Моделирование систем

МОДЕЛИРОВАНИЕ 
СИСТЕМ

И.А. АСТРАХАНЦЕВА
С.П. БОБКОВ

Допущено Федеральным учебно-методическим объединением
в системе высшего образования по укрупненной группе
специальностей и направлений подготовки высшего образования
09.00.00 «Информатика и вычислительная техника»
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающимся по направлениям подготовки
бакалавриата 09.03.02 «Информационные системы и технологии»
и магистратуры 09.04.02 «Информационные системы и технологии»

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.87(075.8)
ББК 22.18я73
 
А91

Р е ц е н з е н т ы:

Мизонов Вадим Евгеньевич , доктор технических наук, профессор, 

профессор кафедры прикладной математики Ивановского государственного энергетического университета имени В.И. Ленина;

Бойков Сергей Юрьевич, кандидат технических наук, доцент, заве
дующий кафедрой «Информационные системы и технологии» Ярославского государственного технического университета

ISBN 978-5-16-017220-0 (print)
ISBN 978-5-16-109759-5 (online)

© Астраханцева И.А., Бобков С.П., 

2022

Астраханцева И.А.

А91  
Моделирование систем : учебное пособие / И.А. Астраханцева, 

С.П. Бобков. — Москва: ИНФРА-М, 2023. — 216 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1831624.

ISBN 978-5-16-017220-0 (print)
ISBN 978-5-16-109759-5 (online)
В учебном пособии рассмотрены общие вопросы моделирования си 
стем, аналитический, эмпирический и имитационный подходы к моделированию. Приведены типовые математические схемы, используемые 
при аналитическом подходе, методы и инструмен ты имитационного моделирования систем. Также уделено внимание сетевым и агентным альтернативным подходам к моделированию.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направ
лению 09.03.02 «Информационные системы и технологии», в рабочие 
учебные планы которых входит дисциплина «Моделирование систем». 
Предполагается, что планы подготовки также включают в себя учебные 
курсы «Дискретная математика», «Математическая логика и теория алгоритмов», «Системный анализ». Также пособие будет полезно студентам 
магистратуры, обучающимся по направлению 09.04.02 «Информационные 
системы и технологии» (дисциплина «Модели информационных процессов и систем»).

УДК 519.87(075.8)

ББК 22.18я73

Введение

Моделирование — это универсальный метод изучения окружающего мира, способ его познания, широко используемый исследователями. Получив математическую основу, моделирование 
перестало быть созерцательным и эмпирическим, что открыло 
возможность для применения строгих теоретических методов анализа и прогнозирования поведения объектов, процессов и явлений. 
Без сомнений, математическое моделирование и его современный 
вариант — компьютерное (имитационное) моделирование — важнейший метод исследования, сочетающий в себе достоинства как 
теории, так и эксперимента.
Эксперимен ты с математической моделью, а не с самим объектом 
(системой, процессом) заключаются в выполнении различных математических операций, что позволяет сравнительно быстро и безопасно анализировать поведение реального объекта в различных 
условиях. При этом сами вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперимен ты с моделями нередко позволяют получить 
дополнительную информацию об объекте.
С развитием информационного общества математическое моделирование становится все более важным инструментом развития 
современного мира. Широкое внедрение средств обработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям проникновения компьютерных технологий в различные сферы человеческой деятельности. Однако для решения задач анализа и прогноза, для принятия правильных управленческих решений только 
самой информации недостаточно, требуются надежные способы переработки данных в точные знания. Именно в этом смысле интеллектуальным ядром информационных технологий стало математическое моделирование, без применения которого ни один крупномасштабный проект в наше время всерьез не рассматривается. 
Этим и можно объяснить важность изучения методов и подходов 
математического и имитационного моделирования для подготовки 
современного специалиста.
Цель данного учебного пособия — облегчить формирование 
у студентов знаний и навыков в области моделирования технических и экономических объектов, процессов и систем для их дальнейшего анализа и оптимизации.
Книга состоит из восьми основных глав. В главе 1 приведены 
основные понятия моделирования, классификация моделей, общая 

