Расчет тонкостенных и трехмерных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

Ф. С. Хайруллин, О. М. Сахбиев

РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ 

И ТРЕХМЕРНЫХ 

КОНСТРУКЦИЙ СЛОЖНОЙ 

ФОРМЫ НА ОСНОВЕ 

АППРОКСИМИРУЮЩИХ 

ФУНКЦИЙ С КОНЕЧНЫМИ 

НОСИТЕЛЯМИ

Монография

Казань

Издательство КНИТУ

2020

УДК 624.07–415 
ББК 38.112

Х12

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. Р. А. Каюмов

д-р техн. наук, проф. Ю. В. Клочков

Х12

Хайруллин Ф. С.
Расчет тонкостенных и трехмерных конструкций сложной формы на 
основе аппроксимирующих функций с конечными носителями : мо-
нография / Ф. С. Хайруллин, О. М. Сахбиев; Минобрнауки России, 
Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2020. –
196 с.

ISBN 978-5-7882-2959-1

Представлены результаты исследований в области статического расчета 

тонкостенных и трехмерных конструкций сложной формы. Предложены ме-
тоды построения аппроксимирующих функций с конечными носителями для 
двухмерных и трехмерных подобластей, которые позволяют производить рас-
четы тонких оболочек и трехмерных тел сложной формы.

Предназначена для научных и инженерно-технических работников, ас-

пирантов, магистров и студентов старших курсов, занимающихся вопросами 
применения вариационных и численных методов при расчете трехмерных кон-
струкций, тонкостенных конструкций, стержневых систем.

Подготовлена на кафедре теоретической механики и сопротивления ма-

териалов.

ISBN 978-5-7882-2959-1
© Хайруллин Ф. С., Сахбиев О. М., 2020
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2020

УДК 624.07–415 
ББК 38.112

О г л а в л е н и е

Предисловие ...........................................................................................................5

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО 
СОСТОЯНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И СТЕРЖНЕЙ .....................................11

1.1. Основные соотношения теории тонких оболочек..................................11

1.2. Аппроксимирующие функции с конечными носителями для 
четырехугольных подобластей .......................................................................14

1.3. Аппроксимирующие функции с конечными носителями для 
треугольных подобластей................................................................................19

1.4. Вариационный метод расчета тонких оболочек сложной формы 
в плане...............................................................................................................22

1.5. Определяющие уравнения для стержней. ...............................................27

1.6. Вариационный метод расчета стержневых систем ................................32

1.7. Построение матрицы жесткости конструкции .......................................35

1.8. Об особенностях численной реализации задачи ....................................38

2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ........44

2.1. Исходные соотношения............................................................................44

2.2. Параметризация граничных линий оболочки.........................................48

2.3. Построение сглаживающей функции двух переменных .......................57

2.4. Численные результаты..............................................................................64

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 
СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ .....................................74

3.1. Определение напряженно-деформированного состояния составных 
оболочек............................................................................................................75

3.2. Основные соотношения для ребер жесткости ........................................79

3.3. Расчет тонких оболочек с ребрами жесткости........................................84

3.4. Определение  напряженно-деформированного состояния оболочечно-
стержневых конструкций ................................................................................89

3.5. Расчет стержневых систем, несущих тонкостенные перекрытия .........93

3.6. Расчет рамной конструкции, имеющей двухстороннюю обшивку ......97

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ..........................................................................102

4.1. Пластины и оболочки канонической и сложной формы в плане........102

4.2. Составные оболочки ...............................................................................114

4.3. Расчет тонкостенных  конструкций с вмятинами ................................118

4.4. Результаты расчетов стержневых систем..............................................124

4.5. Оболочки с вырождающейся областью.................................................128

4.6. Численный метод определения обобщенных жесткостных 
характеристик сотового поликарбоната.......................................................133

4.7. Оболочечно-стержневые конструкции..................................................139

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ  НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО 
СОСТОЯНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ..........................................147

5.1. Основные соотношения теории упругости в криволинейной 
системе координат..........................................................................................147

5.2. Построение аппроксимирующих функций 
для трехмерных подобластей........................................................................149

5.3. Вариационный метод расчета трехмерных конструкций сложной 
формы..............................................................................................................159

5.4. Особенности численной реализации .....................................................162

5.5. Результаты расчетов................................................................................167

Список литературы ............................................................................................183

П р е д и с л о в и е

Тонкостенные конструкции в настоящее время являются одними 

из наиболее распространенных элементов конструкций, применяемых 
в современной технике. По всей видимости, ни одна область человеческой 
деятельности, связанная с научно-техническим прогрессом или с 
бытовой жизнью человека, не обходится без соприкосновения с такими 
объектами, как пластинчатые, оболочечные или стержневые элементы. 
Это связано с тем, что благодаря своей конфигурации такие элементы 
являются, с одной стороны, довольно прочными и жесткими, с другой 
стороны, достаточно легкими и экономичными, что делает их в конеч-
ном итоге эффективными. Если в начальный период вопросы расчета и 
использования тонких пластин и оболочек были связаны с потребно-
стями строительства, то в настоящее время наиболее сложные задачи в 
этой области возникают в связи с потребностями таких областей про-
мышленности, как машиностроение, авиационная и космическая тех-
ника, автомобилестроение и медицина.

