 

13.5. Вокруг теоремы Гёделя 
292 

13.6. Формализация неформализуемых понятий 
297 

13.7. 
онстр 
302 

I I I 
Введение в неклассические логики 
305 

14. Основы λ-исчисления 
306 

14.2. λ-конверсии 
308 

14.3. Теорема о сходимости (Чёрча-Россера) 
313 

14.4. λ-исчисление 
315 

14.5. Комбинаторная логика 
316 

14.6. Эквивалентность S, K и λ-исчисления 
319 

14.7. Типизация 
320 

14.8. Эквивалентность вчислимости и λ 
323 

15. Корни неклассических логик 
324 

15.1. Корни неклассических логик в традиционной логике 
324 

15.1.1. Закон то дества 
324 

15.1.2. Закон непротиворечия 
326 

15.1.3. Закон исключённого третьего 
327 

15.1.4. Закон достаточного основания 
328 

15.2. Сила и недостатки классической логики 
331 

15.3. Использование доказательств 
332 

15.3.1. Сведение новой задачи к уже решенным 
333 

15.3.2. Вявление условий, при которх мо но пользоваться данным 
утвердением 
334 

15.3.3. 
олучение построения, д а е г о некоторый результат 
335 

15.3.4. 
роизнесение заклинания, дабы освятить своё либо предло ен-

ное заказчиком р е е н и е 
336 

15.4. 
чём не принято говорить сейчас 
337 

16. Интуиционистская логика 
339 

16.1.1. Брауэр: идея конструктивности 
339 

16.1.2. Формализация и первые интерпретации 
342 

16.1.3. Разногласия и н о в е идеи 
342 

16.1.4. 
ериод после Брауэра 
343 

v 

Г Л В Л Е Е 

16.1.5. Вторая героическая эпоха: математические результаты и 

п о п т к и прило ений 
345 

16.2. 
нтерпретация реализуемости 
345 

16.3. 
ормализация Гливенко-Гейтинга 
351 

16.4. 
ервые модели интуиционистской логики 
353 

16.5. 
одели Крипке 
355 

16.6. Семантические таблицы для интуиционистской логики 
359 

16.7. Полнота семантических таблиц 
364 

16.8. Фундаментальные результаты теории доказательств 
365 

16.9. Реализуемости и вариации интуиционистских принципов 
369 

16.10. нтуиционистская логика и категории 
371 

17. Семантики Крипке и базирующиеся на них логики 
374 

17.1. 
б а я идея 
374 

17.2. 
одальные логики и их модели Крипке 
376 

17.2.1. Язык и общая конструкция модели 
376 

17.2.2. Свойства отноения достиимости и конкретные логики 
. . . 377 

17.2.3. Нешкальные логики 
378 

17.3. Временные, динамические и программные логики 
379 

18. 
роблема отрицания 
381 

18.1. Три стороны классического отрицания и четвёртая — содержательного 
381 

18.2. 
инимальная логика 
383 

18.3. Логика с с и л ь н м отрицанием 
384 

18.4. Логика неполной информации 
386 

18.5. 
снов 
логики противодействия 
387 

18.6. Паранепротиворечивая логика 
388 

I V 
Конструктивные и методологические аспекты логики 
389 

19. Конструктивизм 
391 

19.2. Соглашения об обозначениях 
392 

19.3. Предпосылки конструктивизма 
393 

19.4. Появление конструктивизма 
397 

19.4.1. Интуиционизм и программа Гильберта 
400 

19.5. Базовые принцип 
и методы конструктивизма 
403 

19.5.1. Принцип конечной информации и чум-пространства 
403 

19.5.2. 
етод провокации и некорректные задачи 
410 

19.6. 
нтуиционистская логика как конструктивная 
418 

vi 

Г Л В Л Е Е 

20. 
лгорит 
и реализуе ость 
428 

20.2. Советский конструктивизм 
430 

20.3. Недостатки советского конструктивизма 
437 

21. Интуиционизм как альтернатива алгоритмическому конструктивизму 
445 

21.1. 
формализации незнания 
445 

21.2. 
ромеуточные вариант 
конструктивизма 
448 

21.3. 
одели конструктивных теорий 
450 

21.4. Различие вместо равенства 
451 

21.5. 
нализ логических принципов 
451 

21.6. 
еудачная попытка прило ения 
456 

22. Доказательства и программы 
459 

22.2. Систем 
в с и х типов 
461 

22.3. 
ризраки и классификация выводов 
462 

22.4. Теорема о верификации 
463 

