Теоретическая и прикладная механика. Том 2. Динамика. Некоторые прикладные вопросы теоретической механики

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебник

4-е издание,  
переработанное и расширенное

Н. Н. Поляхов, П. Е. Товстик,  
С. А. Зегжда, М. П. Юшков

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  
И ПРИКЛАДНАЯ  
МЕХАНИКА

Том II 
Динамика. Некоторые прикладные вопросы 
теоретической механики

Под редакцией проф. П. Е. Товстика

УДК 531
ББК 22.21
П347

Р е ц е н з е н т ы: д-р
физ.-мат.
наук,
проф.
В. В. Александров
(Моск.
гос.
ун-т);
член-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, проф. А. М. Кривцов (С.-Петерб.
гос. политехн. ун-т)

А в т о р ы:
Н. Н. Поляхов,
С. А. Зегжда,
П. Е. Товстик,
М.П. Юшков,
А. К. Беляев,
В. Г. Быков, В. В. Додонов, А. С. Ковачев, Н. Ф. Морозов, Н. В. Наумова,
В. И. Петрова, Ш. Х. Солтаханов, Т. М. Товстик, Т. П. Товстик

Рекомендовано к публикации
УМК по УГСН 01.00.00 математика и механика
Санкт-Петербургского государственного университета

П347
Поляхов Н. Н., Товстик П. Е., Зегжда С. А., Юшков М. П.
Теоретическая и прикладная механика. Том II. Динамика. Некоторые прикладные вопросы теоретической механики: учебник / под
ред. П. Е. Товстика. 4-е изд., перераб. и расшир. — СПб.: Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2022. — 548 с.
ISBN 978-5-288-06242-1 (Т. 2)
ISBN 978-5-288-06213-1 (общий)

В основу двухтомного учебника «Теоретическая и прикладная механика» были положены лекции, продолжительное время читавшиеся авторами на математико-механическом факультете, а также специальные курсы, разработанные сотрудниками кафедры, отражающие новые научные результаты. Второй том учебника
охватывает широкий круг специальных вопросов, имеющих важное прикладное
значение: устойчивость движения, нелинейные колебания, динамика и статика
платформы Стюарта, механика при действии случайных сил, элементы теории
управления, связь неголономной механики с теорией управления, колебания и балансировка роторных систем, физическая теория удара, статика и динамика тонкого стержня, динамика полета, обобщенный маятник Капицы.
Учебник предназначен для студентов университетов, обучающихся по специальностям «математика» и «механика». Он может быть интересен и для аспирантов и специалистов по аналитической механике.

УДК 531
ББК 22.21

ISBN 978-5-288-06242-1 (Т. 2)
ISBN 978-5-288-06213-1 (общий)

©
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2021

©
Н. Н. Поляхов,
П. Е. Товстик,
С. А. Зегжда,
М. П. Юшков, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ко второму тому (П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Глава I. Устойчивость движения (П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . .
14

§ 1. Дифференциальные уравнения возмущенного движения . . . . . . . . . . . . .
14

§ 2. Прямой метод Ляпунова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

§ 3. Устойчивость равновесия и стационарных движений консервативных
систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

§ 4. Теоремы Томсона и Тета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

§ 5. Исследование устойчивости по линейному приближению . . . . . . . . . . . . .
30

§ 6. Устойчивость периодических решений по линейному приближению . .
37

§ 7. Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса. Уравнение
Матье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Глава II. Нелинейные колебания (П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . .
43

§ 1. Основные свойства нелинейных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

§ 2. Частные случаи нелинейных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

§ 3. Использование принципа Гаусса при отыскании приближенных
решений уравнений нелинейных колебаний. Метод
Бубнова — Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

§ 4. Метод малого параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

§ 5. Метод Крылова — Боголюбова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

§ 6. Метод прямого разделения движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

§ 7. Метод двухмасштабных разложений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102

§ 8. Уравнение Дюффинга и странный аттрактор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

Оглавление

Глава III. Динамика и статика Платформы Стюарта (С. А. Зегжда,
П. Е. Товстик, М. П. Юшков, Т. М. Товстик, Т. П. Товстик) . . . . . . . . . . . . . . .
113

I. Применение классических методов

теоретической механики для исследования
динамики нагруженной платформы Стюарта

§ 1. Постановка задачи и кинематика платформы Стюарта . . . . . . . . . . . . . . .
113

§ 2. Дифференциальные уравнения движения нагруженной платформы
Стюарта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116

§ 3. Влияние инерции и веса пневмоцилиндров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119

§ 4. Построение обратной связи. Стабилизация движений платформы
Стюарта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121

§ 5. Линеаризация уравнений движения платформы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123

§ 6. Области достижимости положений платформы Стюарта в
шестимерном пространстве обобщенных координат . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129

