Цифровая технология тестового контроля по высшей математике. Часть 1

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования 
«Казанский национальный исследовательский 
технологический университет» 

А. Р. Хузиахметова, Р. Н. Зарипов, Р. Н. Хузиахметова 

ЦИФРОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ  
ТЕСТОВОГО КОНТРОЛЯ 
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 

Часть 1 

Практикум 

Казань 
Издательство КНИТУ 
2020 

УДК 517(075) 
ББК 22.11я7

Х98

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты: 
канд. техн. наук, доц. Л. А. Александрова 
канд. пед. наук, доц. Д. А. Чалдаева 

Х98 

Хузиахметова А. Р. 
Цифровая технология тестового контроля по высшей математике : 
в 2 ч. Ч. 1 : практикум / А. Р. Хузиахметова, Р. Н. Зарипов, 
Р. Н. Хузиахметова; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. тех-
нол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2020. – 84 с. 

ISBN 978-5-7882-2945-4 
ISBN 978-5-7882-2946-1 (ч. 1)

Содержит тестовые задания на полноту усвоения материала по линейной 
и векторной алгебре, аналитической геометрии, дифференциальному 
исчислению функции одной и нескольких переменных. 
Адресован студентам, изучающим дисциплину «Математика». 
Подготовлен на кафедре высшей математики. 

ISBN 978-5-7882-2946-1 (ч. 1) 
ISBN 978-5-7882-2945-4

© Хузиахметова А. Р., Зарипов Р. Н., 

Хузиахметова Р. Н., 2020

© Казанский национальный 
исследовательский технологический 
университет, 2020

УДК 517(075) 
ББК 22.11я7

2 

ВВЕДЕНИЕ 

Основной целью образовательной системы является освоение 
требуемого перечня компетенций в рамках определенного направления 
подготовки и профиля выбранной специальности. В метрическом ком-
петентностном формате компетенции формируют направления потоков 
проблем, для решения которых должны быть развиты ключевые спо-
собности студента:  
− формализационные;
− конструктивные;
− исполнительские.
Один из показателей освоенности компетенций − полнота и це-
лостность усвоенных знаний. 
Данный практикум содержит тестовые задания на знание теорети-
ческого материала (информационная полнота) по линейной и векторной 
алгебре, аналитической геометрии, а также элементам математического 
анализа для функций одной и нескольких переменных. Каждый раздел 
сопровождается самостоятельной работой, а тема в целом − итоговой 
контрольной работой с указанием трудоемкости каждого задания. 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Матрицы 

1. Матрица размерности m´n – это:
1) таблица чисел с m столбцами и n строками;
2) таблица чисел с n столбцами и m строками;
3) сумма m∙n чисел;
4) вектор длины m∙n.

2. Две матрицы равны, если:
1) равны их соответствующие элементы;
2) размерности данных матриц равны;
3) произведение первой матрицы на матрицу, обратную второй, равно
единичной матрице;
4) равны размерности данных матриц и их соответствующие эле-
менты.

3. Для нахождения произведения двух матриц необходимо выпол-
нение следующего условия: 
1) размерности матриц должны быть одинаковы;
2) число строк обеих матриц должно быть одинаково;
3) количество столбцов матрицы – первого множителя должно быть
равно числу строк матрицы – второго множителя;
4) количество строк матрицы – первого множителя должно быть равно
числу столбцов матрицы – второго множителя.

4. Единичная матрица Е обладает свойством:
1) АЕ = ЕА ≠ А;
2) АЕ ≠ ЕА;
3) ААТ = 2Е;
4) АЕ = ЕА = A.

5. Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого, что
их можно: 
1) умножать;
2) вычитать;
3) произведение данных матриц коммутативно;
4) матрицы равны.

6. К элементарным не относится следующее преобразование мат-
рицы: 
1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2) умножение строки матрицы на некоторое число k≠0;
3) умножение столбца матрицы на некоторое число k≠0;
4) замена одного столбца матрицы соответствующей строкой.

7. Две матрицы называются эквивалентными, если:
1) одна из них может быть получена из другой с помощью элементар-
ных преобразований;
2) произведение матриц равно 1;
3) одна из них может быть получена умножением любого столбца дру-
гой матрицы на некоторое число k≠0;
4) одна из них может быть получена транспонированием другой.

8. Ранг матрицы − это:
1) максимальный порядок ее ненулевого минора;
2) число полностью нулевых строк преобразованной матрицы;
3) число полностью нулевых столбцов преобразованной матрицы;
4) число нулевых элементов преобразованной матрицы.

9. Матрица имеет обратную, если она:
1) квадратная;
2) невырожденная;
3) квадратная и невырожденная;
4) вырожденная.

10. Матрицы не обладают следующим свойством:
1) А + В = В + А;
2) А + (В + С) = (А + В) + С;
3) А(В + С) = АВ + АС;
4) АВС = − ВАС.

Самостоятельная работа

1. Найти А−2В:  А =
, В =
. 

5
3
4
6
2
5
4
7
3

-
æ
ö
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
-
è
ø

3
2
5
4
1
3
7
6
5

æ
ö
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
è
ø

2. Найти произведение матриц АВ: 
 

A =
, B = 
. 

 

 3. Найти значение матричного многочлена f(A): 

f(x) = −3х2 +5х + 1, A =
 

 

 4. Привести матрицу А к ступенчатому виду: 

A =
.       

 

 5. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра 
: 

. 

 

АВС-трудоемкость задач 

 

 

 

 
 

 

 
 
 

 

 

1.2. Определители 

 

 1. Определитель − это: 

1) таблица чисел;  
2) матрица;  
3) число; 
4) вектор. 

