Методы и алгоритмы финансовой математики

Ю-Д. Люу

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ
ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Перевод с английского
С. В. Жуленёва

под редакцией
Е. В. Чепурина

4-е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2021

УДК 519.8+330
ББК 22.19:65.053
Л96

С е р и я о с н о в а н а в 2007 г.
Люу Ю-Д.
Л96
Методы и алгоритмы финансовой математики / Ю-Д. Люу ;
пер. с англ. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний,
2021. — 754 с. — (Математика и финансы). — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-544-8
Исчерпывающая фундаментальная монография, в которой на доступном
уровне излагается фактически вся финансовая математика: от классической
и детерминированной финансовой теории до практически всех разделов
современной стохастической финансовой математики. Основной акцент
в книге делается на прикладные вычисления, что выражается, в частности,
обилием приводимых алгоритмов. Многие из них реализованы в виде Javaпрограмм и доступны в Интернете на домашней странице книги.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и специалистов в области
финансов, а также математиков и программистов, интересующихся приложениями теории вероятностей.
УДК 519.8+330
ББК 22.19:65.053

Деривативное издание на основе печатного аналога: Методы и алгоритмы финансовой математики / Ю-Д. Люу ; пер. с англ. — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2007. — 751 с. : ил. — (Математика и финансы).
ISBN 978-5-94774-333-3.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-544-8

©
Copyright
2002 by Yuh-Dauh Lyuu
This book is in copyright. Subject to
statutory exception and to the
provisions of relevant collective
licensing agreements, no reproduction
of any part may take place without
the written permission of Cambridge
University Press

© Перевод на русский язык.
Лаборатория знаний, 2015

Оглавление

Предисловие редактора перевода
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Часть I.
КЛАССИЧЕСКАЯ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Глава 1. Введение
. . . . . . . . .
16

1.1. Современные финансы: краткая история
. . . . . . . . .
16

1.2. Финансовая технология и финансовые расчеты
. . . . . .
16

1.3. Финансовые рынки
. . . . .
17

1.4. Компьютерная технология . .
20

Глава 2. Анализ алгоритмов
. . . .
25

2.1. Сложность
. . . . . . . . . .
25

2.2. Анализ алгоритмов . . . . . .
26

2.3. Описание алгоритмов
. . . .
27

2.4. Разработка программного обеспечения
. . . . . . . . . . .
28

Глава 3. Основы финансовой математики
. . . . . . . . . . . . . . .
30

3.1. Временная стоимость денег
.
30

3.2. Ежегодные ренты
. . . . . .
33

3.3. Амортизация
. . . . . . . . .
35

3.4. Доходности
. . . . . . . . .
37

3.5. Облигации
. . . . . . . . . .
46

Глава 4. Волатильность цены облигации
. . . . . . . . . . . . . . . .
57

4.1. Волатильность цены
. . . . .
57

4.2. Дюрация
. . . . . . . . . . .
59

4.3. Выпуклость
. . . . . . . . .
69

Глава 5. Временная
структура
процентных ставок . . . . . . . . . . .
72

5.1. Введение
. . . . . . . . . . .
72

5.2. Спотставки
. . . . . . . . .
74

5.3. Получение
спотставок
из
кривых доходности
. . . . .
75

5.4. Статический спрэд . . . . . .
77

5.5. Кривая спотставок и кривая
доходности . . . . . . . . . .
77

5.6. Форвардные ставки
. . . . .
79

5.7. Теории временной структуры
85

5.8. Уточнение понятий дюрации
и иммунизации
. . . . . . .
89

Часть II.
ОПЦИОНЫ И ДРУГИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ

Глава 6. Основные факты теории вероятностей и математической статистики
96

6.1. Основные понятия . . . . . .
96

6.2. Регрессия
. . . . . . . . . . 103

6.3. Корреляция
. . . . . . . . . 106

6.4. Оценка параметров
. . . . . 107

Глава 7. Основы опционов
. . . . . 111

7.1. Введение
. . . . . . . . . . . 111

7.2. Основные понятия . . . . . . 112
7.3. Биржевые опционы (опционы,
которыми торгуют на бирже)
114