II. Применение специальной формы

уравнений движения для исследования

движения нагруженной платформы Стюарта

§ 7. Постановка задачи и системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

§ 8. Формулы перехода между системами координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139

§ 9. Решение прямой задачи динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146

§ 10. Решение обратной задачи динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151

§ 11. Вертикальные колебания платформы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152

§ 12. О неустойчивости решения обратной задачи динамики для
платформы Стюарта. Введение обратных связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

III. Применение уравнений Лагранжа второго рода

для стабилизации положения равновесия

трехстержневой платформы Стюарта

§ 13. Кинематика трехстержневой платформы Стюарта . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157

§ 14. Уравнения динамики платформы с тремя стержнями . . . . . . . . . . . . . . . .
159

§ 15. Стабилизация равновесия горизонтального положения платформы . .
162

§ 16. Числовой пример. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166

Глава IV. Колебания и автобалансировка роторных систем
(В. Г. Быков, А. С. Ков´ачев, П. Е. Товстик) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168

§ 1. Вынужденные и самовозбуждающиеся колебания ротора
с изотропным вязко-упругим валом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168

§ 2. Вынужденные и самовозбуждающиеся колебания ротора
с ортотропным вязко-упругим валом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189

§ 3. Автоматическая балансировка статически неуравновешенного ротора
206

§ 4. Автоматическая балансировка ротора Джеффкотта с ортотропно
упругим валом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225

§ 5. Влияние неидеальности конструкции автобалансировочных
устройств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

Глава V. Элементы теории управления (П. Е. Товстик, Н. В. Наумова) . . .
257

§ 1. Постановки задач оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257

§ 2. Решение задачи оптимального управления методами классического
вариационного исчисления. Принцип максимума Понтрягина. . . . . . . .
259

Оглавление
5

§ 3. Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261

§ 4. Решение задачи на быстродействие с помощью принципа максимума
Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262

§ 5. Управление горизонтальным движением тележки с маятниками на
основе применения принципа максимума Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . .
263

§ 6. Линейные задачи теории управления. Управляемость . . . . . . . . . . . . . . . .
270

§ 7. Стабилизируемость и наблюдаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272

Глава VI. Обобщенная задача Чебышёва. Неголономная механика
и теория управления (В. В. Додонов, С. А. Зегжда, Ш. Х. Солтаханов,
П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278

I. Постановка обобщенной задачи Чебышёва.
Две теории движения неголономных систем

с линейными связями высокого порядка

§ 1. Постановка обобщенной задачи Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279

§ 2. Первая теория движения неголономных систем со связями высокого
порядка. Построение совместной системы дифференциальных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283

§ 3. Движение искусственного спутника Земли с постоянным по модулю
ускорением. Размерные дифференциальные уравнения движения . . .
289

§ 4. Движение искусственного спутника Земли с постоянным по модулю
ускорением. Безразмерные дифференциальные уравнения движения
296

§ 5. Вторая теория движения неголономных систем со связями высокого
порядка. Обобщенный принцип Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301

§ 6. Исследование движений спутников с постоянными ускорениями на
основе второй теории движения неголономных систем со связями
высокого порядка. Размерные дифференциальные уравнения. . . . . . . .
305

§ 7. Исследование движений спутников с постоянными ускорениями на
основе второй теории движения неголономных систем со связями
высокого порядка. Безразмерные дифференциальные уравнения . . . .
309

II. Неголономная механика и теория управления

§ 8. Постановка одной из важнейших задач теории управления . . . . . . . . . . .
312

§ 9. Связь решения, полученного с помощью принципа максимума
Понтрягина, с неголономной задачей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314

§ 10. Решение задачи с использованием обобщенного принципа Гаусса . . . .
317

§ 11. Расширенная (обобщенная) краевая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325

§ 12. Особые точки решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329

§ 13. Построение аналитического решения задачи, не содержащего особых
точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331

§ 14. Другой подход к задаче о гашении колебаний тележки с двумя
маятниками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332

§ 15. Гашение горизонтальных колебаний трехмассовой системы
с пружинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337

§ 16. Гашение колебаний консоли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345

Оглавление

Глава VII. Механика со случайными силами (П. Е. Товстик,
Т. М. Товстик) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356

§ 1. Элементы теории вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356

§ 2. Многомерные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
358

§ 3. Случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
360

§ 4. Операции математического анализа над случайными величинами
и случайными процессами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
361

§ 5. Механическая система с одной степенью свободы под действием
случайной силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
364

§ 6. Корреляционный анализ линейной механической системы
с несколькими степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366

§ 7. Стационарные случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369

§ 8. Спектральная плотность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370

§ 9. Спектральное разложение стационарного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373

§ 10. Колебания механической системы с одной степенью свободы при
стационарном случайном возмущении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375

