Техника чертежно-графических работ с применением проекций с числовыми отметками

 

Н. В. Васина 
С. В. Лобанова 
 
 
 
 
 
 
 
ТЕХНИКА 
ЧЕРТЕЖНО-ГРАФИЧЕСКИХ 
РАБОТ С ПРИМЕНЕНИЕМ 
ПРОЕКЦИЙ С ЧИСЛОВЫМИ 
ОТМЕТКАМИ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Москва 
Берлин 
2020 

УДК 744.9:659.13(075) 
ББК 30.11я7 
В19 

Васина, Н. В. 

В19     Техника чертежно-графических работ с применением

проекций с числовыми отметками : учебное пособие /
Н. В. Васина, С. В. Лобанова. — Москва ; Берлин : 
Директ-Медиа, 2020. — 80 с. : ил. 

ISBN 978-5-4499-1170-4 

Настоящее пособие предназначено для студентов строительных 
специальностей, т. е. для специалистов, которым необходимы навыки 
работы с ортогональными и аксонометрическими чертежами, а также 
с чертежами в проекциях с числовыми отметками, позволяющими 
изображать земную поверхность и различные ее объекты. В пособии 
рассматриваются позиционные задачи по темам «Пересечение прямой 
с плоскостью», «Пересечение плоскостей», «Чертеж земляного сооружения». 

Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 744.9:659.13(075) 
ББК 30.11я7 

ISBN 978-5-4499-1170-4
© Васина Н. В., Лобанова С. В., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

 

ВВЕДЕНИЕ 

Специфической особенностью содержания курса начертательной 
геометрии для учащихся строительных специальностей является 
наличие раздела «Проекции с числовыми отметками». Знания, уме-
ния, навыки, полученные при изучении этого материала, применя-
ются при выполнении чертежей строительных объектов, у которых 
размеры по высоте значительно меньше размеров в плане. Чертежи в 
проекциях с числовыми отметками дают представление не только о 
форме сооружения и его размерах, но и об уклонах, об объемах зем-
ляных работ, о направлении стока паводковых и ливневых вод. 
Одним из графических заданий по этой теме является «Чертеж 
земляного сооружения», при решении которого требуется построить 
линии пересечения откосов. Задачи, в которых определяют общие 
элементы геометрических фигур, заданных на чертеже, называют 
позиционными. 
В начертательной геометрии рассматривают следующие пози-
ционные задачи: 
1) определение точки (или точек) пересечения произвольной 
кривой линии с произвольной поверхностью. В данном пособии рас-
сматривается задача определения точки пересечения прямой с плос-
костью; 
2) построение линии пересечения двух произвольных поверх-
ностей. В пособии приведены примеры решения задач на построение 
линии пересечения двух плоскостей.  
Позиционные задачи на определение точки пересечения пря-
мой и плоскости и нахождения линии пересечения плоскостей мож-
но считать ключевыми в начертательной геометрии.  
Рассмотрим решение этих задач на ортогональных и аксоно-
метрических чертежах, а также на чертеже с числовыми отметками. 

1. ОСНОВЫ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ 
С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ 

В инженерно-строительном деле строительном деле часто 
приходится изображать земную поверхность, проектировать на этих 
изображениях различные земляные сооружения и решать всевоз-
можные метрические задачи. 
Так как форма земной поверхности и упомянутых сооружений 
обычно бывает сложной: протяжения в вертикальном направлении 
совершенно ничтожны по сравнению с протяжениями в горизон-
тальном направлении, то употребление для их изображении метода 
ортогональных проекций на две взаимно-перпендикулярные плоско-
сти, равно как и метод аксонометрических или перспективных про-
екций, становится сложным и неудобным. Поэтому еще в средние 
века практическая деятельность заставила выдвинуть для этих слу-
чаев особый метод изображения, сущность которого заключается в 
следующем. 
Проекцию на вертикальную плоскость (фасад), служащую в 
метрическом отношении для получения высот отдельных точек 
предмета над горизонтальной плоскостью, заменяют числами (от-
метками, альтитудами), обозначающими высоты этих точек, и 
оставляют одну горизонтальную проекцию (план) с упомянутыми 
числовыми отметками. 
Для получения большей наглядности изображения и для ре-
шения различных задач часто прибегают и к проекции на вертикаль-
ную плоскость, но не в виде фасада, а в виде вертикального разреза, 
совмещаемого с основной горизонтальной плоскостью. 
Проекция с числовыми отметками соответствует всем требо-
ваниям обратимых проекционных чертежей (геометрических моде-
лей пространства). Общим случаем получения обратимой модели 
пространства является проецирование на систему взаимно связан-
ных двух плоскостей проекций с последующим переносом изобра-
жения с одной плоскости на другую. Особенностью получения 
проекций с числовыми отметками является ортогональное проеци-
рование из несобственных центров S1 и S2 элементов геометрического 
пространства на систему двух взаимно параллельных (горизонталь-
ных) плоскостей с последующим перепроецированием изображения 
с одной плоскости на вторую. 