22.5. Проблема совместимости операторов на примере exit 
464 

23. Методологические следствия теорем о неполноте 
467 

23.1. 
б о б ё н н е вчислительные систем 
467 

23.2. 
б о б е н и е колмогоровской сло ности 
470 

23.3. 
б о б е н и е теоремы Чейтина 
471 

23.4. 
бобённая теорема Гёделя о неполноте 
472 

23.5. Алгоритмическая случайность и антиномии Канта 
473 

23.6. Закон комитета 
476 

23.7. Трёхглавый дракон 
477 

23.8. 
редел Чейтина и парадокс изобретателя 
479 

23.9. Следствия для организации творческой работы 
481 

23.10Предел Чейтина и языки программирования 
483 

24. Прикладная логика 
485 

25. Формализация и деформализация 
489 

25.2. 
роцесс р е е н и я задачи 
490 

25.4.2. В б о р логики 
493 

25.4.3. Замена понятий 
500 

25.4.4. 
странение м е а и х факторов 
500 

25.4.5. Эффективность 
501 

vii 

Г Л В Л Е Е 

25.6. 
еформализация 
504 

25.6.1. Нетривиальность процесса деформализации 
504 

25.6.2. 
спекты деформализации 
504 

25.7. Эстетика, эффективность и адекватность 
506 

25.8. Следствия и благодарности 
508 

б и е принцип 
и в в о д 
. В а н е й и е определения 
510 

viii 

Список иллюстраций 

1.1 
Схема деятельности информатика и аналитика 
8 

2.1 
Ч е т р е точки 
22 

5.2 
равильная диаграмма Венна 
66 

5.3 
Правильная диаграмма Венна для неправильного тождества 
66 

5.4 
еправильная диаграмма Венна 
67 

5.5 
x — y — целое число 
76 

5.6 
иаграммы Гессе двух в а н ы х пятиэлементнх мно еств 
81 

5.7 
нъекция и накртие, сръекция и ретракция 
87 

5.8 
Граф 
103 

5.9 
иаграммы для прямого произведения 
106 

5.10 
иаграммы для прямой суммы 
107 

6.1 
редло ение о внутренних углах многоугольника 
119 

6.2 
Формула и соответствующее ей дерево 
123 

16 2 AA Гейтинг 
351 

16.3 Топологическая интерпретация A V —A 
355 

16 4 
п р о в е р г а и е модели Крипке 
357 

16.5 Сильно о п р о в е р г а а я модель Крипке 
357 

18.1 Ян 
мос 
оменский 
390 

ix 

Введение 

Я — школяр в этом лучшем из лучших миров, 
Труд мой тяжек: учитель уж больно суров! 
До седин я у жизни хожу в подмастерьях, 
Всё ещё не зачислен в разряд мастеров... 

(О. Хайям. [66, стр. 25]) 

In.1 
Что такое современная логика? 

аука отличается от ремесла соотноением формального знания, зафиксированного в 
письменных документах, и неформального, передаваемого лишь непосредственно от 
учителя к ученику. Основные знания ремесленника часто не выражены в словах (не 
вербализованы)и выглядят как умения или навыки. Наука требует фиксации полученных результатов в словесной, вербальной форме. Конечно, знание, передаваемое лишь 
от учителя к ученику (вдобавок неявно) играет важную роль и в науке

1. Это, в частно¬
сти, — эстетические и другие оценочне критерии, по которм выносится су дение 
о новых результатах и о качестве работ, и, самое главное, о б ч а и , гласяие, чем при¬
лично и чем неприлично заниматься учёному в данной отрасли науки. 

ка ем, астроному прилично заниматься астрономическими набл дениями и 
интерпретацией результатов с точки зрения механики либо физики, но неприлич¬
но исследовать влияние небесных тел на судьбу. Если он использует историческую 

1 Именно этот аспект настоящих высокоуровневых знаний игнорируется современной теорией и практикой обучающих систем и дистанционного образования, носящей на себе каинову печать примитивного 
рационализма: допущение, что явления не сложнее их линейных моделей. 

x 

IN.1. ЧТО ТАКОЕ? 

хронику (например, так делают для выявления комет, вспышек новых звёзд и для 
уточнения уравнения дви ения уны), ему неприлично сомневаться в достоверности 
основных принципов традиционной истории: историки знают данный вопрос лучше и 
наверняка всё много раз проверяли

2. 