§ 11. Колебания механической системы с несколькими степенями свободы
при стационарном случайном возмущении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
377

§ 12. Нелинейные и статистически нелинейные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379

§ 13. Марковские процессы. Уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова
(ФПК). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383

Глава VIII. Физическая теория удара (С. А. Зегжда). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386

§ 1. Центральный удар двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386

§ 2. Применение общих теорем динамики к исследованию соударения
твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
401

§ 3. Теория удара механических систем с идеальными связями . . . . . . . . . . .
415

Глава IX. Статика и динамика тонкого стержня (А. К. Беляев,
Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик, Т. П. Товстик). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
448

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
448

§ 2. Продольные колебания стержня. Линейное приближение. . . . . . . . . . . . .
450

§ 3. Изгиб и поперечные колебания стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
452

§ 4. Классические решения Эйлера и Лаврентьева — Ишлинского . . . . . . . . .
453

§ 5. Продольно-поперечные колебания. Линейное приближение . . . . . . . . . . .
454

§ 6. Параметрические резонансы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456

§ 7. Потеря устойчивости при нагрузке, меньшей Эйлеровой. . . . . . . . . . . . . .
458

§ 8. Квазилинейное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
459

§ 9. Асимптотическое интегрирование квазилинейных уравнений
движения стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
460

§ 10. Закритические деформации стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
464

§ 11. Продольный удар телом по стержню. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466

Глава X. Динамика полета (Н. Н. П´оляхов, М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473

§ 1. Основные координатные системы, используемые в динамике полета.
Кинематические уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473

§ 2. Уравнения движения летательного аппарата (ЛА) в связанной
системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
478

§ 3. Силы, действующие на ЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
483

§ 4. Движение систем переменной массы. Сила тяги реактивного
двигателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
488

Оглавление
7

§ 5. Движение летательного аппарата в начальной стартовой системе
координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
500

§ 6. Применение методов неголономной механики для наведения
летательного аппарата на цель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
504

Глава XI. Обобщение задачи о маятнике Капицы (А. К. Беляев,
Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик, Т. М. Товстик, Т. П. Товстик, В. В. Додонов)
508

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
508

I. Классическая модель маятника Капицы

§ 2. Устойчивость маятника Капицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
510

§ 3. Область притяжения решения маятника Капицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512

§ 4. Области притяжения решения задачи маятника Капицы со
случайным возбуждением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
514

§ 5. Маятник Капицы на гибкой опоре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
518

II. Обобщенный маятник Капицы. Гибкий стержень

§ 6. Интегрирование уравнений движения гибкого растяжимого
маятника под действием вибраций основания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
522

§ 7. Условия устойчивости верхнего вертикального положения гибкого
маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
525

§ 8. Формы равновесия стержня, изогнутого под действием собственного
веса, в геометрически нелинейной постановке задачи. . . . . . . . . . . . . . . . .
528

§ 9. Применение уравнений Лагранжа второго рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
530

§ 10. Области притяжения для нерастяжимого стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
533

§ 11. Влияние продольных волн на устойчивость вертикального
положения и на области притяжения растяжимого стержня . . . . . . . . .
534

§ 12. Обсуждение результатов и выводы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
536

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
540

ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ТОМУ

Как указывалось во Введении к первому тому учебника, материал общего
курса «Теоретическая механика» и ряда специальных курсов, читавшихся авторами на протяжении многих лет на математико-механическом факультете Ленинградского — Санкт-Петербургского государственного университета, разбит на три раздела.
В первый том вошли разделы «Кинематика» и «Динамика. Общие вопросы теоретической механики. Основы аналитической механики». В них
излагались главы, посвященные кинематике точки, кинематике твердого
тела, сложному движению, динамике точки, динамике системы, движению
при наличии связей, малым колебаниям системы, динамике твердого тела,
вариационным принципам механики, статике, интегрированию уравнений
механики, элементам специальной теории относительности.
Предлагаемый читателю второй том учебника содержит третий раздел «Динамика. Некоторые прикладные вопросы теоретической механики». Материал глав этого раздела отражает основное содержание ряда
специальных курсов, читаемых на кафедре теоретической и прикладной
механики Санкт-Петербургского университета. Основная литература во
втором томе указывается в ссылках в каждой главе.

В главе I «Устойчивость движения» дается определение устойчивости возмущенного движения по Ляпунову и приводятся теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Приводятся теоремы Лагранжа, Ляпунова и Четаева об устойчивости положений равновесия и стационарных движений консервативных систем.
Обсуждается влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положения равновесия консервативной системы (теоремы Томсона
и Тета). Исследуется устойчивость положения равновесия по линейному
приближению. Приводятся критерии Рауса — Гурвица и Михайлова об отрицательности вещественных частей корней полинома. По линейному приближению исследуется устойчивость периодических движений неавтономных систем. Рассматривается устойчивость нулевого решения уравнения
Матье, к которому приводятся, например, колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса.

