Техника чертежно-графических работ с применением проекций с числовыми отметками

 

Н. В. Васина 
С. В. Лобанова 
 
 
 
 
 
 
 
ТЕХНИКА 
ЧЕРТЕЖНО-ГРАФИЧЕСКИХ 
РАБОТ С ПРИМЕНЕНИЕМ 
ПРОЕКЦИЙ С ЧИСЛОВЫМИ 
ОТМЕТКАМИ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Москва 
Берлин 
2020 

УДК 744.9:659.13(075) 
ББК 30.11я7 
В19 

Васина, Н. В. 

В19     Техника чертежно-графических работ с применением

проекций с числовыми отметками : учебное пособие /
Н. В. Васина, С. В. Лобанова. — Москва ; Берлин : 
Директ-Медиа, 2020. — 80 с. : ил. 

ISBN 978-5-4499-1170-4 

Настоящее пособие предназначено для студентов строительных 
специальностей, т. е. для специалистов, которым необходимы навыки 
работы с ортогональными и аксонометрическими чертежами, а также 
с чертежами в проекциях с числовыми отметками, позволяющими 
изображать земную поверхность и различные ее объекты. В пособии 
рассматриваются позиционные задачи по темам «Пересечение прямой 
с плоскостью», «Пересечение плоскостей», «Чертеж земляного сооружения». 
Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 744.9:659.13(075) 
ББК 30.11я7 

ISBN 978-5-4499-1170-4
© Васина Н. В., Лобанова С. В., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

 

ВВЕДЕНИЕ 

Специфической особенностью содержания курса начертательной геометрии для учащихся строительных специальностей является 
наличие раздела «Проекции с числовыми отметками». Знания, умения, навыки, полученные при изучении этого материала, применяются при выполнении чертежей строительных объектов, у которых 
размеры по высоте значительно меньше размеров в плане. Чертежи в 
проекциях с числовыми отметками дают представление не только о 
форме сооружения и его размерах, но и об уклонах, об объемах земляных работ, о направлении стока паводковых и ливневых вод. 
Одним из графических заданий по этой теме является «Чертеж 
земляного сооружения», при решении которого требуется построить 
линии пересечения откосов. Задачи, в которых определяют общие 
элементы геометрических фигур, заданных на чертеже, называют 
позиционными. 
В начертательной геометрии рассматривают следующие позиционные задачи: 
1) определение точки (или точек) пересечения произвольной 
кривой линии с произвольной поверхностью. В данном пособии рассматривается задача определения точки пересечения прямой с плоскостью; 
2) построение линии пересечения двух произвольных поверхностей. В пособии приведены примеры решения задач на построение 
линии пересечения двух плоскостей.  
Позиционные задачи на определение точки пересечения прямой и плоскости и нахождения линии пересечения плоскостей можно считать ключевыми в начертательной геометрии.  
Рассмотрим решение этих задач на ортогональных и аксонометрических чертежах, а также на чертеже с числовыми отметками. 

1. ОСНОВЫ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ 
С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ 

В инженерно-строительном деле строительном деле часто 
приходится изображать земную поверхность, проектировать на этих 
изображениях различные земляные сооружения и решать всевозможные метрические задачи. 
Так как форма земной поверхности и упомянутых сооружений 
обычно бывает сложной: протяжения в вертикальном направлении 
совершенно ничтожны по сравнению с протяжениями в горизонтальном направлении, то употребление для их изображении метода 
ортогональных проекций на две взаимно-перпендикулярные плоскости, равно как и метод аксонометрических или перспективных проекций, становится сложным и неудобным. Поэтому еще в средние 
века практическая деятельность заставила выдвинуть для этих случаев особый метод изображения, сущность которого заключается в 
следующем. 
Проекцию на вертикальную плоскость (фасад), служащую в 
метрическом отношении для получения высот отдельных точек 
предмета над горизонтальной плоскостью, заменяют числами (отметками, альтитудами), обозначающими высоты этих точек, и 
оставляют одну горизонтальную проекцию (план) с упомянутыми 
числовыми отметками. 
Для получения большей наглядности изображения и для решения различных задач часто прибегают и к проекции на вертикальную плоскость, но не в виде фасада, а в виде вертикального разреза, 
совмещаемого с основной горизонтальной плоскостью. 
Проекция с числовыми отметками соответствует всем требованиям обратимых проекционных чертежей (геометрических моделей пространства). Общим случаем получения обратимой модели 
пространства является проецирование на систему взаимно связанных двух плоскостей проекций с последующим переносом изображения с одной плоскости на другую. Особенностью получения 
проекций с числовыми отметками является ортогональное проецирование из несобственных центров S1 и S2 элементов геометрического 
пространства на систему двух взаимно параллельных (горизонтальных) плоскостей с последующим перепроецированием изображения 
с одной плоскости на вторую. 

Рассмотрим этот этап проецирования. 
На рис. 1.1 задана система параллельных плоскостей П1 и П2. 
Проецирование на эти плоскости будем выполнять ортогонально из 
центров 
1
2
S
 S
∞
∞
=
. Тогда некоторая точка пространства А изобразится 
на плоскости П2 в виде ее проекции А2, а на плоскость П1 — в виде 
проекции А1. 
Перепроицируем изображение А2 на плоскость П1 ортогонально из центра 
1
2
3
S
 S
S
∞
∞
∞
=
=
 в точку А1. Очевидно, что 
1
1
A
 A
′ =
, т. е. 
мы получим слившиеся проекции точки А. Если зафиксировать на 
плоскости П1 удаление точки А от П1 (величину h), получим проекцию точки А, заданную в числовых отметках. 

