Алгебра и геометрия. Сборник задач и решений с применением системы Maple

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

СБОРНИК ЗАДАЧ И РЕШЕНИЙ 
С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ 

MAPLE

М.Н. КИРСАНОВ 
О.С. КУЗНЕЦОВА

Рекомендовано

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений, 

обучающихся по УГС технического профиля

и УГС 38.00.00 «Экономика и управление»

(квалификация (степень) «бакалавр»)

Москва

ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК (512+514+004)(075.8)
ББК 22.14:22.15:32.97я73
 
К43

Кирсанов М.Н.

К43  
Алгебра и геометрия. Сборник задач и решений с применением си
стемы Maple : учебное пособие / М.Н. Кирсанов, О.С. Кузнецова. — 
Москва : ИНФРА-М, 202. — 272 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/20873.

ISBN 978-5-16-012325-7 (print)
ISBN 978-5-16-105232-7 (online)
Сборник содержит условия и примеры 43 типов задач по алгебре и ана
литической геометрии для студентов университетов, технических и экономических вузов. Все задачи снабжены ответами. Задачи могут быть использованы как для самостоятельного решения, так и в качестве контрольных 
работ и типовых заданий при очном и дистанционном обучении. Даны 
рекомендации применения системы компьютерной математики Maple. 
В приложении содержится краткий справочник по основным командам 
этой системы.

Для студентов и преподавателей университетов, технических и эконо
мических вузов.

УДК (512+514+004)(075.8)

ББК 22.14:22.15:32.97я73

Р е ц е н з е н т ы:

Гусятников В.Н. — доктор физико-математических наук, профес
сор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики 
Саратовского социально-экономического института Российского 
экономического университета имени Г.В. Плеханова;

Ткачёв В.Г. — доктор физико-математических наук, профессор Ма
тематического института Университета Линчёпинга (Швеция)

ISBN 978-5-16-012325-7 (print)
ISBN 978-5-16-105232-7 (online)

© Кирсанов М.Н., Кузнецова О.С., 

2016

Данная книга доступна в цветном исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

I.
Линейная алгебра

Г л а в а 1. Определитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.1 Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.2 Квадратные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.3 Определитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Свойства определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Вычисление определителя в Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Теорема Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Г л а в а 2. Линейное векторное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 n-мерные векторы, действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Линейная зависимость векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Базис и ранг системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Г л а в а 3. Системы линейных уравнений (СЛУ) . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Основные определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Исследование СЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Решение СЛУ в общем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ) . . . . . . . . . . . . 34

Г л а в а 4. Алгебра матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Сложение матриц и умножение матриц на число . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Произведение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Обратимость матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Матричные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Г л а в а 5. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Геометрическое изображение комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа . . 49

Г л а в а 6. Характеристический многочлен матрицы . . . . . . . . . . . . 52

6.1 Характеристическая матрица и многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Собственные векторы и значения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Содержание

II.
Аналитическая геометрия

Г л а в а 1.
Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.1 Понятие вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.2 Операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на

число. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.3 Деление коллинеарных векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4 Проекции векторов на прямую и плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.5 Базис и координаты векторов на плоскости и в пространстве . . . . . 60
1.6 Свойства координат вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Г л а в а 2. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1 Геометрические свойства скалярного произведения . . . . . . . . . . . . 62
2.2 Алгебраические свойства скалярного произведения . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Скалярное произведение в координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Г л а в а 3. Векторное произведение и его свойства . . . . . . . . . . . . . 65

3.1 Ориентация плоскости и пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Геометрические свойства векторного произведения . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Алгебраические свойства векторного произведения . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Векторное произведение в ортонормированных координатах . . . . . . 66

Г л а в а 4. Смешанное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1 Геометрические свойства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Алгебраические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Cмешанное произведение в координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Смешанное произведение через метрические параметры . . . . . . . . . 69
4.5 Двойное векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Г л а в а 5. Фигуры на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . . . . 70

5.6 Уравнение фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.7 Уравнение линии в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Г л а в а 6. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1 Основная теорема о прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Основные виды уравнений прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Взаимное расположение двух прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Угол между двумя прямыми в декартовой системе координат . . . . . 74
6.5 Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Г л а в а 7. Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.1 Основная теорема о плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Основные виды уравнений плоскостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Взаимное расположение двух плоскостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4 Угол между двумя плоскостями в декартовой системе координат . . . 79

Содержание
5

7.5 Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Г л а в а 8. Кривые второго порядка на плоскости . . . . . . . . . . . . . . 86

8.1 Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.2 Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3 Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.4 Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.5 Классификация линий второго порядка на плоскости. . . . . . . . . . . 99

III.
Практические задания

Г л а в а 1. Линейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.1 Определитель 3-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.2 Определитель 4-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.3 Определитель 5-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.4 Система линейных уравнений 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.5 Система линейных уравнений 3-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.6 Система линейных уравнений 4-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.7 Разложение вектора в линейную комбинацию
. . . . . . . . . . . . . . . 111

