Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика

Kai Lai Chung, Farid AitSahlia

ELEMENTARY
PROBABILITY THEORY

WITH STOCHASTIC PROCESSES AND 
AN INTRODUCTION TO MATHEMATICAL FINANCE

Fourth Edition

With 57 Figures 

К. Л. Чжун, Ф. АитСахлиа

ЭЛЕМЕНТАРНЬIЙ КУРС
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
И ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Перевод с 4го английского
издания М. Б. Лагутина

4е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2021

УДК 519.2
ББК 22.17
Ч-57

Чжун К. Л.
Ч-57
Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические
процессы и финансовая математика / К. Л. Чжун, Ф. АитСахлиа ; пер. с англ. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 458 с. — Систем. требования: Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст
:
электронный.
ISBN 978-5-93208-572-1
Перевод 4-го издания популярного учебника по теории вероятностей и ее приложениям, написанного известными американскими
математиками из Станфордского университета. Четвертое издание
дополнено двумя новыми главами, посвященными финансовой математике.
Для студентов, преподавателей, исследователей и практиков
в экономике, психологии, социологии, медицине и в других областях,
где используются статистические методы и теория вероятностей.
УДК 519.2
ББК 22.17

Деривативное издание на основе печатного аналога: Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика / К. Л. Чжун, Ф. АитСахлиа ; пер. с англ. —
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. — 455 с. : ил.
ISBN 978-5-94774-347-0.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-572-1

Translation from the English language
edition:
Elementary Probability Theory
by Kai Lai Chung and Farid AitSahlia

© 2003, 1979, 1975, 1974 Springer-Verlag
New York, Inc.
Springer is a part of Springer
Science+Business
Media
All Rights Reserved

© Перевод на русский язык,
Лаборатория знаний, 2015

Предисловие к четвертому изданию

В этом издании добавлены две новые главы, 9 и 10, посвященные финансовой математике. Они написаны доктором Фаридом АитСахлиа, ancien
´el`eve, который читал курс лекций по данному предмету и работал в исследовательских отделах нескольких промышленных и финансовых организаций.
Новый текст начинается с подробного перечня специфических финансовых терминов, относящихся к разнообразным опционам и другим
сделкам с ценными бумагами, подверженным влиянию колебаний курсов на финансовом рынке. Экономические процессы описаны на ясном
и точном математическом языке, что позволяет исследовать их с помощью вероятностных методов, изложенных в предшествующих главах. Многочисленные практические примеры и задачи различной степени трудности иллюстрируют применимость теории к решению реальных финансовых проблем. Для понимания материала двух последних
глав читателю, который интересуется в основном финансовыми вопросами, достаточно лишь поверхностно ознакомиться с содержанием первых восьми глав. Более углубленное изучение можно осуществить с помощью предметного указателя.
При переиздании я воспользовался возможностью заполнить брешь
в разд. 8.1 и расширил дополнение 3, поместив в него полезное утверждение о мартингале, остановленном в случайный момент времени. Последнее понятие играет важную роль в более продвинутой теории финансового рынка и других дисциплинах. Несмотря на это, уровень нашего изложения остается элементарным, соответственно названию и проекту книги. Добавлены также несколько реальных эпизодов из области
современных финансов, чтобы разрядить, для начинающих, многослойную атмосферу экономической науки. Мы благодарны Руфи Уильямс за
прочтение черновика новых глав и внесение ценных предложений, а также Бернару Брю и Марку Барбю за информацию о законах Парето—
Леви, введенных с целью описания распределения доходов. Доступный,
по нашему мнению, обзор этой хорошо известной теории содержится
в новом дополнении 4.

К. Л. Чжун, 3 августа 2002 г.

Предисловие к третьему изданию

Новой деталью этого издания является включение в него восьми фотографий ученых, внесших значительный вклад в современную теорию
вероятностей*). Все они упоминаются в тексте, хотя, конечно, несколько
ссылок не могут адекватно отразить их выдающуюся роль. Я надеюсь,
что эти одухотворенные лица вызовут у читателя ощущение, что наша
наука — живой организм, созданный и развиваемый реально существующими людьми. Мне посчастливилось встречаться или быть знакомым
почти со всеми из них после того, как я изучил их работы, и теперь мне
приятно представить этих ученых более молодому поколению. В получении фотографий мне помогали Мари-Хелен Шварц, Джоан Эллиот,
Мило Кейнс и Ю. А. Розанов, которым я искренне благодарен.
Совсем недавно моя книга была издана на немецком языке. Я крайне
признателен д-ру Герберту Фогту за аккуратный и точный перевод,
в результате чего в текст текущего издания внесено много улучшений. Я также благодарю читателей, любезно приславших свои замечания: Марвина Гринберга, Луизу Хэй, Нору Холмквист, Х.-И. Ламана
и Фреда Уолока. Еще раз выражаю свою признательность издательству
«Шпрингер» за желание довести свои публикации «до совершенства».