алее, канон 
ремесла не требу т иного обоснования, кроме традиции, и име т 
тенденцию превращаться в обязательные стандарты, нарушение которых карается. Каноны науки должны быть обоснованы и могут быть пересмотрены. Более того, если в 
ремесле ценится прежде всего воспроизведение данных образцов, то в науке и искус¬
стве необходимо сделать новое или, по крайней мере, дать н о в й взгляд на старое. В 
искусстве каноны не вербализован 
и не требу т обоснования, так 
е как и в ремесле, 
но требуется их наруение (чего не требуется в науке), и вкус худо ника определяет¬
ся тем, насколько он чувствует допустиму 
меру наруения (а вот это справедливо 
и для новых направлений в науке). Так что наука органически занимает место м е д у 
искусством и ремеслом, отличаясь от них требованием обоснованности канонов. 

Если рассмотреть соотноение ремесла, искусства и науки со сторон 
использу¬
емого языка, то отличие науки таково: она не останавливается на стадияx ощущений, 
образов и представлений, как ремесло либо искусство, но требует развития понятий и 
терминов. Понятие — это языковая единица, имеющая достаточно чётко определённый смысл; mермин — слово, смысл которого фиксирован. Πонятие остаётся живым, 
его смысл меняется более или менее динамически, сохраняя вместе с тем значитель¬
ную устойчивость, термин — это монумент понятия

3. Точные науки (прежде всего, 
математика) могут работать л и ь с терминами, да и то не со всеми. 

Теперь обратимся к важной для нас науке — математике. Рассмотрим её через требования, предъявляемые математику 

атематику неприлично заниматься не д о п у с к а и м точной формулировки, и 
формулировать утверждения, которые могут быть понята двояко. Ему неприлично вы¬
давать правдоподобное утвердение за доказанное, он имеет право утвердать, л и ь 
имея полное доказательство. Ему нельзя утаивать доказательство, он обязан предоста¬
вить его на в с е о б е е обозрение для проверки всеми заинтересованнми лицами. Если 
кто-то нашёл ошибку в доказательстве, математик не имеет права настаивать на своём, 
а обязан поблагодарить за помощь и публично объявить о своей ошибке, пересмотрев 
доказательство либо формулировку теорем . Если кто-то н а ё л о п р о в е р г а и й при¬
мер для доказанного им утверждения, математик даже не имеет права требовать, чтобы 

2 Проверяли ли на самом деле — другой вопрос. Критический анализ исторических трудов выявляет, 
что многие работы по хронологии ссылаются в конечном итоге на одну и ту же работу Жана Скалигера, 
где была принята масса произвольных допущений. Первым обратил внимание на недостоверность тра¬
диционной хронологии Исаак Ньютон, за что его сразу же обвинили: он стал к старости выживать из 
ума (в то же время он блестяще провёл реформу английского монетного двора; нам бы столь безумных 
министров!) В наше время эту традицию (называемую гиперкритицизмом) 
продолжает, в частности, академик А. Т. Фоменко [80]. Читая труды гиперкритиков, можно заметить, насколько озлобляет и заставляет 
зарываться тупое сопротивление со стороны специалистов всякой критике считающегося незыблемыми 
устоями науки. Как правило, гиперкритики приходят к тому, что начинают брать под сомнение всё и вы¬
рабатывают фантастическую концепцию ничуть не лучше критикуемой, тем самым выходя за границы и 
науки, и здравого смысла. Всегда сохраняйте чувство меры! Беда России, что в ней слово 
'оппортунист' 
всегда было презрительным, а 'консерватор'' понимался как тупой защитник существующих властей. 

3 Данной метафорой обязан О. M. Аншакову. Я говорил безжалостно: «Термин — труп понятия.» 

xi 

ВВЕДЕНИЕ 

Рис. 1 — Аристотель. Бюст работы Лисиппа, Лувр. Традиционные даты рождения и смерти: 
384 до н. э., Стагир; 7 марта 322 до н. э., Эвбея 

н а л и е ё и о и б к у в доказательстве: текст, объявленнй доказательством, у е ни¬
кого не интересует

4. . . 