методика их разработки и требования к ним. В главе 2 рассмотрены 
вопросы моделирования на стадии эксперимента (здесь речь идет 
о создании и использовании эмпирических моделей). Особое 
место в учебном пособии занимают аналитические подходы к моделированию систем и объектов, которым посвящены главы 3–6. 
Рассматриваемые в этих главах методы моделирования систем разделяются строго в соответствии с математическими схемами, используемыми математическим аппаратом. Так, в главе 3 описано 
использование дифференциальных уравнений различного вида 
в качестве моделей объектов, отмечена необходимость введения 
в модель упрощающих допущений, оцениваются результаты данного абстрагирования. Глава 4 посвящена моделям в виде конечных 
автоматов, их применению при описании поведения технических 
объектов, про граммных компонентов, бизнес-процессов. Возможности использования элемен тов теории цепей А.А. Маркова 
для моделирования дискретных стохастических систем иллюстрирует глава 5. В главе 6 описаны стохастические системы с непрерывным временем и потоки событий; основное внимание уделено 
аналитическому моделированию систем массового обслуживания 
с использованием уравнений А.Н. Колмогорова. Имитационному 
компьютерному моделированию систем посвящена глава 7, в которой описаны понятия, виды, обобщенные алгоритмы имитационного моделирования, а также приведены сведения о современном 
инструментальном программном обеспечении для его реализации. 
В главе 8 рассмотрены некоторые альтернативные подходы к моделированию сложных систем, для чего в нее включены вопросы 
использования сетей Петри, нейронных сетей, информационноэнтропийного и агентного подходов к моделированию сложных 
систем. Все теоретические положения иллюстрируются многочисленными примерами технического и экономического характера.
Основой данного учебного пособия стали материалы лекционного курса, который несколько лет авторы читают студентам факультета техники, управления и цифровой инфраструктуры Ивановского государственного химико-технологического университета.
В основу лекционного курса и материала учебного пособия положены основополагающие труды в области теоретических основ 
моделирования и методов разработки математических и имитационных моделей систем различной природы отечественных ученых 
Н.П. Бусленко, Б.Я. Советова, И.П. Норенкова, В.В. Глухова и зарубежных авторов Р. Шеннона, С. Вольфрама. Используя книги 
этих авторов, студенты смогут пополнить и углубить свои знания 
по рассматриваемому предмету. Библиографический список, вклю

чающий работы упомянутых авторов, а также некоторые другие 
труды, которые можно рекомендовать для самостоятельной подготовки, приведен в конце пособия.
Цели освоения обучающимися материала данного учебного пособия:
 
• получение комплексного представления о подходах к созданию математических моделей технических систем и объектов управления;
 
• освоение теоретических и практических основ методологии 
и технологии моделирования (в первую очередь компьютерного) при исследовании, проектировании и эксплуатации информационных систем;
 
• формирование и развитие профессио нальных навыков использования современной компьютерной техники в математическом 
моделировании.
В результате освоения материала учебного пособия студенты 
будут:
знать
 
• принципы построения математических моделей процессов 
и объектов при решении задач анализа и синтеза распределенных информационных систем и систем поддержки принятия 
решений;
 
• методологию и основные методы математического моделирования, классификацию и условия применения моделей, основные методы и средства проектирования информационных 
и автоматизированных систем, инструментальные средства моделирования и проектирования информационных и автоматизированных систем;
 
• отечественный и международный опыт в области исследований 
информационных систем и технологий; научные проблемы 
по тематике проводимых исследований и разработок; методы 
и средства планирования и организации исследований и разработок на всех этапах жизненного цикла программного средства; 
методы проведения эксперимен тов и наблюдений, обобщения 
и обработки информации по проводимым исследованиям;
уметь
 
• разрабатывать и применять математические модели процессов 
и объектов при решении задач анализа и синтеза распределенных информационных систем и систем поддержки принятия 
решений;
 
• решать стандартные профессио нальные задачи с применением 
естественно-научных и общеинженерных знаний, методов математического анализа и моделирования;