1.8 Система линейных уравнений 3-го порядка, множество решений . . . 112
1.9 Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1.10 Разложение вектора по базису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.11 Однородные системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.12 Однородные системы линейных уравнений-2 . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.13 Обратная матрица, умножение и сложение матриц . . . . . . . . . . . . 125
1.14 Алгебра матриц. Вычисление определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1.15 Произведение матриц и решение уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
1.16 Матричное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
1.17 Действия над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.18 Деление комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
1.19 Извлечение корня из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1.20 Собственные числа матрицы второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1.21 Собственные числа матрицы третьего порядка . . . . . . . . . . . . . . . 140

Г л а в а 2. Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.1 Разные задачи. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.2 Разные задачи. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.3 Векторная алгебра, скалярное и векторное произведения . . . . . . . . 145
2.4 Разные задачи. Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.5 Разные задачи. Смешанное и двойное векторное произведения . . . . 149
2.6 Радиус окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.7 Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.8 Разные задачи. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.9 Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.10 Разные задачи. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Содержание

2.11 Разные задачи. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.12 Разные задачи. Окружность и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.13 Разные задачи. Окружность, касательная . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.14 Центр кривой второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.15 Разные задачи. Прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.16 Разные задачи. Прямая-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.17 Геометрия на плоскости, медианы, высоты (1) . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.18 Геометрия на плоскости, медианы, высоты (2) . . . . . . . . . . . . . . . 171
2.19 Задачи аналитической геометрии в пространстве . . . . . . . . . . . . . 171
2.20 Разные задачи. Плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.21 Расстояние между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.22 Геометрия в пространстве. Объём тетраэдра . . . . . . . . . . . . . . . . 177

IV.
Введение в Maple

Г л а в а 1. Ввод информации и простейшие вычисления. . . . . . . . . . 179

Г л а в а 2. Программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.1 Оператор цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.2 Условный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.3 Процедуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.4 Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Г л а в а 3. Упрощение и преобразование выражений . . . . . . . . . . . . 186

3.1 Оператор simplify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.2 Оператор combine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.3 Операторы factor, ifactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.4 Оператор collect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.5 Оператор isolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.6 Оператор subs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.7 Операторы ввода и вывода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Приложение 1. Maple. Пакет LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Приложение 2. Maple. Пакет geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

V.
Ответы

Г л а в а 1. Ответы к заданиям по линейной алгебре . . . . . . . . . . . . . 244

Г л а в а 2. Ответы к заданиям по геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Предметный и именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Предисловие

Не научившись решать задачи, математику не поймёшь, даже если

прекрасно разберёшься со всеми понятиями, теоремами и доказательствами. Более того, часто именно проблемы, возникающие при
решении задач, подталкивают к внимательному изучению теории. При
серьёзном отношении к науке теория и практика идут рядом, взаимно
дополняя и поддерживая друг друга. Существует множество хорошо
зарекомендовавших себя пособий и сборников задач по алгебре и
аналитической геометрии, обеспечивающих методическую и теоретическую поддержку студентов [18,19].

Авторы настоящего пособия задались целью издать сборник задач

по математике, где будет представлена и теория, и варианты задач.
Отличительных особенностей у настоящего сборника две. Во-первых,
к задачам даются ответы. Это делает книгу удобной для студентов
при самостоятельном изучении предмета и для преподавателей при
проведении контрольных работ. Число вариантов и разнообразие задач достаточное. При самостоятельной работе с материалом можно
выбрать подходящую по трудности задачу, решить её, проверить ответ.
Если что-то долго не получается, лучше обратиться к преподавателю.
Но если такой возможности нет (например, при дистанционном или
заочном обучении), может помочь система компьютерной математики.
Авторы остановились на распространённой и несложной в обучении
системе Maple (разработка канадской компании Waterloo Maple, Inc).
Выбор этой системы субъективен и связан с тем, что это была первая система, которая в свое время оказалась в руках авторов. Не
менее удобной системой компьютерной математики является система Mathematica [15]. Существуют и свободные системы, например
Maxima [34], http://maxima.sourceforge.net/ru/, Reduce [35]
http://www.reduce-algebra.com и др. [16].

В примерах решений большинства задач даются рекомендации по

применению системы Maple. В конце книги есть справочный материал
по пакетам линейной алгебры LinearAlgebra и геометрии Geometry с
описанием многих команд и операторов системы. C основами программирования и вычислений в системе Maple можно также ознакомиться
в литературе [1,6,8–10,12–14,16,17,20–24,28].

Авторы благодарят студентов ССЭИ РЭУ В. Терешкина, Э. Байра
мову, А. Саркисова, П. Ступникова, А. Пужайкину и других студентов
1 курса ФУСИТ, решавших задачи сборника и исправивших допущенные опечатки. Особая благодарность профессорам В.Г. Ткачёву и
В.Н. Гусятникову за ряд методических замечаний по тексту рукописи.