7.4. Основные стратегии в опционах 117
7.5. Комбинация
. . . . . . . . . 121

Глава 8. Арбитраж при оценке стоимости опциона
. . . . . . . . . . . 123

8.1. Арбитражные соображения
. 123

8.2. Относительная стоимость опционов
. . . . . . . . . . . . 124

8.3. Паритет пут—колл и ряд вытекающих из него свойств . . 126

8.4. Досрочное
исполнение
Американских опционов . . . . . 128

8.5. Выпуклость цен опционов . . 131
8.6. Свойство
портфеля,
составленного из опционов
. . . . 132

Глава 9. Модели оценки стоимости
опционов
. . . . . . . . . . . . . . 134

9.1. Введение
. . . . . . . . . . . 134

9.2. Биномиальная модель оценки
стоимости опциона
. . . . . 135

9.3. Формула Блэка—Шоулса
. . 148

9.4. Использование формулы Блэка—Шоулса
. . . . . . . . . 155

9.5. Американские опционы пут на
бездивидендные акции . . . . 157

9.6. Опционы на акции с дивидендами
. . . . . . . . . . . . . 159

9.7. Пересечение дерева по диагонали
. . . . . . . . . . . . . 164

Оглавление

Глава 10. Анализ
чувствительности
опционов
. . . . . . . . . . . . . . 169

10.1. Меры чувствительности
(Гречанки) . . . . . . . . . 169

10.2. Техника численных расчетов
174

Глава 11. Теория опционов. Продолжение
. . . . . . . . . . . . . . . 178

11.1. Корпоративные ценные бумаги 178
11.2. Барьерные опционы
. . . . . 185

11.3. Шапки и полы процентных ставок 189
11.4. Опционы на индексы акций . 190
11.5. Форексные опционы . . . . . 193

11.6. Cложные опционы . . . . . . 198
11.7. Производные ценные бумаги,
стоимость которых зависит от
траектории
. . . . . . . . . . 199

Глава 12. Форварды, фьючерсы, опционы на фьючерсы, свопы . . . . . 207
12.1. Введение
. . . . . . . . . . . 207

12.2. Форвардные контракты
. . . 209

12.3. Фьючерсные контракты
. . . 214

12.4. Опционы на фьючерсы и опционы на форварды
. . . . . 223

12.5. Свопы
. . . . . . . . . . . . 230

Часть III.
НЕПРЕРЫВНАЯ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА И ХЕДЖИРОВАНИЕ
Глава 13. Cтохастические
процессы
и броуновское движение
. . . . . . 236

13.1. Случайные процессы
. . . . 236

13.2. Мартингалы
(справедливые
игры)
. . . . . . . . . . . . 238

13.3. Броуновское движение . . . . 243
13.4. Броуновский мост
. . . . . . 249

Глава 14. Финансовая математика с
непрерывным временем
. . . . . . . 251

14.1. Стохастические интегралы . . 251
14.2. Процессы Ито
. . . . . . . . 254

14.3. Применения
. . . . . . . . . 260

14.4. Финансовые приложения
. . 264

Глава 15. Оценка стоимости производных финансовых инструментов в
случае непрерывного времени . . . . 270
15.1. Дифференциальные уравнения
в частных производных
. . . 270

15.2. Дифференциальное уравнение
Блэка—Шоулса
. . . . . . . 271

15.3. Приложения
. . . . . . . . . 276

15.4. Оценка стоимости производного инструмента общего вида 287

15.5. Стохастическая волатильность 289
Глава 16. Хеджирование
. . . . . . 291

16.1. Введение
. . . . . . . . . . . 291

16.2. Хеджирование и фьючерсы
. 292

16.3. Хеджирование и опционы
. . 297

Часть IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ

Глава 17. Деревья
. . . . . . . . . 304

17.1. Оценка стоимости барьерных
опционов комбинаторными методами
. . . . . . . . . . . . 304

17.2. Алгоритмы триномиального дерева 313
17.3. Оценка стоимости многокомпонентных условных требований 316

