Теоретическая и прикладная механика. Том 1. Общие вопросы теоретической механики

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебник

4-е издание,  
переработанное и расширенное

Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда,  
М. П. Юшков

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  
И ПРИКЛАДНАЯ  
МЕХАНИКА

Том I 
Общие вопросы теоретической механики

Под редакцией проф. П. Е. Товстика

УДК 531
ББК 22.21
П347

Р е ц е н з е н т ы: д-р
физ.-мат.
наук,
проф.
В. В. Александров
(Моск.
гос.
ун-т);
член-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, проф. А. М. Кривцов (С.-Петерб.
гос. политехн. ун-т)

А в т о р ы: Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков, П. Е. Товстик, Ш. Х. Солтаханов,
С. Б. Филиппов, В. И. Петрова

Рекомендовано к публикации
УМК по УГСН 01.00.00 математика и механика
Санкт-Петербургского государственного университета

П347
Поляхов Н. Н., Зегжда С. А., Юшков М. П.
Теоретическая и прикладная механика. В 2 т. Том I: Общие вопросы теоретической механики: учебник / Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков, П. Е. Товстик, Ш. Х. Солтаханов, С. Б. Филиппов,
В. И. Петрова; под ред. П. Е. Товстика. 4-е изд., перераб. и расшир. —
СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2022. — 560 с.
ISBN 978-5-288-06213-1 (общий)
ISBN 978-5-288-06214-8 (1-й том)

В основу двухтомного учебника «Теоретическая и прикладная механика»
были положены лекции, продолжительное время читавшиеся авторами на математико-механическом факультете, а также специальные курсы, разработанные
сотрудниками кафедры, отражающие новые научные результаты. Первый том
содержит основной расширенный курс теоретической механики. В разделе «Kинематика» подробно рассмотрены элементы теории криволинейных координат,
которые активно используются в разделе «Динамика», в частности, в теории
несвободного движения и вариационных принципах в механике. Для описания
движения системы точек применяется понятие изображающей точки Герца, а понятие касательного пространства применяется для исследования движения произвольной механической системы. В заключительных главах теория Гамильтона — Якоби применяется для интегрирования уравнений движения, представлены
элементы специальной теории относительности.
Учебник предназначен для студентов университетов, обучающихся по специальностям «математика» и «механика». Он может быть интересен и для аспирантов и специалистов по аналитической механике.

УДК 531
ББК 22.21

ISBN 978-5-288-06213-1 (общий)
ISBN 978-5-288-06214-8 (1-й том)

©
Санкт-Петербургский
государственный университет, 2021

©
Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда,
М. П. Юшков, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие (академик РАН Н. Ф. Морозов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Введение (С. А. Зегжда, М. П. Юшков). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. КИНЕМАТИКА

Глава I. Кинематика точки (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков) . . . .
17

§ 1. Скорость и ускорение точки в декартовой системе координат . . . . . . . .
17

§ 2. Разложение скорости и ускорения точки по осям натурального
трехгранника Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20

§ 3. Скорость точки в цилиндрических координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25

§ 4. Скорость точки в сферических координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

§ 5. Произвольные криволинейные координаты точки. Основной базис . . .
30

§ 6. Элементарная работа. Взаимный базис. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

§ 7. Ко- и контравариантные компоненты вектора скорости. Правило
поднимания и опускания индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

§ 8. Ко- и контравариантные компоненты вектора ускорения. Оператор
Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

Глава II. Кинематика твердого тела (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда,
М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

§ 1. Координаты твердого тела. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

§ 2. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае его
движения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

§ 3. Простейшие виды движения твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

§ 4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

§ 5. Плоское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Оглавление

Глава III. Сложное движение (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков) .
66

§ 1. Сложное движение точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

§ 2. Скорость точки при нескольких переносных движениях . . . . . . . . . . . . . .
70

§ 3. Сложение движений твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

§ 4. Кинематический винт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ДИНАМИКА

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.

ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Глава IV. Динамика точки (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков) . . . .
90

§ 1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в
разных системах координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

§ 2. Общие теоремы динамики точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

§ 3. Потенциальное силовое поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

§ 4. Вывод уравнений Лагранжа второго рода при нестационарном базисе
110

§ 5. Получение интеграла энергии и интеграла Якоби из уравнений
Лагранжа второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113

§ 6. Канонические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115

§ 7. Колебательное движение материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119

§ 8. Динамика относительного движения материальной точки . . . . . . . . . . . .
129

§ 9. Движение точки под действием центральных сил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

Глава V. Динамика системы (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков) . .
166

§ 1. Изображающая точка. Уравнения ее движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166

§ 2. Теорема импульсов и теорема о движении центра масс системы . . . . . .
173

§ 3. Теорема моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175

§ 4. Теорема об изменении кинетической энергии системы . . . . . . . . . . . . . . . .
181

§ 5. Условия равновесия точки и системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188

Глава VI. Движение при наличии связей (Н. Н. П´оляхов, С. А. Зегжда,
Ш. Х. Солтаханов, М. П. Юшков). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192

I. Несвободное движение

системы материальных точек

§ 1. Несвободное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192

§ 2. Движение материальной точки по поверхности и линии . . . . . . . . . . . . . .
197

§ 3. Несвободное движение системы материальных точек. Несвободное
движение изображающей точки. Уравнения Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . .
215

§ 4. Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода. . . . . . . . . . . . .
230

§ 5. Уравнения движения неголономной системы материальных точек в
обобщенных координатах. Уравнения М´аджи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245

§ 6. Уравнения Апп´еля для системы материальных точек. . . . . . . . . . . . . . . . .
258

II. Несвободное движение

механических систем общего вида

§ 7. Использование касательного пространства при исследовании
несвободного движения механических систем общего вида . . . . . . . . . . .
264

§ 8. Реакция идеальных связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270

§ 9. Уравнения несвободного движения механических систем общего вида
273

Оглавление
5

§ 10. Вывод наиболее употребительных форм записи уравнений движения
неголономных систем из уравнений Маджи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291

§ 11. Управление движением с помощью связей, зависящих от параметров
306

Глава VII. Малые колебания системы (П. Е. Товстик, М. П. Юшков) . . . . . .
318

§ 1. Дифференциальные уравнения малых движений и их
интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318

§ 2. Исследование характера малых колебаний системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325

§ 3. Малые колебания системы при отсутствии сил сопротивления . . . . . . .
328

§ 4. Главные координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334

§ 5. Минимально-максимальные свойства собственных частот . . . . . . . . . . . .
338

§ 6. Малые колебания при наличии сил сопротивления и
гироскопических сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344

§ 7. Вынужденные колебания механической системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349

Глава VIII. Динамика твердого тела (М. П. Юшков). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
354

§ 1. Динамические характеристики твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
354

§ 2. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. .
367

§ 3. Преобразование силовых систем, приложенных к абсолютно
твердому телу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369

§ 4. Уравнения статики твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
374

§ 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376

§ 6. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . .
380

§ 7. Уравнения движения системы твердых тел в избыточных
координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
402

Глава IX. Вариационные принципы механики (Н. Н. П´оляхов,
С. А. Зегжда, Ш. Х. Солтаханов М. П. Юшков) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
409

I. Дифференциальные вариационные

принципы механики

§ 1. Классификация принципов механики. Возможные перемещения
механических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
409

§ 2. Принцип Даламбера — Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422

§ 3. Принцип Суслова — Журдена. Связи типа Четаева. Обобщенный
принцип Даламбера — Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
428

§ 4. Принцип Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
435

§ 5. Единая векторная форма записи и геометрическая интерпретация
вариационных дифференциальных принципов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
438

II. Интегральные вариационные

принципы механики

§ 6. Принцип Гамильтона — Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
446

§ 7. Принцип Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
452

§ 8. Различные формы выражения принципа Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . .
454

§ 9. О вариационных принципах механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456

§ 10. Уравнение Гамильтона — Якоби для функции S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461

Глава X. Статика (С. Б. Филиппов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466

§ 1. Эквивалентные системы сил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466

§ 2. Системы параллельных сил. Центр масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
470

§ 3. Уравнения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
475

Оглавление

§ 4. Составление и решение уравнений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
481

§ 5. Равновесие ферм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
489

§ 6. Равновесие систем с трением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
492

§ 7. Равновесие нити . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
495

Глава XI. Интегрирование уравнений механики (Н. Н. П´оляхов) . . . . . . . . .
500

§ 1. Теорема Гамильтона — Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
500

§ 2. Интегральные инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
508

§ 3. Канонические преобразования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
516