Авторы будут благодарны всем приславшим свои замечания о

книге: mpei2004@yandex.ru, astra1987@mail.ru.

Ч а с т ь I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Г л а в а 1

Определитель

1.1 Перестановки

Пусть M ′ — конечное множество из n элементов. Перенумеруем

элементы множества M ′: 1, 2, . . . , n. Обозначим M = {1, 2, . . . , n}, то
есть номера элементов множества M ′ рассматриваем как элементы
другого множества M.

Эти номера можно располагать в различном порядке. Если они

идут по возрастанию 1, 2, . . . , n, то такое расположение называется
естественным (каноническим).

Определение 1.1. Любое расположение чисел 1, 2, . . . , n в неко
тором порядке называется перестановкой из n чисел (индексов).

Пример 1.1. Пусть M = {1, 2, 3}. Элементы множества M допус
кают 6 перестановок: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 3, 1, 2.

В общем случае перестановка из n чисел имеет вид (i1, i2, . . . , in),

где 1 ⩽ ik ⩽ n, ik ̸= il, если k ̸= l.

Теорема 1.1. Число всевозможных перестановок из n чисел рав
но P(n) = 1 · 2 · . . . · n = n! 1

!

В Maple для вычисления факториала есть оператор factorial.
Например, factorial(5) дает результат 120.

1n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n, n-факториал.

1.2
Квадратные матрицы
9

Определение 1.2. Говорят, что символы i и j образуют ин
версию (беспорядок) в перестановке, если i > j, но i стоит в
перестановке раньше j.

Пример 1.2. Перечислим инверсии в перестановке (4, 2, 3, 1): 4 и

2; 3 и 1; 2 и 1; 4 и 3; 4 и 1.

Определение 1.3. Перестановка называется чётной или нечёт
ной в зависимости от того, чётное или нечётное число инверсий
образуют индексы этой перестановки.

Примеры перестановок:
1) (1, 2, 3, 4, 5) — чётная перестановка,

0 инверсий; 2) (4, 2, 3, 1) — нечётная перестановка, 5 инверсий.

Определение 1.4. Взаимное перемещение двух символов переста
новки называется транспозицией перестановки.

Теорема 1.2. Одна транспозиция меняет тип перестановки на

противоположный.

Следствие 1.1. Если n > 2, то число чётных перестановок из n

символов равно числу нечётных и равно n!

2 .

1.2 Квадратные матрицы

Определение 1.5. Квадратной матрицей n-го порядка называ
ется таблица, состоящая из n2 чисел aij, записанных в виде n
строк и n столбцов:

A =

a11
a12
. . .
a1n

a21
a22
. . .
a2n

. . .
. . .
. . .
. . .

an1
an2
. . .
ann

.
(1.1)

Матрицы обозначаются A, B, A1, A2, и т.д. Числа aij называются

элементами матрицы A. Элементы aij имеют два индекса: первый i
указывает на номер строки; второй j – на номер столбца, на пересечении которых стоит aij.

Элементы a11, a22, . . ., ann образуют главную диагональ, а элемен
ты a1n, a2n, . . ., an1 образуют побочную диагональ матрицы A.

Определение 1.6. Транспонированием матрицы A называется

такое преобразование A, при котором её строки заменяются на

Определитель
Глава 1

столбцы с теми же номерами. Транспонированная матрица A обозначается A′ или A⊤:

A′ =

a11
a21
. . .
an1

a12
a22
. . .
an2

. . .
. . .
. . .
. . .

a1n
a2n
. . .
ann

.
(1.2)

Пример 1.3. Транспонируем матрицу A:

A =

1
3

0
2

,
A′ =

1
0

3
2

.

!
Транспонирование матрицы в Maple — см. с. 217.

Таким образом, если A = (aij), A′ = (a′

ij), то a′

ij = aji. Отметим

также, что (A′)′ = A.

Определение 1.7. Следом Tr (A) квадратной матрицы A назы
вается сумма её элементов, находящихся на главной диагонали:

Tr (A) = a11 + a22 + . . . + ann.

Пример 1.4. Найдём след матрицы A:

A =

1
3

0
2

,
Tr (A) = a11 + a22 = 1 + 2 = 3.

Ответ: Tr (A) = 3.

!
След матрицы в Maple — см. с. 217.

1.3 Определитель

Рассмотрим матрицу A (1.1). Составим произведение n элементов

матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца A:

a1i1 · a2i2 · . . . · anin,
(1.3)

где i1, i2, . . . , in — номера столбцов.

Ясно, что (i1, i2, . . . , in) — перестановка чисел (1, 2, . . . , n). Про
изведений вида (1.3) можно составить столько, сколько существует
перестановок из (i1, i2, . . . , in), то есть n! штук. Все эти n! произведений будут называться членами определителя, причём каждому из