Глава 18. Численные методы . . . . 321
18.1. Конечноразностные
методы 321

18.2. Моделирование
по
методу
МонтеКарло
. . . . . . . . 328

18.3. Квазиметоды МонтеКарло
. 336

Глава 19. Матричные вычисления
. 343

19.1. Основные определения и результаты
. . . . . . . . . . . 343

19.2. Проблема метода наименьших
квадратов
. . . . . . . . . . 349

19.3. Сглаживание данных с помощью сплайнов
. . . . . . . . 355

Глава 20. Анализ временных рядов . 361
20.1. Введение
. . . . . . . . . . . 361

20.2. Модели
условной
дисперсии
для волатильности цены . . . 369

Часть V.
КЛАСС ЦЕННЫХ БУМАГ, ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ
К ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ, И ЕГО ПРОБЛЕМЫ
Глава 21. Производные ценные бумаги
на процентную ставку
. . . . . . . 374

21.1. Фьючерсы и форварды на процентную ставку
. . . . . . . 374

21.2. Опционы
с
фиксированной
доходностью
и
опционы
на
процентную ставку . . . . . . 387

21.3. Опционы
на
фьючерсы
по
процентной ставке . . . . . . 392

21.4. Cвопы на процентную ставку
394

Глава 22. Подгонка временной структуры 406
22.1. Введение
. . . . . . . . . . . 406

22.2. Линейная интерполяция . . . 407

22.3. Обычный метод наименьших
квадратов
. . . . . . . . . . 409

22.4. Сплайны
. . . . . . . . . . . 411

22.5. Схема Нельсона—Зигеля . . . 412
Глава 23. Введение в моделирование
временной структуры
. . . . . . . . 414

23.1. Введение
. . . . . . . . . . . 414

23.2. Биномиальное
дерево
процентной ставки
. . . . . . . 415

23.3. Применения к оценке стоимости и хеджированию . . . . . 426

23.4. Временная структура волатильности . . . . . . . . . . . . . 432

Оглавление
7

Глава 24. Основы моделирования временной структуры
. . . . . . . . . 435

24.1. Терминология
. . . . . . . . 435

24.2. Основные соотношения
. . . 436

24.3. Рискнейтральная оценка стоимости
. . . . . . . . . . . . 438

24.4. Уравнение временной структуры 441
24.5. Процесс форвардной ставки . 444
24.6. Биномиальная модель с приложениями . . . . . . . . . . 445

24.7. Модели Блэка—Шоулса
. . . 451

Глава 25. Равновесные модели временной структуры
. . . . . . . . . 454

25.1. Модель Васичека
. . . . . . 454

25.2. Модель
Кокса—Ингерсолла—
Росса . . . . . . . . . . . . . 457

25.3. Другие модели
. . . . . . . . 465

25.4. Калибровка модели
. . . . . 466

25.5. Однофакторные модели краткосрочной ставки
. . . . . . 468

Глава 26. Безарбитражные
модели
временной структуры
. . . . . . . . 471

26.1. Введение
. . . . . . . . . . . 471

26.2. Модель Хо—Ли
. . . . . . . 471

26.3. Модель Блэка—Дермана—Тоя
477

26.4. Модели по Халлу и Уайту
. . 481

26.5. Модель Хита—Джэрроу—Мортона
. . . . . . . . . . . . . 487

26.6. Модель Ритчкена—Санкарасубраманяна . . . . . . . . . . . 495

Часть VI. НАИБОЛЕЕ ИЗВЕСТНЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ

Глава 27. Ценные бумаги с фиксированной доходностью
. . . . . . . . 500

27.1. Введение
. . . . . . . . . . . 500

27.2. Облигации
Казначейства,
агентств и муниципалитетов . 501

27.3. Корпоративные облигации
. 504

27.4. Методы оценки стоимости
. 509

27.5. Дюрации ключевых ставок
. 517

Глава 28. Ценные бумаги, обеспеченные закладными. Введение
. . . . . 521

28.1. Введение
. . . . . . . . . . . 521

28.2. Банковская деятельность, связанная с закладными
. . . . 523

28.3. Агентства и процесс превращения
закладных в ценные бумаги
. 525

28.4. Ценные бумаги, обеспеченные
закладными
. . . . . . . . . 527

28.5. Программы
федеральных
агентств по ценным бумагам,
обеспеченным закладными
. 531