К. Л. Чжун, 19 сентября 1978 г.

Предисловие ко второму изданию

При подготовке второго издания основное внимание было уделено исправлению ошибок, допущенных в первом издании. В этой работе участвовали Чао Хунг-по, Дж. Л. Дуб, Р. М. Экснер, В. Х. Флеминг,
А. М. Глисон, Карен Кафадор, С. Х. Полит и П. ван Морбек. Г-жа Кафадор и д-р Полит аккуратно объединили все списки замечаний. Наиболее огорчительные ошибки были обнаружены в решениях задач. Все
решения проверены мною лично в главах 1–5 и господином Чао — в главах 6–8. Я очень надеюсь, что ошибок там почти не осталось. Также
были внесены некоторые усовершенствования и добавления, но не все рекомендации удалось реализовать к настоящему моменту. Просим читателей присылать критические замечания и комментарии для принятия
их во внимание в будущем издании. Благодарю персонал издательства
«Шпрингер» за предоставление возможности внести данные коррективы сразу после выхода в свет этой книги.
К. Л. Чжун

*) В издании на русском языке эти фотографии отсутствуют. — Прим. ред.

Предисловие к первому изданию

За последние полвека теория вероятностей выросла из незначительного изолированного предмета в разветвленную и бурно развивающуюся
дисциплину, оказывающую влияние на многие другие направления математики. В то же время она играет важнейшую роль в математизации
многих прикладных наук, таких как статистика, исследование операций, биология, экономика и психология (в названиях некоторых из них
до сих пор прочно закрепилось слово «математическая»). Факт достижения теорией вероятностей совершеннолетия отразился на материале
учебников по этому предмету. В прежние времена большинство таких
книг демонстрировали явное «раздвоение личности»: в них излагался
либо комбинаторный подход к описанию игр, в которых присутствует
случайность, либо так называемая «теория ошибок» наблюдений, связанная с нормальным распределением. Данный период завершился с появлением в 1950 г. классической монографии У. Феллера [9], из которой
я отбирал материал для моего первого курса по теории вероятностей.
Спустя некоторое время теория вероятностей и ее приложения уверенно заняли свое место в учебных программах в качестве математической
дисциплины, необходимой для многих областей знаний. Начальные сведения по этой теории теперь преподаются на разных уровнях сложности, иногда даже до изучения математического анализа. Данная книга предназначена для составления курса, ориентированного на студентов, скорее всего, второго года обучения. Не предполагается никакого
предварительного знакомства с предметом, первые три главы можно
читать, почти совсем не зная математического анализа. Следующие три
главы уже требуют умения обращаться с бесконечными рядами и близкими к ним понятиями. При рассмотрении случайных величин, имеющих плотность, необходимо владеть основами математического анализа.
Подобные темы, относящиеся к «непрерывному случаю» (как противоположности «дискретного»), легко отделяются от остальных и могут
быть отложены. Материал первых шести глав, как нам представляется,
должен образовывать каркас любого содержательного введения в теорию вероятностей. Рекомендуем дополнить его следующими разделами:
7.1 (распределение Пуассона, которое даже может быть включено в основной курс), 7.3, 7.4, 7.6 (нормальное распределение и закон больших
чисел), 8.1 (простое случайное блуждание, которое не только вызывает
интерес, но и полезно). Все это можно изложить в течение одного семестра. Для курса продолжительностью в одну четверть придется произвести некоторые сокращения. Конкретно: для такого короткого курса
с гл. 1 и 3 можно ознакомиться поверхностно, не рассматривая темы, отмеченные звездочкой. Во всяком случае, глубокое изучение теоремы о
нормальной аппроксимации из гл. 7 следует проводить только при условии, что времени достаточно (как в семестровом или двухчетвертном