§ 4. Оптико-механическая аналогия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526

Глава XII. Элементы специальной теории относительности
(Н. Н. П´оляхов). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534

§ 1. Кинематические соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534

§ 2. Уравнения динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
540

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
547

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
549

ПРЕДИСЛОВИЕ

Написание учебника «Теоретическая механика» для студентов классических университетов, четвертое, уже двухтомное издание которого предлагается читателю, было инициировано известным ученым-механиком заслуженным деятелем науки РСФСР, доктором технических наук, профессором Николаем Николаевичем П´оляховым (1906–1987).
После окончания Московского университета в 1929 г. Н. Н. П´оляхов работал в Центральном аэродинамическом институте им. Н. Е. Жуковского
(ЦАГИ) под руководством С. А. Чаплыгина, по заданию которого он совместно с В. П. Ветчинкиным разработал математическую теорию винта,
в 1940 г. опубликованную ими в монографии «Теория и расчет воздушного гребного винта». Книга эта не потеряла актуальности до настоящего
времени.
В 1933 г. Н. Н. Поляхов переехал в Ленинград и стал преподавать на
кафедре гидроаэродинамики Ленинградского политехнического института. В 1953 г. по предложению академика В. И. Смирнова Николай Николаевич стал заведовать кафедрой аналитической механики (позже теоретической и прикладной механики) математико-механического факультета
Ленинградского университета. В связи с этим ему пришлось читать новый для него весьма обширный курс «Теоретическая механика». В течение длительного времени он создавал и непрерывно совершенствовал свой
курс этой дисциплины, не только улучшая методически, но и постоянно
наполняя его новыми научными результатами, что естественно для фундаментальных университетских курсов. Здесь специально хочется выделить
циклы работ Николая Николаевича по уравнениям неголономной механики и вариационным принципам механики. В частности, в них он впервые
ввел в научный оборот обобщенный оператор Гамильтона (его справедливо можно было бы назвать оператором Поляхова), который позволяет
описать геометрически реакцию идеальных неголономных связей.
В 1975 г. (то есть через 22 года после начала работы над курсом!)
Н. Н. Поляхов пригласил своих учеников С. А. Зегжду и М. П. Юшкова,
читавших общие курсы того же названия на других отделениях факультета, написать вместе с ним университетский учебник по теоретической
механике. После десяти лет работы этот учебник был выпущен в свет Из

Предисловие

дательством Ленинградского университета и в 1987 г. был удостоен Первой
премии Университета. В дальнейшем учебник выдержал второе и третье
издания (2000, 2012 гг.).
После кончины Николая Николаевича С. А. Зегжда и М. П. Юшков со
своими учениками продолжали работу в области аналитической механики. Эти результаты были отражены в трех монографиях (в соавторстве с
Ш. Х. Солтахановым), причем книга «Уравнения движения неголономных
систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления» была переведена на китайский язык, а монография «Неголономная механика. Теория и приложения» была опубликована издательством
Springer на английском языке. Этот цикл работ по неголономной механике в 2011 г. получил премию Санкт-Петербургского университета «За
научные труды».
Следуя примеру Николая Николаевича, С. А. Зегжда и М. П. Юшков
приступили к написанию более полного по содержанию учебника, отражающего новые научные результаты, опубликованные в упомянутых выше
монографиях. Очень важно, что к работе над новой редакцией учебника
были привлечены и другие сотрудники кафедры, написавшие главы, отражающие их научные интересы и созданные ими специальные курсы. Эти
главы составили второй том учебника, в то время как первый том содержит основной расширенный курс теоретической механики для студентов
математико-механических факультетов университетов. В связи с этим авторами решено было дать учебнику новое название — «Теоретическая и
прикладная механика», которое совпадает с названием их кафедры.
Хочется подчеркнуть особую роль в работе над книгой П. Е. Товстика,
возглавившего кафедру в 1977 г. после перехода Николая Николаевича на
заведование кафедрой гидромеханики. Петр Евгеньевич не только ответственный редактор трех изданий учебника, но и автор большого количества глав.
Нет сомнения, что учебник Н. Н. П´оляхова, П. Е. Товстика, С. А. Зегжды, М. П. Юшкова и соавторов «Теоретическая и прикладная механика»
будет не только необходим студентам и аспирантам классических университетов, но и полезен специалистам в области теоретической, аналитической и прикладной механики.