28.6. Предоплата
. . . . . . . . . 532

Глава 29. Анализ ценных бумаг, обеспеченных закладными . . . . . . . . 537
29.1. Анализ денежного потока
. . 537

29.2. Моделирование предоплаты по
закладным
. . . . . . . . . . 554

29.3. Дюрация и выпуклость
. . . 557

29.4. Методология оценки стоимости 560
Глава 30. Облигации,
обеспеченные
закладными . . . . . . . . . . . . . 567
30.1. Введение
. . . . . . . . . . . 567

30.2. Слои с плавающей ставкой
. 568

30.3. Облигации ЗПК
. . . . . . . 570

30.4. Облигации ЦПК . . . . . . . 575
30.5. Полосы ОЗЗ
. . . . . . . . . 575

30.6. Остатки
. . . . . . . . . . . 576

Часть VII. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ

Глава 31. Cовременная портфельная
теория
. . . . . . . . . . . . . . . 578

31.1. Анализ риска и доходности с
помощью среднего и дисперсии 578

31.2. Модель оценки стоимости финансовых активов
. . . . . . 587

31.3. Факторные модели . . . . . . 594
31.4. Cтоимость под риском . . . . 598

Часть VIII. ДОПОЛНЕНИЕ

Глава 32. Программное обеспечение
608

32.1. Программирование в сети
. . 608

32.2. Использование программного
обеспечения на странице The
Capitals
. . . . . . . . . . . . 608

32.3. Другие темы
. . . . . . . . . 611

Глава 33. Решения к упражнениям и
заданиям по программированию . . . 613

Глава 34. Русские и английские сокращения . . . . . . . . . . . . . . 696
34.1. Используемые русские сокращения и их английские эквиваленты
. . . . . . . . . . . 696

34.2. Используемые английские сокращения
. . . . . . . . . . 698

Глава 35. Некоторые из основных понятий современной финансовой теории 700

Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

Предисловие
редактора перевода

Книга, которую Вы держите в руках, обязательно должна была появиться в ряду изданных в России монографий, посвященных финансовой
теории, математическим моделям и практическим аспектам расчета характеристик эффективности инвестиций в ценные бумаги на фондовых
рынках финансовой индустрии. Заметим, что, не имея непосредственного
отношения к материальному производству, финансовая индустрия в конечном итоге перераспределяет финансовые ресурсы инвесторов именно
в материальное производство. В определенном смысле, она является
и индикатором, и стимулятором развития экономики в целом. Поэтому
детальный анализ явлений, происходящих на финансовом рынке, имеет
и научную, и еще более актуальную прикладную значимость.
Цель инвесторов Ҹ получение дохода за предоставление финансовых
ресурсов. Однако на этом пути их ожидают и риски финансовых потерь:
они связаны с неопределенностью, порождаемой временной изменчивостью экономической ситуации, существенным образом влияющей на
ценообразование финансовых активов и на степень рискованности тех
или иных инструментов инвестирования. Для выбора пути уменьшения
риска при инвестиционном процессе в теории финансов рекомендуется использовать процедуры, разработанные на основе весьма тонких
и изысканных методов математики. Ознакомиться с этими рекомендациями можно, в основном, или по книгам, где изложение ведется на базе
математики высокого уровня, или по литературе описательного характера
с фрагментарным включением формульного аппарата. Удачных изданий,
являющихся своеобразным мостиком между двумя упомянутыми выше
тенденциями, явно недостаточно. Именно к такому типу изданий, в которых сложные математические факты и их интерпретация выводятся
максимально упрощенно, без использования усложненной символики
и необязательных абстрактных понятий, относится книга профессора
Ю-Дау Люу, известного специалиста в области финансов и информатики. В связи со второй специализацией автора заметим, что именно
уникальные достижения информационных технологий во многом предопределили интенсификацию и глобализацию операций на фондовом
рынке, привлечение на рынок гигантских финансовых средств. Естественно, что этот аспект нашел свое отражение в книге.
Книга профессора Люу является самодостаточной по финансовой
теории и практике функционирования фондовых рынков, а также по
математическому моделированию и статистическому анализу инструмен

