Математическое моделирование в системах управления

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение высшего образования 
«Казанский национальный исследовательский 
технологический университет» 

М. Л. Шустрова, Н. А. Староверова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ В СИСТЕМАХ 
УПРАВЛЕНИЯ

Учебно-методическое пособие 

Казань 
Издательство КНИТУ 
2019 

УДК 004.451.7(075) 
ББК 32.97я7

Ш97

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты: 
канд. техн. наук Ю. Н. Зацаринная 
канд. техн. наук С. А. Терентьев 

Ш97 

Шустрова М. Л. 
Математическое моделирование в системах управления : учебно-методическое пособие / М. Л. Шустрова, Н. А. Староверова; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во 
КНИТУ, 2019. – 128 с. 

ISBN 978-5-7882-2742-9

Рассмотрены основные вопросы математического моделирования стохастических и детерминированных процессов на основании эмпирических 
данных, а также формирования аналитических математических моделей. Приведены примеры построения математических моделей и задачи для самостоятельного решения. 
Предназначено для бакалавров направления подготовки 27.03.04 
«Управление в технических системах» и магистрантов направления подготовки 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника». 
Подготовлено на кафедре автоматизированных систем сбора и обработки информации. 

ISBN 978-5-7882-2742-9
© Шустрова М. Л., Староверова Н. А., 2019
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 004.451.7(075) 
ББК 32.97я7

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение .......................................................................................................... 4 
Глава 1. Основные сведения о математическом моделировании ....... 5 
1.1. Основные понятия и определения .......................................................... 5 
1.2. Основные положения системного анализа .......................................... 10 
1.3. Классификация процессов ..................................................................... 11 
1.4. Классификация математических моделей ........................................... 12 
1.5. Этапы построения математической модели процесса ........................ 15 
1.6. Программное обеспечение математического моделирования ........... 18 
Глава 2. Методы построения эмпирических математических 
моделей .......................................................................................................... 20 
2.1. Математическое моделирование стохастических процессов ............ 20 
2.2. Пример расчета статистической модели стохастической 
величины ........................................................................................................ 30 
2.3. Определение уравнения регрессии от одного параметра ................... 32 
2.4. Функции Matlab и Scilab для автоматизации поиска уравнения 
регрессии ........................................................................................................ 44 
Глава 3. Аналитические математические модели ................................ 48 
3.1. Особенности построения аналитических моделей ............................. 48 
3.2. Построение математической модели теплообменного аппарата ...... 50 
3.3. Построение модели пневматической камеры ...................................... 58 
Практическая часть .................................................................................... 71 
Лабораторная работа 1. Основы работы в Matlab и Scilab ........................ 71 
Лабораторная работа 2. Построение статистической модели с 
применением Matlab и Scilab ....................................................................... 91 
Лабораторная работа 3. Построение регрессионной модели 
термоэлектрического преобразователя ....................................................... 94 
Лабораторная работа 4. Математическая модель САР уровня ................. 99 
Лабораторная работа 5. Моделирование теплообменного аппарата ..... 102 
Лабораторная работа 6. Моделирование пневматической камеры ........ 104 
Задачи для самостоятельного решения ................................................ 106 
Библиографический список .................................................................... 116 
Приложения ................................................................................................ 117 
Критические значения Критерия Стьюдента ........................................... 117 
Значения критерия Кохрена ....................................................................... 120 
Значения критерия Фишера ........................................................................ 121 

3

ВВЕДЕНИЕ 

Математическое моделирование представляет собой один из подходов к исследованию процессов и систем, при котором эксперимент 
ставится не непосредственно на исследуемом объекте, в на некоем программном продукте, заменяющем объект-прототип. К построению математических моделей прибегают в ряде ситуаций: 
– при невозможности постановки физического эксперимента на
объекте в силу его труднодоступности, существующей опасности для 
экологии, здоровья экспериментатора или  рисков экономических потерь при постановке эксперимента на объекте  
– при создании обучающих тренажерных комплексов для подготовки персонала производства  к работе 
– при решении задач оптимизации процессов
– в процессе проектирования оборудования для расчета оптимальных параметров установок 
При создании математических моделей могут применяться различные подходы и программные комплексы, подразумевающие различный уровень владения математическим аппаратом и программными 
средствами. Данное учебное пособие написано для учащихся, находящихся на начальном этапе изучения математического моделирования и 
призвано помочь приобретению понимания специфики создания моделей стохастических и детерминированных процессов на основе экспериментальных данных и аналитической информации о них. 
В приложениях представлены все необходимые для проведения 
расчетов справочные данные. 
Для закрепления изученного теоретического и практического материала и проверки полученных знаний студентам предлагаются задачи для самостоятельного решения. 

