Размерные эффекты в фазовых переходах и физических свойствах ферроиков

РАЗМЕРНЫЕ ЭФФЕКТЫ 
В ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ 
И ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ 
ФЕРРОИКОВ

В.Н. НЕЧАЕВ
А.В. ШУБА

МОНОГРАФИЯ

Москва
ИНФРА-М
2023

УДК 538.9(075.4)
ББК 22.35
 
Н59

Нечаев В.Н.
Н59  
Размерные эффекты в фазовых переходах и физических свой-
ствах ферроиков : монография / В.Н. Нечаев, А.В. Шуба. — Москва : 
ИНФРА-М, 2023. — 384 с. — (Научная мысль). 

ISBN 978-5-16-017937-7 (print)
ISBN 978-5-16-110948-9 (online)
В монографии изложены математические методы и совокупность мате-
матических моделей, описывающих в рамках феноменологической теории 
фазовые переходы в 0D-. 1D-, 2D-, 3D-мерных сегнетоэлектриках, сегнето-
эластиках, ферромагнетиках и их статические и динамические физические 
свойства вблизи точки фазового перехода. Проанализировано влияние 
параметров, характеризующих образец ферроика и его взаимодействие 
с окружающей средой, на особенности фазового перехода, смещение тем-
пературы фазового перехода, теплоемкость, обобщенные восприимчиво-
сти. Рассмотрены математические модели многослойных тонкопленочных 
структур и накомпозитных материалов, где одним из компонентов явля-
ется наночастица ферроика. В целом достаточно полно освещаются совре-
менные представления о размерных эффектах в сегнетоэлектриках, сегне-
тоэластиках, ферромагнетиках и механизмах целенаправленного влияния 
на их свойства.
Предназначена для научных работников, студентов и аспирантов физи-
ческих специальностей вузов, интересующихся фундаментальными проб-
лемами формирования физических свойств низкоразмерных материалов. 
Инженеры-исследователи, разработчики новых материалов могут исполь-
зовать изложенный материал в качестве научно-методических основ под-
держки выработки оптимальных решений по их созданию.

УДК 538.9(075.4)
ББК 22.35

Р е ц е н з е н т ы:
Гриднев С.А., доктор физико-математических наук, профессор, про-
фессор кафедры физики твердого тела Воронежского государствен-
ного технического университета, заслуженный деятель науки Россий-
ской Федерации;
Тополов В.Ю., доктор физико-математических наук, профессор, 
профессор кафедры общей физики Южного федерального универси-
тета, член-корреспондент Российской академии естествознания, по-
четный работник высшего профессионального образования Россий-
ской Федерации

ISBN 978-5-16-017937-7 (print)
ISBN 978-5-16-110948-9 (online)
© Нечаев В.Н., Шуба А.В., 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………..8 

ГЛАВА 1. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (3D)…10 

1.1. Структурный фазовый переход…………….……….........………………11 

1.2. Фазовый переход в неоднородное состояние ……………..……………24 

1.3. Ориентационные магнитные фазовые переходы…………..………….28 

ГЛАВА 2. СТРУКТУРНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (2D)…32 

2.1. Фазовый переход в отсутствии внешнего поля………………………….32 

2.2. Влияние внешнего поля на фазовый переход……………………………56 

2.3. Метод усреднения в теории тонких пленок…..………………………….64 

ГЛАВА 3. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ 

И МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУРАХ ФЕРРОИКОВ (2D-СТРУКТУРЫ)……….68 