Заведующий отделением механики
математико-механического факультета
Санкт-Петербургского государственного университета
академик РАН Н. Ф. Морозов

Санкт-Петербург, 4 сентября 2019 г.

ВВЕДЕНИЕ

Данный двухтомный курс теоретической механики1 является четвертым
значительно переработанным и расширенным изданием книги «Теоретическая механика», выпущенной впервые издательством Ленинградского университета в 1985 г. В основу этого курса были положены лекции, длительное время читавшиеся авторами на математико-механическом факультете
Санкт-Петербургского государственного университета. Учебник предназначен для классических университетов, чем и объясняется широкий круг
рассматриваемых в нем вопросов. Измененное название книги соответствует названию кафедры, на которой работают авторы, и по их мнению оно
больше соответствует излагаемому содержанию.

Материал учебника разбит на три раздела. Первый раздел посвящен
кинематике, второй — общим вопросам теоретической механики. Эти два
раздела составляют содержание первого тома. Во второй том включен третий раздел курса, отражающий некоторые специальные вопросы теоретической механики, имеющие прикладное значение.

Первый раздел «КИНЕМАТИКА» состоит из трех глав. В главе I «Кинематика точки» большое внимание уделяется ко- и контравариантным составляющим векторов скоростей и ускорений, что в дальнейшем оказывается необходимым при изучении ряда вопросов динамики.
Последовательное применение криволинейных координат делает методически единым подход к курсу. Однако авторы стремились к простоте
изложения и вводили соответствующий математический аппарат лишь по
мере необходимости.
В главе II «Кинематика твердого тела» при выводе выражения
для вектора мгновенной угловой скорости используется правило диффе
1В учебнике Болотин С. В., Карапетян А. В., Кугушев Е. И., Трещев Д. В. Теоретическая механика. М.: Издательский центр «Академия», 2010 г. на с. 3 справедливо отмечено, что «Термин “теоретическая механика” является стандартным, но чрезвычайно
неудачным. Он создает впечатление, что остальная механика — “практическая”, тогда
как на самом деле другими ее разделами являются механика сплошной среды, статистическая, квантовая и релятивистская. Несколько лучше отражает суть дела термин
“классическая механика”, но и он не вполне удовлетворителен, так как его противоположностью, как правило, считается “квантовая механика”».

Введение

ренцирования сложной функции для случая нескольких переменных. При
изучении проекций угловой скорости на неподвижные оси координат показывается, что они являются квазискоростями, так как их нельзя рассматривать как производные от некоторых новых координат, определяющих
ориентацию твердого тела в пространстве. Вводится понятие тензора поворота.
В главе III «Сложное движение» первоначально излагается сложное движение точки, а затем — теория сложения движений твердого тела.

Второй раздел «ДИНАМИКА. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ» содержит девять глав. В главе IV «Динамика точки»
рассматриваются общие теоремы, подробно изучаются колебание точки,
относительное движение и движение точки в центральном силовом поле.
Уравнения Лагранжа второго рода выводятся на основе результатов, полученных при изучении кинематики точки в криволинейных координатах.
Эти уравнения, а также полученные в этой же главе канонические уравнения в дальнейшем естественным образом обобщаются на случай механических систем общего вида.
Глава V «Динамика системы» знакомит с понятием изображающей точки по Герцу и уравнениями ее движения как в декартовых, так и в
криволинейных координатах в форме уравнений Лагранжа второго рода.
Введение изображающей точки делает методически единым построение
динамики точки и системы точек.
Глава VI «Движение при наличии связей» является в книге центральной и содержит ряд новых результатов. Несвободное движение материальной точки и точки, изображающей движение системы точек, рассматривается в ней на основе понятия идеальных связей, то есть связей,
имеющих минимальную по величине реакцию. Для одной материальной
точки, находящейся на поверхности, минимальной по величине является
реакция, направленная по нормали к данной поверхности. В общем же
случае идеальность связей означает, что обобщенные реакции, соответствующие свободным координатам, равны нулю. Показывается, что уравнения Лагранжа второго рода и формулы для обобщенных реакций представляют собой результат линейного преобразования уравнений Лагранжа
первого рода.
Таким образом, теория несвободного движения построена без привлечения принципа Даламбера — Лагранжа, который подробно излагается в
главе IX, посвященной вариационным принципам механики.