Введение ко второму тому
9

В главе II «Нелинейные колебания» особое внимание обращено на
изложение приближенных способов решения нелинейных уравнений (метод малого параметра, асимптотические методы). Установлена связь метода Бубнова — Галеркина с принципом Гаусса. Подробно излагается предложенный академиком П. Л. Капицей метод прямого разделения движений, недостаточно освещенный в настоящее время в учебной литературе.
Теоретические результаты поясняются решением ряда новых примеров.
Последние параграфы посвящены обсуждению странных аттракторов и
методу двухмасштабных разложений.
В главе III «Динамика и статика платформы Стюарта» исследование динамики нагруженной платформы стенда ведется двумя различными методами — применением классических теорем теоретической механики и с помощью использования специальной формы уравнений движения, введенной в главе VIII первого тома учебника. Рассматриваются кинематика стенда, дифференциальные уравнения движения нагруженной
платформы, решения прямой и обратной задач динамики, стандартные
движения платформы, введение обратной связи, обеспечивающей устойчивые колебания нагруженной платформы Стюарта, области достижимости
положений платформы в шестимерном пространстве обобщенных координат. Для стабилизации положения равновесия платформы стенда используется третий возможный метод — уравнения Лагранжа второго рода.
В главе IV «Колебания и автобалансировка роторных систем»
рассматриваются простейшие модели роторных систем с конечным числом степеней свободы. Изучаются различные типы колебаний роторов,
обусловленные их неуравновешенностью, неравножесткостью упругих характеристик вала или опор, а также влиянием сил внутреннего трения
и конструкционного демпфирования. Исследуются вопросы балансировки роторов, оснащенных пассивными шаровыми автобалансировочными
устройствами. Заканчивается глава исследованием влияния неидеальности конструкции автобалансировочных устройств.
Глава V «Элементы теории управления» посвящена постановке
задач теории управления и краткому обзору некоторых методов их решения. Задачи теории управления можно разделить на два больших класса.
Первый из них связан с выбором в том или ином смысле оптимального управления, а второй — с задачей удержания движения на выбранной
траектории или вблизи нее. Излагается принцип максимума Понтрягина.
Приводится решение некоторых задач теории управления. Вводятся понятия управляемости, стабилизируемости и наблюдаемости.
Глава VI «Обобщенная задача Чебышёва. Неголономная механика и теория управления» разбита на две части. В первой части

Введение ко второму тому

формулируется обобщенная задача Чебышёва и приводятся две теории для
ее решения. Для создания этих теорий развивается аппарат неголономной
механики при наличии связей высокого порядка. Связи рассматриваются
как программные. В первой теории строится совместная система дифференциальных уравнений для определения неизвестных обобщенных координат и множителей Лагранжа. Вторая теория базируется на использовании обобщенного принципа Гаусса. Применение теорий иллюстрируется
решением задачи о движении искусственного спутника с постоянным по
величине ускорением.
Во второй части главы для решения одной из важнейших задач теории управления — о выборе оптимальной управляющей силы, переводящей
механическую систему за заданное время из одного фазового состояния в
другое — предлагается применять вторую теорию движения неголономных систем со связями высокого порядка. Показывается, что при решении
поставленной задачи с помощью принципа максимума Понтрягина при минимизации функционала от квадрата управляющей силы непрерывно выполняется связь высокого порядка. Поэтому для решения той же задачи
удобно применить обобщенный принцип Гаусса, свойственный теории движения неголономных систем со связями высокого порядка. Это позволяет
сформулировать обобщенную задачу Чебышёва и на основе ее решения
построить управляющую силу в виде полинома от времени. Применение
предлагаемой теории демонстрируется на решении модельной задачи о гашении колебаний тележки с маятниками. Ставится и решается расширенная краевая задача, в которой задаются значения и ускорения в начале и
в конце движения системы. Благодаря этому удается находить управляющую силу без скачков, свойственных решению, полученному с использованием принципа максимума Понтрягина. В конце главы для демонстрации возможности использования предложенной теории для исследования
управления механическими системами с распределенными параметрами
рассматривается задача о гашении колебаний гибкой «руки» манипулятора.
В главе VII «Механика со случайными силами» в краткой форме излагаются методы определения вероятностных характеристик движения механических систем, находящихся под действием случайных сил. Во
вводных параграфах приводятся основные сведения о случайных величинах и случайных процессах, необходимые для дальнейшего. При определении вероятностных характеристик изложение ограничено в основном корреляционным уровнем, при котором определяются математические ожидания и корреляционные функции решений при условии, что эти же характеристики заданы для внешних сил. Для стационарных процессов используется преобразование Фурье и определяются спектральные плотности.