 
• применять на практике математические модели, методы 
и средства проектирования и автоматизации систем;
 
• формулировать цели и задачи проводимых исследований и разработок; применять актуальную нормативную документацию 
в области исследований информационных систем и технологий; 
анализировать научные проблемы по тематике проводимых исследований и разработок;
владеть
 
• навыками построения математических моделей для реализации 
успешного функционирования распределенных информационных систем и систем поддержки принятия решений;
 
• техниками проведения анализа новых направлений исследований в области профессио нальной деятельности, обоснования 
перспектив проведения исследований в области профессиональной деятельности.

Глава 1. 
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. МОДЕЛЬ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

Моделирование — это общепризнанное средство познания действительности, которое используется в научных исследованиях, 
управлении, проектной и конструкторской работе, т.е. во всех областях человеческой деятельности, где применяются методы научного поиска. Моделирование позволяет исследовать сложные процессы и явления на основе эксперимен тов не с реальной системой, 
а с ее моделью.
В повседневной деятельности эксперимен ты ставятся на реальных системах: экономике страны, отдельном предприятии, организации, социальной системе, системе управления сложным 
процессом. Зачастую лицо, принимающее решение (ЛПР), использует интуитивный метод, основанный на личном опыте, интуиции, 
предпочтениях. В таких случаях трудно предсказать изменение поведения управляемой системы в целом.
Понятно, что проводить эксперимен ты с реальными системами, 
которые обыч но являются крупными и дорогими объектами, чрезвычайно дорого, опасно, а подчас и невозможно. Моделирование 
предоставляет способ замены реальной системы (оригинала) аналогом (моделью) с последующим изучением свойств и поведения 
оригинала на модели.
С этих позиций целью моделирования является поддержка 
принятия адекватных управленческих, конструкторских, научных 
и иных решений. Наличие компьютерных средств сделало процесс 
моделирования чрезвычайно актуальным и важным этапом принятия решений во всех сферах деятельности человека, этапом, способствующим получению желаемого результата. Поэтому знание 
концепций и методов моделирования, принципов построения моделей и выбора средств их реализации на сегодняшний день необходимо руководителям, инженерам, менеджерам, бизнес-аналитикам и др.
Модель — это упрощенный образ реального объекта (процесса, 
системы), создаваемый для исследования его характеристик, которые нас интересуют в данный момент. Иногда переход к исследованию его других характеристик приводит к целесообразности 

использования совершенно иных моделей, хотя исследуемый оригинал остается тем же.
Модель — аналог, прототип, шаблон, образец, используемый 
вместо оригинала для получения ответов на интересующие исследователя вопросы. Модель строится на основании ограниченного 
множества известных данных о свойствах и поведении реального 
объекта.
Цели построения моделей и их использования (решение модельных задач):
 
• получение ранее неизвестных данных;
 
• предсказание новых свойств;
 
• прогнозирование будущего поведения;
 
• извлечение пользы от принятия оптимальных решений;
 
• систематизация и обобщение известных данных.

1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

Рассмотрим основные признаки, по которым классифицируют 
модели.
Классификация моделей по степени абстрагирования от оригинала. По данному признаку модели делят на физические (материальные) и математические (идеальные).
Физические модели создаются для исследования объектов 
на опытных установках в специальных лабораториях. Обыч но физическая модель имеет меньшие размеры, чем натуральный объект, 
но не исключена и обратная ситуация. Таким образом, при физическом моделировании используется система, подобная оригиналу 
(летательный аппарат в аэродинамической трубе).
Математическая модель более абстрагирована от оригинала, 
она не материальна, а является логическим объектом, упрощенным 
образом изучаемого явления, записанным с помощью математической символики. Математическое моделирование предполагает осуществление эксперимен тов, сущность которых основана 
на выполнении различных операций с математическими моделями 
(обыч но это решение систем уравнений или логических задач различного вида и сложности).
Сравнение физического и математического моделирования приводит к следующим выводам.
Физическому моделированию присущи недостатки, прежде 
всего экономические. Созданию физической модели предшествуют 
предварительные работы по ее проектированию, изготовлению 
узлов и деталей, монтажу и наладке, оснащению вспомогательным 