3.1. Сегнетоэлектрический фазовый переход………………………………...68 

3.2. Фазовые переходы из однородного магнитного состояния 

       в неоднородное….…………………………………………………...…….79 

3.3. Неоднородные поляризованные состояния……………………………...89 

3.4. Влияние внешнего электрического поля на фазовый переход………..101 

      3.4.1. Сегнетоэлектрический фазовый переход…….…………………..101 

      3.4.2. Короткозамкнутый сегнетоэлектрический конденсатор……......105 

ГЛАВА 4. МНОГОСЛОЙНЫЕ ТОНКОПЛЕНОЧНЫЕ СТРУКТУРЫ 

 (2D-СИСТЕМЫ)…………………………………………………………………….111 

4.1. Диэлектрическая проницаемость и температура фазового перехода 

     многослойных структур…………………………………………………..111 

     4.1.1. Структура диэлектрик–сегнетоэлектрик–диэлектрик…....…......111 

  4.1.2. Структура сегнетоэлектрик–сегнетоэлектрик………….…......…117 

    4.1.3. Структура сегнетоэлектрик–диэлектрик–сегнетоэлектрик…….122 

4.2. Диэлектрическая восприимчивость структуры 

       сегнетоэлектрик–параэлектрик…...……………………………..………128 

 

4.3. Электрическое взаимодействие слоев в сверхрешетках 

       сегнетоэлектрик–параэлектрик………………………………………….131 

4.4. Магнитные свойства трехслойной сэндвич-структуры 

        из ферромагнитных материалов ………………………………………..135 

      4.4.1. Микроскопическая модель………………………………………...135 

      4.4.2. Макроскопические магнитные свойства…………………………138 

ГЛАВА 5. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТОНКИХ ПЛЕНОК 

И МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУР ВБЛИЗИ ТОЧЕК ФАЗОВЫХ 

ПЕРЕХОДОВ (2D-СТРУКТУРЫ)...………………………………………………..143 

5.1. Особенности колебательного спектра поляризации в тонкой 

сегнетоэлектрической пленке….………………………………………...143 

5.1.1. Вектор поляризации лежит в плоскости  пленки………………...145 

 5.1.2. Вектор поляризации лежит перпендикулярно плоскости пленки…148 

5.1.3. Вектор поляризации лежит в плоскости  пленки (T<Tf).…...……149 

5.2. Спектр времен релаксации поляризации в тонкой  

сегнетоэлектрической пленке…………………...……………………….154 

5.2.1. Вектор поляризации лежит в плоскости  пленки…………..……154 

  5.2.2. Вектор поляризации лежит перпендикулярно плоскости пленки…156 

5.3. Динамическая диэлектрическая проницаемость слоистых 

тонкопленочных структур……………………………………………….158 

5.3.1. Сегнетоэлектрическая пленка……………………………..………158 

5.3.2. Структура диэлектрик–сегнетоэлектрик–диэлектрик…………...161 

5.3.3. Структура сегнетоэлектрик–сегнетоэлектрик……………………165 

5.3.4. Структура сегнетоэлектрик–диэлектрик–сегнетоэлектрик……..166 

5.4. Переключение поляризации в тонких сегнетоэлектрических пленках…169 

5.4.1. Флуктуационное образование зародышей переполяризации…..170 

5.4.2. Кинетика процесса переполяризации…………………………….182 

ГЛАВА 6. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ТОНКИХ СТЕРЖНЯХ (1D)…………….186 

6.1. Сегнетоэлектрический фазовый переход……….………………………186 

6.1.1. Стержень прямоугольного сечения………………….….…….….186 

6.1.2. Стержень круглого сечения……….………………………………189 

6.1.3. Диэлектрическая проницаемость цилиндрического стержня.….193 

6.1.3.1. Параэлектрическая фаза (T>Tr)…….…………………….193 

6.1.3.2. Сегнетоэлектрическая фаза (T<Tr)….……………………196 

6.2. Сегнетоэластический фазовый переход………....…………………..….199 

6.2.1. Плоская деформация………………..…………………..…………199 

6.2.1.1. Постановка задачи в напряжениях…….………...………200 

6.2.1.2. Постановка задачи в перемещениях…………………….206 

6.2.2. Антиплоская деформация…………………….……………..……212 

  6.3. Влияние внешних напряжений на сегнетоэластический фазовый 

переход..….………………………………………………………………216 

ГЛАВА 7. ОСОБЕННОСТИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В НАНОЧАСТИЦАХ 

ФЕРРОИКОВ (0D). АНАЛИТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ…………………....221 