Логика — наука, изучающая с формальной точки зрения понятия, суждения о 
понятиях, структуры доказательных рассуждений, методы определения и преобразования всего перечисленного. Её создание сделало возможным развитие европейской 
науки. Её переход на стадию математической логики, а затем возвращение к синтетиче¬
скому понимани 
логики как самостоятельной науки, оказали и о к а з в а т б о л ь о е 
влияние на всю научную мысль. Логика как наука имеет уникальную историю. Она 
была создана на заре европейской цивилизации, в классической Греции, практически 
одним человеком — Аристотелем ([2] - [8]). Тогда впервые высказывания и рассужде¬
ния стали проверяться не на соответствие авторитету, а на убедительность для равных 
тебе граждан. Естественно, что в обстановке переоценки ценностей появилась орда 
софистов и демагогов

5, нагло надувавшиx не только народ, но и достаточно образо¬
ванных л дей подменой понятий, некорректными переходами в приятно в г л я д я и х 
рассужденияx, и т. п. Приведём, например, следующее "логичное" рассуждение. 

Европейцы владели б о л ь е й часть 
мира. 

дмурт 
— европейц . 

(1) 

Значит, удмурта владели большей частью мира. 

4 Эти достаточно точные и строгие критерии показывают, почему в среде математиков устойчивей 
всего сохранялись понятия научной этики и чести учёного. А без этих понятий любая наука мертва. В 
последнее время в связи с внедрением в науку квазиконкурентной системы грантов и культа успеха вме¬
сто культа Истины пошёл шлейф скандалов в связи с разоблачением фальсификаций данных и опытов в 
естественных науках и переписыванием полузабытых результатов в других обозначениях у математиков. 
Впрочем, понятия этики и чести начали стремительно исчезать из науки, когда она стала средством создания орудий массового убийства. Но научная этика, даже сохранённая в полном объёме, не исчерпывает 
человеческой; безупречно честный в науке человек может быть подонком в жизни. 

5 Первоначально эти слова были почётными эпитетами. «Софист» означало «мудрец», «демагог» — 
тот, кто ведёт народ за собой, «вождь народа». Но все слова, вступающие во взаимодействие с отхожим 
местом либо политикой, через некоторое время начинают дурно пахнуть и становятся неприличными. 

xii 

IN.1. ЧТО ТАКОЕ? 

Рис. 2 — Аверроэс (рисунок из Википедии) 

Это потребовало противоядия, создания канона доказательнх рассу дений, создания, 
по словам Канта, «цензуры мысли». Аристотель дал инструмент в столь совершенной 
форме, что более двух тысяч лет его оставалось лишь комментировать

6 и шлифовать. 

н воспользовался в ы с и м и дости ениями тогданей научной м с л и , в частности, 
широко применяя буквенные обозначения для переменных, незадолго перед тем изоб-
ретённе математиками. 

ристотелева логика часто называется 
илосоской 
либо 
ормальной. 
на стала 
неотъемлемм компонентом образования европейских философов, 
ристов, теологов, 
т. е. людей, длительное время составлявших подавляющую и самую влиятельную часть 
образованного слоя обества. 

о но считать, что отноение к логике явилось одним из ме евых камней 
между западной и восточной культурами. Аверроэс (Ибн-Рушд, мавританский учёный 
XII века, традиционные даты жизни 1126-1198) поставил вопрос: 

« одчиняется ли Бог законам логики?» 
(2) 

Христиане разных толков, иудеи и мусульмане восприняли этот вопрос серьёзно

7 

и ответили на него по-разному. Католики р е и л и , что подчиняется, поскольку 
н — 

Именно так! Не развивать, а лишь комментировать. 
Заметим, что уже сама по себе его постановка подчёркивает исключительную роль логики. Скажем, 
вопрос: 

"Подчиняется ли Бог законам физики?" 
(3) 

xiii 

ВВЕДЕНИЕ 

благая сила и соблюдает законы, которые Сам установил. Мусульмане столь же ясно и 
недвусмысленно заявили, что требовать, чтобы Аллах чему-то подчинялся, — оскорбление Аллаха. Православные и иудеи заняли промежуточную позицию. 

о для применения в самой математике логика 
ристотеля оставалась недостаточ¬
но сильной. Математикам не хватало аристотелевских силлогизмов типа 

Все змеи крылатые. 

втор данной книги — змея. 

— 
з 
(4) 
ледовательно, у автора данной книги есть к р л ь я . 

которых было достаточно юристам и теологам

8. 