Предисловие к первому изданию

курсе). Заключительная гл. 8 представляет собой замкнутое введение
в проблематику цепей Маркова и углубляет основной материал на более высоком уровне. Вместе с отмеченными звездочкой разд. 5.3, 5.4
(последовательный отбор и урновая схема Пойа), 7.2 (пуассоновский
процесс) и, вероятно, с какими-то фрагментами из дополнений, данный материал обеспечивает постепенный логичный переход к изучению
теории случайных процессов. Курс, включающий все указанные выше
темы, рассчитан на две четверти (именно в такой форме я много раз читал его студентам математической и инженерных специализаций). Тем
не менее, читатель, проработавший всего шесть глав, сможет перейти
к ознакомлению с более тонкими вопросами, обсуждаемыми, например,
в уже упоминавшейся монографии У. Феллера. Если же читатель имеет
хорошую математическую подготовку, то он будет способен к изучению
формального и строгого курса, подобного изложенному в моей более
продвинутой книге [4].
Немало усилий ушло на отбор, упорядочение и представление материала с целью приспособления его к условиям преподавания. Однако автор не намеревался предложить некий поверхностный пакет, соответствующий заданному расписанию занятий или программе, который обычно требуется при ускоренной форме образования. Определенная свобода и право выбора остается у преподавателя: он лучше знает, что именно использовать для обучения студентов его группы. Каждая глава начинается с легко читаемого текста, предназначенного для
того, чтобы заинтересовать читателя и проиллюстрировать материал.
Благодаря этому, преподаватель имеет возможность сконцентрироваться на более формальных аспектах темы. Каждая глава включает также
и более сложные разделы (например, 1.4, 2.5) для выборочного изучения. Надеюсь, они не отпугнут начинающих, а послужат приглашением
к последующей проработке. Акцент делается на всестороннем и неторопливом обсуждении основных понятий и вычислительных приемов
элементарной теории вероятностей с минимумом излишеств и технических сложностей. Многие примеры предназначены для предупреждения затруднений у начинающих и стимулирования мышления. Часто это
осуществляется путем постановки ключевых вопросов с последующим
сообщением ответов. Исторические, философские и авторские комментарии служат приправой к содержательному предмету. Хотелось бы,
чтобы читатель не только узнал из этой книги что-то новое, но, возможно, также получил некоторое удовольствие от самого чтения.
Первые шесть глав включают более двухсот задач, а две последние —
более восьмидесяти задач. Многие из них — простые, более сложные отмечены звездочкой. В конце книги даны ответы к задачам. Разделы,
отмеченные звездочкой, содержат более специальный или трудный ма

Предисловие к первому изданию
9

териал. Их можно пропустить, но рекомендуем прежде бегло их просмотреть.
Автор любого элементарного учебника, конечно же, многим обязан многочисленным предшественникам. Несколько персональных благодарностей приведено ниже. Мишель Надзела записал курс лекций,
прочитанный мной в Стэнфорде в 1970 г. Жан-Карло Рота, просмотрев эти записи, дал мне начальный импульс для преобразования их
в книгу. Д. Г. Кендэлл прокомментировал наброски нескольких первых
глав и оказал дальнейшую моральную поддержку. Дж. Л. Дуб вызвался
прочитать большую часть рукописи и внес много полезных предложений. К. Б. Эриксон использовал некоторый материал для преподавания.
А. А. Балкема проверил практически окончательную версию и исправил
много погрешностей. Дэн Рудольф прочитал все доказательства вместе
со мной. Перфекто Мэри нарисовал замечательные иллюстрации. Гейл
Лемонд напечатала текст с присущей ей быстротой и безошибочностью.
Наконец, мне приятно поблагодарить издательство «Шпрингер», с которым я давно сотрудничаю, за выбор моей книги в качестве первой
в новой серии учебников для студентов.

К. Л. Чжун, март 1974 г.

О введении в финансовую математику

Две новые главы, 9 и 10, представляют собой замкнутые введения, соответственно, в оптимальное инвестирование на основе средних и дисперсий и проблему определения цены опциона. Тему главы 9 иначе называют современной теорией формирования портфеля ценных бумаг. Она
широко используется менеджерами крупных финансовых учреждений.
Для понимания материала главы достаточно знания основ теории вероятностей и скромного владения математическим анализом. Глава 9
также содержит обсуждение устойчивых законов в рассматриваемом
контексте (эту тему часто не включают в элементарные вероятностные и финансовые курсы). В свою очередь, глава 10 знакомит читателя с теорией вычисления справедливой цены опциона, проблемой, которая способствовала, как отмечено во многих недавно опубликованных
книгах по данной тематике, превращению финансового анализа в активно развивающуюся математическую дисциплину. Эта глава может
служить введением в мартингальную теорию опционов, выражающую
на математическом языке задачу определения цены опциона на рынке.
Мартингальная теория изучается в контексте биномиального случайного блуждания. Несмотря на простоту, в данной модели без арбитража
проявляется сущность многих общих теоретических результатов. Ее часто используют на практике для получения начального приближения
при вычислении цены сложных финансовых инструментов.
Я хотел бы поблагодарить профессора Кай Лай Чжуна за приглашение написать новый материал для четвертого издания, а также мою жену Уннур за моральную поддержку во время этой важной деятельности.

Фарид АитСахлиа,
1 ноября 2002 г.