7.1. Диэлектрическая проницаемость и теплоемкость  

 сегнетоэлектрических частиц, претерпевающих фазовый переход 

второго рода………………………………………………………………221 

7.2. Диэлектрическая проницаемость и теплоемкость  

 сегнетоэлектрических частиц, претерпевающих фазовый переход 

первого рода……………………………………………………………….231 

7.3. Фазовый переход в сегнетоэлектрической частице с учетом 

собственных деполяризующих полей…………………………………...236 

7.3.1. Фазовый переход второго рода в цилиндрической частице..…...236 

7.3.2. Фазовый переход первого рода….……………………………...…240 

7.3.2.1. Частица в форме цилиндра вращения…………………....240 

7.3.2.2. Частица в форме эллипсоида вращения……………….....249 

ГЛАВА 8. ОСОБЕННОСТИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В НАНОЧАСТИЦАХ 

ФЕРРОИКОВ (0D). ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ………………257 

8.1. Об основных факторах, определяющих темературу фазового 

перехода в нанокомпозите сегнетоэлектрик–диэлектрик………………….258 

8.1.1. Электростатические деполяризующие поля………...…………....259 

8.1.2. Экстраполяционная длина и ее знак…...………...………………..260 

8.1.3. Корреляционная длина…………………………………………….261 

8.1.4. Толщина неоднродного поверхностного слоя……..…….……….262 

8.1.5. Размер сегнетоэлектрического выделения……………….……….263 

8.1.6. Экранирование деполяризующих полей………………………….265 

8.1.7. Форма сегнетоэлектрической частицы…………………………...266 

 
8.2. Механизмы повышения температуры фазового перехода 

                 в нанокомпозите сегнетоэлектрик–диэлектрик………………………...266 

 
      8.2.1. Фазовый переход на поверхности гранулы…………………....…267 

                8.2.2. Переходной слой на границе сегнетонаночастиц…….……..…....271 

      8.2.3. Температурные напряжения……………...…....……….………….273 

          8.3. Неоднородные поляризованные состояния в сегнетоэлетрических 

                 включениях в нанокомпозите сегнетоэлектрик–диэлектрик…....…….280 

8.4. Сегнетоэластический фазовый переход в пластине конечной длины…288 

ГЛАВА 9. АНСАМБЛЬ БЕССТРУКТУРНЫХ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ 

И ФЕРРОМАГНИТНЫХ НАНОЧАСТИЦ…………………...…………………....295 

9.1. Равновесные свойства ансамбля сегнетоэлектрических наночастиц 

       в диэлектрической матрице…………………………………….………..296 

9.2. Спектр времен релаксации в ансамбле суперпараэлектрических частиц…300 

9.3. Равновесные свойства ансамбля ферромагнитных наночастиц 

       в неферромагнитной  матрице……………...……………………………..307 

9.4. Динамика кластеров сегнетоэлектрических наночастиц………………..312 

9.5. Динамические свойства ансамбля ферромагнитных наночастиц.............317 

ГЛАВА 10. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ  

КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ………………………………………………...323 

10.1. Электростатическое взаимодействие сегнетоэлектрических частиц 

         в  диэлектрической матрице……………...……………………………...325 

10.2. Методы расчета эффективных характеристик материалов…..………...332 

         10.2.1. Случай малых концентраций (разбавленной гетерогенной 

                     системы)……………………………………………………….…..337 

10.2.2. Феноменологическая самосогласованная теория 

                     эффективной среды……………………………………….………339 

         10.2.3. Интегральный метод…………….………………………………..342 

         10.2.4. Энергетический способ…...…….………………………………..343 

         10.2.5. Дипольное приближение….……………………………………...346 

10.3. Эффективные коэффициенты упругости неоднородных тел....………..348 

10.4. Эффективная проводимость двумерного смесевого композита...……..353 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………….359 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………..360 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Нанокомпозиты являются типичными представителями обширного класса 