4

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ 
МОДЕЛИРОВАНИИ 

1.1. Основные понятия и определения 

Методология математического моделирования сводится к исследованию свойств объекта посредством изучения свойств математической модели, представляющей собой систему математических уравнений, которая отражает поведение объекта моделирования. Математическая модель дает возможность прогнозировать это поведение при изменяющихся условиях функционирования объекта, в данном случае аналогом эксперимента на модели при физическом моделировании служит вычислительный эксперимент, который проводится на ЭВМ.  
Математическая модель процесса/объекта/системы представляет 
собой совокупность информации о данном объекте, представленную 
в виде математических формул, уравнений, начальных и граничных 
условий, таблиц, графиков, а также математические соотношения для 
описания взаимодействия и взаимосвязей элементов рассматриваемого 
объекта/системы между собой. 
Ввиду того что большинство реальных объектов отличаются 
большой сложностью и высоким числом параметров, имеющих то или 
иное влияние на изучаемые параметры, при написании математических 
моделей принимается система допущений. В ней указываются ограничения, принимаемые в процессе моделирования, исключается ряд параметров, имеющих не существенное влияние на результирующие переменные, и выделяются те параметры, которые имеют существенное 
влияние на результат. 

Математическая модель – совокупность математических выра
жений, уравнений, таблиц и графиков, необходимая и достаточная для 
математического описания объекта моделирования. 
Математический эксперимент – виртуальный эксперимент, заключающийся в изучении процесса посредством математической модели, алгоритмизированной на ЭВМ. 
Фактически постановка математического эксперимента на математической модели какого-либо процесса или явления является альтернативой более затратному физическому исследованию на реальном 
оборудовании. Математическая модель представляет собой формализованное описание на языке математики исследуемого объекта. Таким 
формализованным описанием может быть система линейных, 

5

 

нелинейных или дифференциальных уравнений, система неравенств, 
определенный интеграл, многочлен с неизвестными коэффициентами 
и т. д. Математическая модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними. 
Для физического процесса модель обычно состоит из уравнений, 
описывающих процесс, в эти уравнения в виде коэффициентов входят 
характеристики рабочих сред и аппаратурные параметры, необходимые 
для описания процесса. 
Простая математическая модель – совокупность алгебраических 
формул, по которым явно вычисляются искомые величины. Однако 
чаще всего поведение параметров описывается сложными алгебраическими или дифференциальными уравнениями в частных производных. 
При работе с математическими моделями следует помнить, что 
всякая система состоит из взаимосвязанных и взаимодействующих 
между собой и внешней средой частей и представляет собой единое замкнутое целое. Поэтому для их изучения необходимо принимать системы упрощений и допущений, выделяя значимые и исключая из рассмотрения незначимые параметры, а также применяя методы системного анализа, рассматривая анализируемую систему по схеме «от сложного – к простому».  
Объект моделирования 
Система взаимодействует с внешней средой и может быть количественно оценена через свои входы Х и выходы У (рис. 1.1), т. е. при 
моделировании объект моделирования рассматривается как «черный 
ящик», с набором входов, выходов, действующих на него возмущений 
и методами управления. Математическая модель системы управления 
представляет собой математическое описание данной системы, содержащее уравнения, графики и таблицы, описывающие процессы, протекающие в каждом из ее элементов, а также уравнения взаимосвязи и 
взаимного влияния параметров процессов друг на друга. 
Входами могут быть параметры перерабатываемого сырья, его 
количество, состав, температура и т. д., выходами могут быть количество готового продукта, его свойства, температура и т.п. Для  соответствия выходных переменных заданным значениям на них воздействуют 
при помощи управляющих переменных. 
Примером системы может быть любой регулируемый  химический процесс, протекающий в объекте (например, реакторе), подлежащий управлению (рис. 1.2). Параметры процесса контролируются датчиком D; поступающие от него сигналы усиливаются усилителем У и 

6

далее подаются в преобразователь сигналов П (например, электрические в механические). Преобразованные сигналы воздействуют на 
установку регулятора Р, который выдает сигналы на исполнительный 
механизм (например, клапан на линии ввода сырья или теплоносителя). 