Традиционну 
логику стали подвергать критике с трех сторон с начала 
ово-
го Времени. Естествоисптатели пытались изобрести нову , индуктивну , логику, 
п о з в о л я у 
выводить о б и е закон 
из ряда ч а с т н х случаев. 
удеи развивали 
логику толкований (называемую сейчас герменевтикой), позволяющую по множеству 
перечисленных в канонических книгах правил и искл чений выводить следствие для 
нового конкретного случая

9. 

ирс в XIX веке заметил, что в в о д ы герменевтики явля тся частным случаем 
необходимых для практики выводов частных случаев из других частных. Логику такого вывода он назвал абдуктивной 
логикой

10. 

глуп. Тем не менее многие физики и люди, привыкшие считать физику основой научного взгляда на мир, 
втайне чувствуют себя уязвленными некорректностью предыдущего вопроса и изо всей силы стремятся 
создать физическую теорию творения (см., например, [71]: глубокое исследование в этом направлении; 
[73]: работа, явно формулирующая цели данного направления). 

8 Вышеприведённое рассуждение с логической точки зрения не менее корректно, чем знаменитый 
силлогизм, столько веков о и б о ч н о создававий логике репутаци 
науки, з а н и м а е й с я л и ь триви¬
альностями: 

Все люди смертны. 
Сократ — человек. 

— 
— 
(5) 

Следовательно, Сократ смертен. 

В книге [36, стр. 254] дано остроумное обоснование, что данный силлогизм с точки зрения современной 
науки некорректен. Но при этом допущена подмена терминов: у эллинов "смертный" означало, что данное 
существо можно убить, бессмертного можно было лишь искалечить либо заточить. Авторы же понимают 
данное слово как 'когда-нибудь умрёт'. Формальная наука отличается тем, что она проверяет прежде всего 
форму и поэтому может рассуждать про глокую куздру из знаменитого предложения академика Щербы 
«Глокая куздраштеко 
быдланула бокра и кудрячит бокрёнка» столь же уверенно, как про сивую кобылу. 

9 Слово 'герменевтика' произошло от имени Гермеса Трисмегиста, не то бога, не то жреца бога Гермеса, которому приписывался тайный трактат по магии и алхимии. Мало того, что этот трактат не подлежал 
передаче непосвященным, он и написан был таким тёмным и уклончивым языком, что истолковать хоть 
что-нибудь из него было почти невозможно. Вот поэтому искусство толкования и назвали его именем. 

1 0 Три сакраментальных термина современной логики — индукция, дедукция и абдукция — проис¬
ходят от одного и того же латинского корня с разными приставками и обозначают, в исходном смысле, 
соответственно: 

1. Получение общего закона из множества частных случаев. 

2. Получение из общего утверждения другого общего либо частного. 

3. Получение нового частного случая из множества частных случаев. 

xiv 

IN.1. ЧТО ТАКОЕ? 

Рис. 3 — Гермес Меркурий Трисмегист. Мозаика кафедрального собора Сиены, 1480-е года. 

Рис. 4 — Чарльз Сандерс Пирс (Charles Sanders Peirce; 10 сентября 1839, Кембридж, 
Массачусетс — 19 апреля 1914, Милфорд, Пенсильвания); американский философ, логик, 
математик, один из основоположников прагматизма и семиотики. 

На самом деле герменевтика включает не только абдукцию, но и ещё по крайней 
мере два важнейших компонента: истолкование метафор и перетолкование взаимно 
противоречивых норм, чтобы исключить противоречия в конкретном случае. 

Математики заметили, что логика могла бы стать математической наукой, но таковой ещё не являлась

1 1. 

Предвестники нового этапа появились в работах Лейбница, когда традиционная 
задача математики: "заменить вычисления рассуждениями" была инвертирована 
и превратилась в задачу математической логики: "заменить рассуждения вычислениями". Аппарат для этого начал возникать в трудах логиков XIX века — англичан 
де Моргана и Буля, и американца Пирса... А развитие по-настоящему пошло лишь в 

1 1 Естествоиспытатели, иудеи и математики, конечно же, не члены деления в смысле традиционной 
логики. Один и тот же человек может входить во все эти группы, и более того, иногда вхождение в пересечение групп помогало первопроходцам. Например, германский еврей-математик Г. Кантор создал 
теорию множеств, вдохновлённый, в значительной степени, проблемой истолкования многих положений 
Талмуда и Каббалы, касающихся таких бесконечных сущностей, как Бог и Высшие Силы. 

xv