1
2
1

3
0
1

æ
ö

ç
÷
è
ø

1
0

2
3

3
1

æ
ö

ç
÷

ç
÷
ç
÷
è
ø

.
1
3

2
1

÷÷
ø

ö

çç
è

æ-

÷
÷
÷

ø

ö

ç
ç
ç

è

æ

-

-

-

1
5
2

3
1
1

5
1
2

l

÷
÷
÷

ø

ö

ç
ç
ç

è

æ

-

-

-

1
6
10
1

5
1
2

2
1
1

l

l

Номер
задачи

Трудоемкость,

(мин/раб.)

1
2

2
2

3
5

4
3

5
6

Сумма
18

2. Определитель существует только для матриц: 

1) прямоугольных;  
2) квадратных;  
3) матрицы − столбца;  
4) матрицы − строки. 

 

 3. Минор Mij элемента аij определителя − это: 

1) определитель, полученный из данного удалением i-й строки и j-го 
столбца; 
2) определитель, полученный из данного удалением j-й строки и i-го 
столбца; 
3) определитель, полученный из данного удалением i-й строки; 
4) определитель, полученный из данного удалением j-го столбца. 
 

 4. Алгебраическое дополнение Aij элемента аij определителя − это: 

1) определитель вида (–1)i+j Мij; 
2) определитель вида (–1)i−j Мij; 
3) число, равное (–1)i+j аij∙ Мij;  
4) число, равное аij∙ Мij. 

 
 5. При транспонировании величина определителя: 

1) удваивается; 
2) меняет свой знак; 
3) не меняется;  
4) равна единице. 

 
 6. Определитель не равен нулю, если: 

1) соответствующие элементы двух строк или столбцов пропорциональны;  
2) определитель имеет две одинаковые строки (столбца); 
3) какая-либо строка (столбец) определителя полностью состоит из ну-
левых элементов;  
4) общий множитель элементов первого столбца равен общему множи-
телю элементов первой строки. 

  
 7. При перестановке двух строк или столбцов определителя его ве-

личина: 
1) не меняется;  
2) удваивается; 
3) меняет свой знак;  
4) равна нулю.  

8. Если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответ-

ствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и 
то же число k≠0, то величина определителя: 
1) удвоится; 
2) не изменится; 
3) изменит свой знак; 
4) будет равна нулю. 
 

 9. Если общий множитель k элементов некоторой строки (столбца) 

вынести за знак определителя, то величина определителя: 
1) увеличится в k раз; 
2) не изменится; 
3) уменьшится в k раз; 
4) увеличится на величину k. 
 

 10. Определитель равен: 

1) сумме произведений элементов i-ой строки на их алгебраические до-
полнения;  
2) сумме произведений элементов i-ой строки на алгебраические допол-
нения элементов i+1-ой строки; 
3) сумме произведений элементов j-ого столбца на алгебраические до-
полнения элементов другого столбца; 
4) сумме всех его элементов.  

 
Самостоятельная работа 
 
1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по пер-

вой строке: 

. 

 

 2. Упростить и вычислить определитель четвертого порядка:  

. 

1
2
3

1
1
0

3
1
2

-

-

-

1
3
2
3

2
4
1
3

3
5
2
3

2
8
3
9

-
-
-

3. Решить уравнение 

 = 0.   

 

 4. Вычислить, используя свойства определителей: 

 

 

АВС-трудоемкость задач 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений 

 

 1. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называ-

ется совместной, если она: 
1) имеет только одно решение; 
2) имеет хотя бы одно решение;  
3) не имеет решение; 
4) имеет только нулевое решение. 
 

 2. Совместная СЛАУ называется определенной, если она: 

1) имеет только одно решение; 
2) имеет хотя бы одно решение;  
3) не имеет решение; 
4) имеет только нулевое решение. 

 

0
3
1

1
2
2

1
4
2

-
-

-
+

х

х

c
c
c

b
b
b

a
a
a

2
cos
cos
sin

2
cos
cos
sin

2
cos
cos
sin

2
2

2
2

2
2

Номер 
задачи 

Трудоемкость, 

 (мин/раб.) 

1
1

2 
3 

3 
3 

4 
3 

Сумма 
10 

3. Две СЛАУ из m уравнений с n неизвестными равносильны (эквивалентны), 
если: 
1) они имеют одни и те же решения; 
2) m = n+1; 
3) m = n; 
4) m<n. 
 

 4. Система не является эквивалентной данной, если: 

1) переставить местами уравнения системы;  
2) умножить обе части уравнения системы на любое число 
≠ 0; 

3) прибавить к любому уравнению системы другое уравнение системы, 
предварительно умноженное на любое число 
≠ 0; 

4) свободные члены системы умножить на любое число 
≠ 0. 

 

 5. Основная матрица системы − матрица: 

1) составлена из коэффициентов при неизвестных; 
2) матрица − столбец неизвестных;  
3) матрица − столбец свободных членов; 
4) единичная матрица.  

 
 6. Метод Крамера решения СЛАУ не используется, если: 

1) основная матрица системы − квадратная; 
2) определитель системы отличен от нуля; 
3) определитель системы равен нулю; 
4) число уравнений системы совпадает с количеством неизвестных. 

 
 7. СЛАУ совместна, если: 

1) ранг основной матрицы равен рангу расширенной; 
2) ранг основной матрицы меньше ранга расширенной; 
3) ранг основной матрицы больше ранга расширенной; 
4) ранг расширенной матрицы равен нулю. 
 

 8. Может ли матричное уравнение АХ = В иметь: 

1) одно решение; 
2) два решения; 
3) бесконечное множество решений; 
4) ни одного решения. 

l

l

l