Рис. 1.1. Простейшая структура объекта моделирования 

Рис. 1.2. Типовая структура системы управления 

Таким образом, технологическая система – это достаточно сложный объект, который можно расчленить (провести декомпозицию), на 
составляющие элементы, или подсистемы. Эти элементы информационно связаны друг с другом и с окружающей средой объекта. 
Поэтому для того, чтобы смоделировать систему управления, 
необходимо осуществить моделирование каждого элемента и связей 

7

между ними, а также для проверки работоспособности системы – происходящих в них технологических процессов. При этом переменными 
уравнений математической модели будут параметры процессов, происходящих в элементах системы. 
Большие и малые кибернетические системы 
При моделировании все системы условно делятся на малые и 
большие.  
Малые системы однозначно определяются свойствами процесса, 
который в них протекает, а также особенностями аппаратурного 
оформления и функций. Они  ограничены одним типовым процессом.  
Большие системы представляют совокупность малых, им присущих систем и отличаются от них в количественном и качественном отношениях. 
Большим системам присущи 
1) определенная целостность
2) наличие общих целей и назначения
3) большое число выполняемых и дополнительных функций
4) сложность
5) большие размеры
6) наличие конкурирующих и состязательных тенденций
Иерархическая структура современного предприятия
Любое технологическое производство представляет собой последовательность трех основных операции: подготовки сырья, собственно  химического превращения и выделения целевых продуктов. Эта последовательность операций воплощается в единую сложную химико-технологическую систему (ХТС). Современное химическое предприятие как система большого масштаба состоит из большого числа взаимосвязанных 
подсистем, между ними существует отношения соподчиненности, имеющие иерархическую структуру с тремя основными ступенями (рис. 1.3). 
Первую низшую степень иерархической структуры химического 
предприятия образуют типовые процессы химической технологии (механические, гидродинамические, тепловые, химические и т.п.) в определенном аппаратурном оформлении и локальные системы управления 
ими. Задача управления этой ступенью сводится к локальной стабилизации технологических параметров типовых процессов. 
Основу второй ступени иерархии химического предприятия составляют агрегаты, комплексы и т. д. Под агрегатом понимают взаимосвязанную совокупность отдельных типовых технологических процессов и аппаратов. 

8

На данной ступени иерархии при управлении подсистемами возникают задачи оптимальной координации работы аппаратов и оптимального распределения нагрузок между ними. 

Рис. 1.3. Иерархия технологического предприятия 

Третья высшая ступень иерархии структуры химического предприятия – это системы организации производства, планирования запасов сырья и реализации готовых продуктов, а также оперативного 
управления совокупностью цехов (АСУП). На этой ступени иерархии 
возникают задачи ситуационного анализа и оптимального управления 
всем предприятием. 
При рассмотрении систем автоматизированного управления существует подобная иерархия: 
– полевое оборудование, призванное осуществлять измерение
технологических параметров на месте осуществлять изменение положения регулирующих органов (т. е. управление типовыми технологическими процессами) 
– управление комплексами
– управление производством
– управление предприятием

9

1.2. Основные положения системного анализа 

Системный анализ – стратегия изучения сложных систем. В качестве метода исследования в нем используется математическое моделирование, а основным принципом является декомпозиция сложной системы на более простые подсистемы. 
Математическая модель строится по блочному принципу: общая 
модель подразделяется на блоки, которым можно дать сравнительно 
простые математические описания. Необходимо отметить, что все подсистемы взаимодействуют между собой  
В основе стратегии системного анализа лежат следующие общие 
положения: 
1. Четкая формулировка цели исследования.
2. Постановка задачи по реализации этой цели и определение
критерия эффективности решения задачи. 
3. Разработка плана исследования.
4. Последовательное продвижение по всем этапам и по всем
направлениям. 
5. Организация последовательных приближений на отдельных
этапах. 
6. Принцип нисходящей иерархии анализа и восходящей иерархии синтеза. 
С позиции системного анализа решаются задачи моделирования, 
оптимизации, управления и оптимального управления любыми процессами. Любую технологическую цепочку можно разделить на определенное число типовых технологических звеньев, соответствующих типовым процессам технологии.  
Применение стратегии системного анализа для расчета сложных 
процессов позволяет использовать блочный принцип. Таким образом, 
любая системы может быть изучена по принципу «от простого к сложному». Сначала выделяются и анализируются простейшие элементы 
системы – своеобразные составляющие ее кирпичики, затем, с учетом 
присущих этим кирпичикам взаимосвязи – более крупные элементы архитектуры системы, которые так же взаимосвязаны друг с другом и все 
вместе составляют еще более крупное целостное объединение. 
Так, при рассмотрении химического процесса, протекающего 
в реакторе, можно выделить пять блоков. Вначале исследуют гидродинамику процесса и структуру потоков, далее добавляется влияние переноса тепла и вещества и, наконец, химическая кинетика; на 

10