наноматериалов (или наноструктурированных материалов), у которых характер-

ные размеры основных структурных элементов (кристаллитов, волокон, слоев, 

пор, выделений другой фазы) не превышают 100 нм по крайней мере в одном 

направлении. Связать этот размер с какой-либо физической характеристикой ма-

териала (длиной волны де Бройля, шириной домена, средней длиной свободного 

пробега электрона, фонона в явлениях переноса, диаметром дислокационной пет-

ли Франка и т.п.) не представляется возможным по поричине весьма широкого 

диапазона изменения указанных характеристик, определяющих электрические, 

магнитные, деформационные и другие свойства применительно к твердотельным 

объектам. Таким образом, какой-либо универсальный верхний предел размеров не 

существует, и является в значительной мере условным. В конкретной задаче он 

может определяться как ее параметр. Нижний характерный размер находится из 

условия применимости к указанным структурным единицам таких понятий как 

энергия поверхности, объемная энергия, температура плавления и т.д. Другими 

словами, строгого определения нижней границы размеров тоже нет. Большинство 

исследователей придерживается точки зрения, что малые структурные элементы 

должны содержать более атомов, что соответствует пространственным разме-

рам от 3 до 5 нм. Можно считать, что обсуждаемая нижняя граница есть верхняя 

граница размеров кластеров. Малые нанокластеры содержат от 3 до 12 атомов, 

при этом все атомы являются поверхностными. Далее, с ростом числа атомов в 

кластере доля поверхностных атомов в нем уменьшается и изменяются физико-

химические свойства кластера. Условно верхнюю границу кластера можно опре-

делить как размер, соответствующий такому числу атомов, когда физико-

химические свойства кластера перестают меняться при добавлении к нему еще 

одного нового атома. 

Важно, что для отдельных малых частиц, равно как и для малых выделений 

в композите, нарушается принцип аддитивности свободной энергии, теплоемко-

сти и т.д. по той причине, что количество атомов, «чувствующих» наличие по-

верхности, становится сравнимым с их общим количеством в частице. С этим связано 
неоднородное распределение по объему различных физических характеристик, 
таких как поляризация, намагниченность и т.д., а также отсутствующая в 

термодинамике зависимость их от формы образца. Описанные эффекты будут 

иметь место при любой сколь угодно малой концентрации выделений в композите, 
а не только при достижении критической, как, например, при перколяционном 

фазовом переходе. 

Основная задача, которая ставится перед исследователями – спрогнозировать 
физические свойства композитов исходя из некоторых общих закономерностей 
для элементарных процессов в твердом теле на наноуровне. С другой стороны 
понятно, что аппарата для прогноза любых свойств в любых структурах и 

условиях создать невозможно. Поэтому рассмотрение ограничивается физическими 
моделями явлений, где в результате ранжировки и компромиссного отбора 

учитывается только наименьшее количество факторов, сохраняющих основные 

черты изучаемого явления. Этот подход позволяет свести задачу к определенному 

классу, где либо имеются известные зависимости, либо возможна четкая постановка 
задачи, чтобы в конечном счете определить условия, обеспечивающие за-

данный комплекс свойств материалов. Простые физико-математические модели 

создают базу для понимания процессов формирования этих свойств. 

Цель анализа и прогнозирования – управление: определение главных в дан-

ной ситуации рычагов, нахождение пределов их воздействия, установление типов 

поведения системы в зависимости от изменения параметров. 

 
 

ГЛАВА 1. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ 

ПРОСТРАНСТВЕ (3D) 

 

Как известно, поверхность представляет собой двумерный дефект трехмер-

ной структуры кристалла. Обрыв химических связей на поверхности кристалла 

приводит: 1) к возникновению локализованных поверхностных состояний; 2) к 

изменению эффективных зарядов поверхностных атомов и межатомных расстоя-

ний; 3) к изменению фононного спектра; 4) к появлению поверхностных дефор-

маций и т.д. Эти изменения сохраняются в некоторой конечной области, которая 

и представляет собой поверхностную фазу (или просто поверхность) с физиче-

скими свойствами отличными от свойств объемной фазы. Все указанные особен-

ности относятся в полной мере и к межфазным границам, разделяющим соприка-

сающиеся фазы твердых тел. Чрезвычайно важное значение свойств поверхности 

в современных технологиях делает задачу изучения поверхности и происходящих 

на ней процессов весьма актуальной. 