оборудованием. Любая лабораторная установка требует площадей 
для ее размещения и расположения обслуживающего персо нала, 
при эксплуатации потреб ляет энергетические и материальные ресурсы. Диапазон изменений исследуемых характеристик на физических моделях обыч но невелик и ограничивается разумностью 
затрат на проведение опытов и возможностями конструкционных 
материалов, из которых изготовлена модель.
Математическое моделирование — наиболее экономичный 
и удобный способ познания. Безусловно, создание математической 
модели и работа с ней требуют определенных затрат, но их объем 
обыч но не идет ни в какое сравнение с затратами на создание и эксплуатацию лабораторных установок. Все эксперимен ты проводят 
над нематериальным объектом, существующим в виртуальной 
действительности. Затратами здесь можно считать использование 
вычислительных ресурсов и умственного труда человека-исследователя. При математическом моделировании диапазон изменений 
исследуемых параметров лимитируется только здравым смыслом 
и правилами математики. Считается, что при использовании математического моделирования затраты в среднем сокращаются в 10–
100 раз. Однако в настоящее время исследователи еще используют 
физическое моделирование, особенно это касается естественных 
наук, поскольку некоторые параметры изучаемых процессов могут 
быть определены только экспериментально.
В математическом моделировании развита теоретическая 
основа. Если при физическом моделировании она проявляется, как 
правило, при выдвижении исходной гипотезы и осмыслении полученных опытных данных, то при математическом моделировании, 
кроме того, необходимы формализация (перевод на языки математики и логики) изучаемых свойств, теоретическое обоснование аналогии между моделью и реальным явлением, правильная интерпретация и обобщение результатов математического эксперимента. Без 
этого математическое моделирование перестает быть достоверным 
источником информации о реальных явлениях.
Ниже речь будет идти только о математических моделях. Классификация математических моделей представлена в табл. 1.1.
Классификация моделей по способу представления свойств 
объекта. По данному признаку модели можно разделить на аналитические и имитационные. Соответственно и виды моделирования 
бывают аналитическими и имитационными.
Аналитическое моделирование заключается в том, что процессы 
функционирования элемен тов системы или объекта описываются 
математическими соотношениями (алгебраическими, интеграль

ными, дифференциальными, логическими и т.д.), конкретный вид 
которых определяется результатом анализа поведения реального 
объекта, откуда и произошло название данного типа моделирования. Поэтому аналитические математические модели обыч но 
представляют собой явные математические выражения, связывающие исследуемые параметры объекта.

Таблица 1.1

Классификация математических моделей

Классификационный признак
Математические модели

По назначению
Структурные (статические)
Функциональные (динамические)
Структурно-функциональные

По характеру функционирования
Детерминированные (неслучайные)
Стохастические (случайные)

По характеру изменения состояний
Непрерывные
Дискретные

По режиму функционирования
Стационарные
Нестационарные

Однако аналитическое представление подходит лишь для достаточно простых или сильно идеализированных (упрощенных) задач 
и объектов. С помощью аналитических моделей обыч но описывают 
фундаментальные свойства объектов. Сложные объекты редко удается описать аналитически.
Аналитическая модель может быть исследована аналитическим, 
численным или качественным методом.
Если математические выражения, составляющие модель, можно 
решить известными приемами из соответствующего раздела математики, то мы имеем дело с аналитическим методом исследования 
модели. При этом устанавливаются явные зависимости, получаются точные решения.
Если же математические зависимости, составляющие модель, 
сложно или невозможно решить аналитически, то прибегают к численному методу, который по сравнению с аналитическим позволяет исследовать более широкий класс систем, однако полученные решения носят частный характер.
В самых сложных случаях аналитическую модель исследуют качественно, т.е. находят не само решение, а его некоторые свойства 
(например, устойчивость решения). В отдельных случаях выводы, 
которые можно сделать при использовании качественного метода