Предисловие редактора перевода
9

тов фондового рынка, по компьютерной реализации этих инструментов.
Поэтому она может служить важным пособием для специалистов сферы
финансовой индустрии, имеющих базовое математическое или техническое образование, и способствовать достижению ими необходимого
высокого профессионального уровня. Финансовые менеджеры найдут
в данной книге своеобразный справочник по формированию портфеля ценных бумаг и необходимые сведения по форме постановки задач
для IT-специалистов при планировании подготовки сопровождающего
компьютерного продукта.
Как справедливо отмечает автор, данная книга окажется также полезной студентам, осваивающим теорию и практику оборота ценных бумаг.
Для меня же, как для преподавателя, книга профессора Люу ценна как
источник конкретных сведений о фондовом рынке, как авторитетный
учебник, к которому можно отсылать при чтении курсов по современной
финансовой теории, как весьма содержательный задачник по расчетам
характеристик инструментов рынка ценных бумаг.
Заглядывая в недалекое будущее с учетом развития информационных
технологий, обеспечивающих функционирование фондового рынка, легко предвидеть, что наряду с институциональными инвесторами вскоре на
нем появится значительная прослойка индивидуальных инвесторов. Для
многих из них присутствие на рынке ценных бумаг явится своеобразной
интеллектуальной игрой вне зависимости от конечного финансового результата. Игрой, будоражащей эмоции в не меньшей степени, чем все
любые другие игры, без которых человечество не может существовать.
Для таких инвесторов-индивидуалов данную книгу можно рекомендовать
как серьезное введение в теорию финансовой игры в ценные бумаги.
Предлагаемая вниманию читателя монография встречена за рубежом
с большим интересом. Уверен, что книга профессора Люу приобретет
такую же популярность и в России.

Е. В. Чепурин

В пямять любимых
Рэчел и Джошуа

Предисловие

[Книга] — это узел в сети.

Мишель Фуко (1926—1984),
Археология знания

На кого рассчитана книга

Как и предполагает название этой книги, современная книга по финансовой технологии должна включать в себя в равной мере
как теорию капиталовложений, финансовую математику, так и компьютерные науки. Причем этот междисциплинарный расклад приспособлен
больше к тем рынкам капитала, где используется количественный анализ. В конце концов, даже экономика заметно отошла от того времени,
когда «основная часть потенциальных читателей (Альфреда Маршалла)
были не только неспособны, но и не желали читать экономику в математической форме», в соответствии с высказыванием Винера (1892—
1970) [860], и перешла к новым стандартам, о которых Марковиц писал
в 1987 г.: «более половины моих студентов не могут записать формальное
определение (предела последовательности)» [642].
Этот материал написан главным образом для студентов, получающих инженерное и естественнонаучное образование, которые желают изучать количественную сторону финансов в связи с учебным процессом или в связи с желанием стать профессионалами в этой области. Никаких предварительных
знаний по финансам не требуется. Годы работы со студентами в области бизнеса
убедили меня в том, что ориентированные на MBA*) студенты получат
пользу от акцента книги на вычисления. Ну а при обширной библиографии
книга сможет служить и справочным пособием для научных работников.
Этот текст предназначен также и для практиков. Системные аналитики найдут здесь много компактных и полезных алгоритмов. Управляющие портфелями ценных бумаг и брокеры смогут познакомиться
с количественными инновациями, полезными в их повседневной деятельности. При построении новых финансовых инструментов данная
книга послужит и финансовым инженерам тем, что в ней дается объяснение базовым принципам и вычислительным подходам, используемым
при оценке стоимости этих инструментов.
Рынок уже предложил несколько великолепных книг по производным
ценным бумагам ([236, 470, 514, 746, 878]), финансовой технологии ([369,
646, 647]), финансовой теории ([290, 492]), эконометрике ([147]), численным методам ([62, 215]) и финансовой математике ([59, 575, 692, 725]).
Однако существует не много книг, в которых делается попытка объединить

*) MBA Master of Business Administration — магистр экономики управления. — Прим. ред.