 

Рис. 1.1. Получение проекции с числовыми отметками 

1.1. Точка и прямая линия 
в проекциях с числовыми отметками 

На пространственном изображении (рис. 1.2, а) показано положение точек А и В относительно горизонтальной плоскости Н, 
принятой за плоскость проекций (уровень). Видно, что точка А 
находится ниже плоскости Н на 3 единицы длины, а точка В — 
выше ее на 4 единицы. В этом случае говорят, что точка А имеет 

отметку, или альтитуду, минус 3 единицы, а точка В — отметку, или 
альтитуду, плюс 4 единицы. 
Подошвы перпендикуляров, опущенных из точек А и В на 
плоскость Н, обозначенные соответственно А(-3) и В(4), и представляют проекции этих точек с числовыми отметками. За единицу длины чаще всего принимается 1 м. Таким образом, отметка точки, 
находящейся выше основной плоскости, считается положительной, а 
отметка точки, находящейся ниже ее, — отрицательной. Следовательно, точка, совпадающая с основной плоскостью, будет иметь 
нулевую отметку. При пользовании проекциями с числовыми отметками для удобства основную плоскость Н обычно выбирают так, 
чтобы все определяемые точки имели положительные отметки. 
На рис. 1.2, б соединим точки А и В, а также А(-3) и В(4) прямыми линиями. Мы получаем отрезок АВ в пространстве и проекцию его А–3В4 с числовыми отметками. Представленная проекция 
этого отрезка вполне определяет положение прямой АВ в пространстве, так как, восстановив в точках А(-3) и В(4) перпендикуляры к 
плоскости Н и отложив на них соответственно вниз 3 единицы и 
вверх 4 единицы, мы получим точки А и В, определяющие линию АВ 
в пространстве. 
Видно, что прямая АВ пересекает основную плоскость Н 
в точке М, которая называется следом прямой АВ и которая лежит на 
пересечении АВ с ее проекцией. Угол α между прямой АВ и ее проекцией есть угол наклона этой прямой к основной плоскости.  
На рис. 1.2, в показано изображение на проекциях с числовыми отметками, представленное в пространстве. На этой фигуре построено также совмещенное положение отрезка АНВН с основной 
плоскостью Н. Построение выразилось в том, что к линии А–3В4 
в  точке В(4) восстановлен перпендикуляр длиной 4 единицы, а в 
точке А(-3) тоже проведен перпендикуляр, но в противоположном 
направлении и длиной 3 единицы. Соединение концов этих перпендикуляров — точек АН и ВН — дает совмещенное положение отрезка 
АВ. При этом длина отрезка АНВН представляет натуральную величину отрезка АВ. Точка М пересечения АНВН с проекцией дает след 
прямой АВ. ∠ ВНМВ4 определяет истинную величину угла наклона 
этой прямой к основной плоскости Н. 
Отсюда становится понятным, как по заданной проекции отрезка прямой с числовыми отметками построить натуральную величину 

этого отрезка, угол его наклона к горизонту и след. Для этого надо 
заключить данную прямую и вертикальную плоскость (имеющую 
своим следом проекцию данной линии) и эту плоскость совместить с 
основной плоскостью путем вращения ее вокруг проекции. 

 
Рис. 1.2. Точка и прямая в проекциях с числовыми отметками: 
а — построение проекции точки, б — построение проекции 
прямой, в — построение изображения в пространстве 

Часто прямая бывает задана проекцией с двумя числовыми 
отметками, выраженными не целыми числами, и приходится определять те точки проекции, отметки которых выражаются целыми 
числами в последовательном порядке. Определение таких точек 
называется градуированием или интерполированием прямой и показано на рис. 1.3 на прямой, заданной точками А(4,3) и В(7,8).  

 
Рис. 1.3. Градуирование прямой 

Параллельно проекции заданной прямой проводим несколько 
линий на произвольном, но равном расстоянии друг от друга. 
Первую линию принимаем за уровень в 4 единицы, а последующие — за уровень 5, 6, 7 и т. д. В точках А и В восстанавливаем перпендикуляры к проекции прямой. На этих перпендикулярах между 
соответствующими линиями уровня определяем уровень в 4, 3 единицы (точка А) и уровень в 7, 8 единиц (точка В). 
Полученные точки соединяем прямой линией, которая пересекает 5-ю уровненную линию в точке 5, 6-ю — в точке 6 и 7-ю — 
в точке 7. Эти точки 5, 6 и 7, очевидно, и являются точками прямой 
АВ, имеющими отметки в 5, 6 и 7 единиц. Перпендикуляры, опущенные из них на проекцию линии АВ, и дают искомые точки 5, 6 и 7. 
Они находятся на равном расстоянии друг от друга и являются проекциями прямой АВ с отметками, выраженными целыми числами. 
Если из точки 5 данной проекции отложить влево по направлению ее 5 единиц, каждая равная отрезку 5–6 или 6–7 (что то же 
самое), то мы получим точку, имеющую нулевую отметку, т. е. след 
прямой АВ. Если бы расстояние между нанесенными уровненными 
линиями было взято равным единицы длины, то угол между прямой