Влияние поверхности на магнитные фазовые переходы (ФП) в полупро-

странстве и в пластине детально изучено в работах Каганова М.И. с сотрудниками 

[1–5]. В работах [6–8] исследовалось влияние поверхности на ФП в тонких плен-

ках сегнетоэлектриков и сегнетоэластиков. Следует отметить, что выбранное 

направление исследований представляет собой лишь малую часть проблемы вли-

яния поверхности на физические свойства материалов. Так, например, в послед-

нее десятилетие были обнаружены так называемые ФП на границах зерен и нача-

то их подробное исследование [9, 10]. В частности, впервые показано, что ФП на 

границах зерен (смачивания, предплавления и предсмачивания) приводят к рез-

кому изменению таких свойств на границах зерен, как диффузионная проницае-

мость, энергия и адсорбция, удельное электросопротивление, прочность и по-

движность, склонность к недиффузионному проникновению второй фазы. Наиболее 
резко ФП на внутренних границах раздела меняют свойства поликристаллов в 

области размеров зерен от 1 до 1000 нм. В результате ФП на границах зерен на 

традиционных объемных фазовых диаграммах появляются новые линии, описы-

вающие свойства поликристалла с границами раздела. Зная расположение линий 

зернограничных ФП на фазовых диаграммах можно разрабатывать режимы термической 
обработки материалов с микро- и нанокристаллическим размером зерен, 

целенаправленно изменяя и задавая их свойства. 

Учет наличия поверхности и специфических поверхностных свойств у исследуемой 
системы, в частности, поверхностного натяжения и поверхностной 

энергии, существенно влияет на ее макроскопические физические свойства [1, 3, 

4]. Изменение поверхностных свойств, перестройка поверхности, увеличение 

(уменьшение) площади поверхности, ее искривление под влиянием каких-либо 

внешних воздействий смещает температуру ФП в материале и его физические 

свойства в окрестности точки ФП. Исследованию этих вопросов посвящена данная 
глава. Как показано в работах [1, 3, 4], их рассмотрение возможно в рамках 

феноменологической теории ФП. При этом неважно, какова природа ФП и физи-

ческий смысл параметра порядка. Применимость такого подхода к описанию маг-

нитных ФП обсуждается в приведенных выше работах. Часть результатов работ 

[1–5], где не важна специфика магнитных ФП переформулируется для случая 

структурных ФП. 

 

1.1. Структурный фазовый переход 

Ограничимся первым ненулевым слагаемым в разложении свободной энер-

гии FS в ряд по степеням параметра порядка η 

2
1
,
2

S
s
F
 

где αs – коэффициент при квадратичном слагаемом, принимающий как положи-

тельные, так и отрицательные значения. Пусть вещество занимает полупростран-

ство z ≥ 0, тогда его свободная энергия  имеет вид 

2
2
4
2
,
2
4
2
2

s

V
S

F
dV
dS
 
 

(1.1) 

где 
0
,
C
T
T
– коэффициенты в разложении свободной энергии вблизи 

температуры Кюри TC объёмного образца; корреляционная постоянная 
2
a
2
a  в 

случае сегнетоэлектриков, где a – межатомное расстояние. Уравнение равновесия 

с граничными условиями вытекает из равенства нулю первой вариации свободной 

энергии 
0,
F
равной главной линейной части приращения функционала (1.1) 

3

s

V
S

F
F
F
dV
dS.