Рассмотрим этот этап проецирования. 
На рис. 1.1 задана система параллельных плоскостей П1 и П2. 
Проецирование на эти плоскости будем выполнять ортогонально из 
центров 
1
2
S
 S
∞
∞
=
. Тогда некоторая точка пространства А изобразится 
на плоскости П2 в виде ее проекции А2, а на плоскость П1 — в виде 
проекции А1. 
Перепроицируем изображение А2 на плоскость П1 ортогональ-
но из центра 
1
2
3
S
 S
S
∞
∞
∞
=
=
 в точку А1. Очевидно, что 
1
1
A
 A
′ =
, т. е. 
мы получим слившиеся проекции точки А. Если зафиксировать на 
плоскости П1 удаление точки А от П1 (величину h), получим проек-
цию точки А, заданную в числовых отметках. 

 

Рис. 1.1. Получение проекции с числовыми отметками 

1.1. Точка и прямая линия 
в проекциях с числовыми отметками 

На пространственном изображении (рис. 1.2, а) показано по-
ложение точек А и В относительно горизонтальной плоскости Н, 
принятой за плоскость проекций (уровень). Видно, что точка А 
находится ниже плоскости Н на 3 единицы длины, а точка В — 
выше ее на 4 единицы. В этом случае говорят, что точка А имеет 

отметку, или альтитуду, минус 3 единицы, а точка В — отметку, или 
альтитуду, плюс 4 единицы. 
Подошвы перпендикуляров, опущенных из точек А и В на 
плоскость Н, обозначенные соответственно А(-3) и В(4), и представляют 
проекции этих точек с числовыми отметками. За единицу длины 
чаще всего принимается 1 м. Таким образом, отметка точки, 
находящейся выше основной плоскости, считается положительной, а 
отметка точки, находящейся ниже ее, — отрицательной. Следовательно, 
точка, совпадающая с основной плоскостью, будет иметь 
нулевую отметку. При пользовании проекциями с числовыми отметками 
для удобства основную плоскость Н обычно выбирают так, 
чтобы все определяемые точки имели положительные отметки. 
На рис. 1.2, б соединим точки А и В, а также А(-3) и В(4) прямыми 
линиями. Мы получаем отрезок АВ в пространстве и проекцию 
его А–3В4 с числовыми отметками. Представленная проекция 
этого отрезка вполне определяет положение прямой АВ в пространстве, 
так как, восстановив в точках А(-3) и В(4) перпендикуляры к 
плоскости Н и отложив на них соответственно вниз 3 единицы и 
вверх 4 единицы, мы получим точки А и В, определяющие линию АВ 
в пространстве. 
Видно, что прямая АВ пересекает основную плоскость Н 
в точке М, которая называется следом прямой АВ и которая лежит на 
пересечении АВ с ее проекцией. Угол α между прямой АВ и ее про-
екцией есть угол наклона этой прямой к основной плоскости.  
На рис. 1.2, в показано изображение на проекциях с числовы-
ми отметками, представленное в пространстве. На этой фигуре по-
строено также совмещенное положение отрезка АНВН с основной 
плоскостью Н. Построение выразилось в том, что к линии А–3В4 
в  точке В(4) восстановлен перпендикуляр длиной 4 единицы, а в 
точке А(-3) тоже проведен перпендикуляр, но в противоположном 
направлении и длиной 3 единицы. Соединение концов этих перпен-
дикуляров — точек АН и ВН — дает совмещенное положение отрезка 
АВ. При этом длина отрезка АНВН представляет натуральную вели-
чину отрезка АВ. Точка М пересечения АНВН с проекцией дает след 
прямой АВ. ∠ ВНМВ4 определяет истинную величину угла наклона 
этой прямой к основной плоскости Н. 
Отсюда становится понятным, как по заданной проекции отрез-
ка прямой с числовыми отметками построить натуральную величину 

этого отрезка, угол его наклона к горизонту и след. Для этого надо 
заключить данную прямую и вертикальную плоскость (имеющую 
своим следом проекцию данной линии) и эту плоскость совместить с 
основной плоскостью путем вращения ее вокруг проекции. 