(1.2) 

Преобразуя последнее слагаемое первого интеграла выражения (1.2) по теореме 

Остроградского-Гаусса 

3
,
s

V
S

F
F
F
dV
dS
 (1.3) 

согласно первой лемме вариационного исчисления и с учетом отсутствия «за-

крепления» поляризации на бесконечности, имеем краевую задачу: 

2

3

2
0;
d
dz

 
 
                        (1.4) 

0;

z

d
dz
 
 
    
                            (1.5) 

0

0
s

z

d
.
dz
 
  
                             (1.6) 

Умножив на d
/ dz
обе части уравнения (1.4), найдем его первый интеграл: 

2

2
4

2
2
4

d
C.
dz

 

Константа C в этом выражении определяется из граничного условия (1.5): 

2
4,
2
4
C


где 
/
. Тогда первый интеграл принимает вид 

2
2
2
2

2

2
,
d
dz

  
 
 
 
(1.7) 

где 
2
2
/
.
После нахождения второго интеграла получаем общее решение 

уравнения (1.7): 

2

1

2

1

e
1.

e
1

z

z

C
z

C



 

Согласно этому выражению  

1

0

1

1
0
,1

C
C


откуда определяем произвольную постоянную C1 как функцию параметров мате-

риала 
0
,
: 

0

1

0

C
.


С учетом последнего выражения координатная зависимость z
принимает вид 

0
0

0
0

e
e
,

e
e

z
z

z
z
z

 

откуда видно, что значение параметра порядка изменяется от значения в объе-

ме материала до значения 
0
на его границе. Для решения вопроса о поверхност-

ном ФП представляет наибольший интерес температурная зависимость параметра 

порядка на поверхности. Выразим эту величину через известные параметры мате-

риала, используя граничное условие (1.6): 

2

0
1
2
2

s
s
T
.
                   
 
(1.8) 

Температурное поведение 
0 T
существенно различается в зависимости от 

того, каков знак коэффициента αs. Рассмотрим два случая.  

1) 
0
s
.
Раскладывая функцию (1.8) в ряд вблизи температуры TC, имеем 

0

2
2
s

.

                                       (1.9) 

Согласно выражению (1.9), значение параметра порядка 
0
на поверхности обращается 
в нуль при T=TC. Стремление 
0 T
к нулю происходит по закону   более 

быстрому 
0
,
C
T ~ T
T
чем в объеме материала изменяется спонтанное значение 
параметра порядка 
1 2
/

C
T ~ T
T
(рис. 1.1). Заметим, что отношение 

0 /
здесь меньше единицы как вблизи температуры TC, так и вдали от нее, где 

0 /
1
/
2
s
s
1
/
1
/
s
. 

Для исследования поведения параметра порядка в качестве примера был 

взят сегнетоэлектрический кристалл триглицинсульфата (ТГС) с параметрами 

ТС=322 К, α0=3.92ˑ10-3 К-1 [11], 

8
0 75 10
s
.
см.  

 

 

 Температурная зависимость нормированного значения параметра порядка 
0 /

Рис. 1.1.

на поверхности образца при 
0
s


 

2) 
0
s
, то раскладывая выражение (1.8) в ряд вблизи температуры TC, получаем 
конечное не зависящее от температуры значение 

   
   
0

2

s .
                    
 
                    (1.10) 

Для детального анализа этой ситуации необходимо решить уравнение равновесия 

(1.4) с граничными условиями (1.5), (1.6) и дополнительным условием  

lim
0

z
z
  
                                            (1.11) 

для температурной области T>TC. Первый интеграл уравнения (1.4) после определения 
постоянной интегрирования (C=0) из граничных условий (1.5), (1.11) принимает 
вид 

2

2
4

2
2
4

d
.
dz

                          
 
(1.12) 

Это уравнение несложно привести к виду 

               

2
2
,
*
*
*
d
dz
         
                  (1.13) 

где введены обозначения: 
2
,
*
*
/
/
.
В результате интегрирования 
уравнения (1.13) имеем 

2
2
2
2
,
0

*
z

*
*
C e
C
.
 

Постоянную интегрирования C2 можно выразить через значение параметра порядка 
на поверхности 
0
: 

0

2
2
2
0

*
*
C
.


Тогда получим 

0

2
2
2
2
0

*
z

*
*
*
*
e
.


В этом выражении параметр 
0
не определен и может принимать любые значения. 
Для его нахождения нужно получить явный вид функции z
: 

2
2

0
2
2

2
2

2

2
;
0
2
1
1

*

*

z

*
*

z

C e
C
z
.
C
C e

           
  (1.14)