 
Рис. 1.2. Точка и прямая в проекциях с числовыми отметками: 
а — построение проекции точки, б — построение проекции 
прямой, в — построение изображения в пространстве 

Часто прямая бывает задана проекцией с двумя числовыми 
отметками, выраженными не целыми числами, и приходится опре-
делять те точки проекции, отметки которых выражаются целыми 
числами в последовательном порядке. Определение таких точек 
называется градуированием или интерполированием прямой и по-
казано на рис. 1.3 на прямой, заданной точками А(4,3) и В(7,8).  

 
Рис. 1.3. Градуирование прямой 

Параллельно проекции заданной прямой проводим несколько 
линий на произвольном, но равном расстоянии друг от друга. 
Первую линию принимаем за уровень в 4 единицы, а последую-
щие — за уровень 5, 6, 7 и т. д. В точках А и В восстанавливаем пер-
пендикуляры к проекции прямой. На этих перпендикулярах между 
соответствующими линиями уровня определяем уровень в 4, 3 еди-
ницы (точка А) и уровень в 7, 8 единиц (точка В). 
Полученные точки соединяем прямой линией, которая пересе-
кает 5-ю уровненную линию в точке 5, 6-ю — в точке 6 и 7-ю — 
в точке 7. Эти точки 5, 6 и 7, очевидно, и являются точками прямой 
АВ, имеющими отметки в 5, 6 и 7 единиц. Перпендикуляры, опущен-
ные из них на проекцию линии АВ, и дают искомые точки 5, 6 и 7. 
Они находятся на равном расстоянии друг от друга и являются проек-
циями прямой АВ с отметками, выраженными целыми числами. 
Если из точки 5 данной проекции отложить влево по направ-
лению ее 5 единиц, каждая равная отрезку 5–6 или 6–7 (что то же 
самое), то мы получим точку, имеющую нулевую отметку, т. е. след 
прямой АВ. Если бы расстояние между нанесенными уровненными 
линиями было взято равным единицы длины, то угол между прямой 

АВ и ее проекцией был бы истинным углом наклона прямой к гори-
зонту. А расстояние АВ представляло бы натуральную величину от-
резка в пространстве, и расстояние между точками 5 и 6 или 6 и 7 
проекции составляло бы длину так называемого интервала данной 
прямой АВ. Следовательно, интервал прямой есть горизонтальное 
расстояние или, как говорят, горизонтальное заложение (или про-
ложение) между двумя точками прямой, имеющими разность уров-
ней в одну единицу длины. Интервал есть величина, обратная уклону 
линии. 
На рис. 1.4 показан вертикальный разрез земного пути, име-
ющего подъем от точки А до точки В величиной ВВА, и разрез тако-
го же участка пути, имеющего падение от точки С к точке Е 
величиной ЕЕС. 

 

Рис. 1.4. Вертикальные разрезы земного пути 

Отрезок АВА, обозначенный через L, представляет горизон-
тальное заложение пути АВ, а отрезок СЕС — заложение пути СЕ. 
Угол наклона пути обозначен через α. Величина подъема или паде-
ния пути, приходящаяся на единицу горизонтального проложения 
этого пути, называется уклоном пути и обозначается через i. Вели-
чина заложения, приходящаяся на единицу подъема или падения 
пути, называется интервалом пути и обозначается через l.  
Следовательно,  

h
i
tg
L
=
=
α ; 
L
1
1
l
ctg
h
tg
i
=
=
α =
=
α
. 

Итак, уклон линии есть тангенс угла наклона этой линии к 
горизонту, а интервал линии — котангенс этого угла. Следова-
тельно, уклон и интервал — линии, обратные друг другу.  
В частном случае, когда прямая линия горизонтальна, угол 
α = 0, и тогда уклон ее i = tgα = 0. Интервал тогда определяется 

1
l
i
=
= ∞ . 

По заданному заложению прямой определяют натуральную 
величину отрезка и угол его наклона к плоскости проекций, т. е. 
определяют уклон и интервал прямой. 
При рассмотрении относительного положения точки и пря-
мой обычно определяют высотные отметки точек, принадлежащих 
прямой или величину их заложения. 
Проградуированное заложение прямой вполне определяет 
прямую в пространстве, т. е. ее направление, подъем и угол линии. 
Сопоставление этих данных позволяет определить относительное 
положение прямых в пространстве. 

1.2. Определение относительного положения 
двух прямых 

Две прямые линии могут быть: 
1) пересекающимися; 
2) скрещивающимися; 
3) параллельными.