Однако реальные объекты, кроме тонкостенных конструкций,

обычно содержат и элементы, имеющие явно выраженный трехмерный 
характер. В этом случае для их расчетов необходимо использовать 
трехмерную теорию упругости и соответствующие методы решения за-
дач. Трехмерные уравнения теории упругости без использования упро-
щающих гипотез используются также для расчета тонких оболочек.

Разрешающие уравнения теории тонкостенных конструкций явля-

ется достаточно сложными, особенно при определении напряженно-де-
формированного состояния конструкций сложной формы. Аналитические 
решения можно получить только для некоторых видов конструкций при 
простейших случаях нагружения. Поэтому для решения прикладных задач 
используются в основном приближенные или численные методы. 

В последние десятилетия при решении задач механики деформи-

руемого твердого тела наибольшее развитие и распространение полу-
чил метод конечных элементов (МКЭ), который сочетает универсаль-
ность и эффективность с простотой и удобством при численной реали-
зации задачи. Фундаментальным исследованиям по МКЭ и вопросам 
численной реализации метода посвящено большое количество работ, в 
частности [8, 26, 29, 30, 38, 39, 67, 80, 88, 96, 98, 106]. 

Одним из универсальных численных методов расчета некоторых 

видов конструкций является метод конечных разностей (МКР). 

При использовании этого метода исследуемая область разбивается на пря-
моугольные подобласти, в пределах которых производные от искомых 
функций заменяются разностными отношениями. По данной теме опубли-
ковано довольно много работ. Некоторые проблемы построения и реше-
ния разностных схем рассмотрены в работах [6, 9, 22, 34, 47, 55, 63, 105].

В достаточно общей постановке вопросы расчета оболочек слож-

ной геометрии исследовались в работах [50, 70–72]. В этих работах для 
оболочек неканонической формы и неканонических очертаний пара-
метризация срединных поверхностей производилась на основе теории 
конечных деформаций поверхностей.

К одним из первых численных методов расчета тонкостенных 

конструкций относятся методы коллокации, в которых неизвестные па-
раметры, определяющие искомые функции, находятся из условия удо-
влетворения исходных уравнений в заданной системе точек. Начиная с 
первых публикаций [47, 48] методы коллокации успешно использова-
лись при решении задач расчета пластин и оболочек сложной формы, в 
том числе в работах [16, 33, 89, 90, 105].

Другим эффективным методом расчета пластин и оболочек слож-

ной формы является метод граничных элементов (МГЭ), в основе кото-
рого лежит известный в задачах математической физики метод потен-
циалов. В отличие от метода конечных элементов, в МГЭ дискретиза-
ции подлежат лишь границы рассматриваемых объектов и задача сво-
дится к решению граничных интегральных уравнений. По теоретиче-
ским основам метода и вопросам его практического применения име-
ются многочисленные публикации, в том числе монографии [4, 10, 14, 
15, 20, 45, 54, 56, 104, 111].

Также можно отметить следующие методы расчета оболочек 

сложной формы. В работах [61, 93–94] предлагается постановка задачи 
и метод расчета оболочек с резными срединными поверхностями. Интегрально-
проекционный метод для решения задач расчета оболочек 
используется в работах [74, 83, 95]. Возможность использования для 
определения деформаций оболочек соотношений из теории пластин показана 
в работах [100–101].

Расчет конструкций, составленных из нескольких видов оболочек 
или пластин, т. е. составных конструкций, производится в основном 
вариационными или численными методами, в частности методом конечных 
элементов или методом суперэлементов. Вопросы постановки 
и численной реализации данных задач рассмотрены, например, в монографиях [
17, 60, 62, 81]. 

Методы решения задач механики деформируемого твердого тела, 

основанные на использовании вариационных принципов [1, 19], называются 
вариационными. К ним относятся метод Ритца, метод Бубнова–
Галеркина, вариационно-разностные методы, метод конечных элементов 
в вариационной постановке и др. При их использовании возникает 
вопрос выбора аппроксимирующих функций, которые должны обладать 
определенными свойствами и удовлетворять определенным условиям. 
Например, при использовании вариационного уравнения Ла-
гранжа, построенного на основе уравнений теории оболочек типа Тимошенко, 
аппроксимирующие решение функции должны обладать 
гладкостью класса С(0), составлять полную систему функций и удовлетворять 
геометрическим граничным условиям. Если оболочка имеет 
сложную форму, то выбор таких функций вызывает определенные 
трудности. Одним из методов построения аппроксимирующих функций 
является метод R-функций В. Л. Рвачева [84–86]. 

Опубликовано довольно много работ, посвященных построению 

аппроксимирующих функций и использованию этих функций для решения 
задач расчета оболочек сложной формы. В дополнение к тем методам, 
которые касались этой темы и изложены выше, можно отметить 
работы [58, 59, 87, 143, 144].

В настоящее время разработано достаточно много конечных 

элементов на основе трехмерных соотношений теории упругости. 
В некоторых из них используются аппроксимации высокого порядка. 
Например, в работе [147] предлагается целое семейство трех-
мерных конечных элементов высокой степени аппроксимации. 
В указанной работе даются алгоритмы построения тетраэдральных, 
призматических и параллелепипедных конечных элементов. В каче-
стве аппроксимации используются полиномы Лежандра и полиномы 
Якоби произвольного порядка.

В работах [133, 134] представлены трехмерные конечные эле-

менты в виде параллелепипеда, в которых в роли аппроксимирующих 
функций выступает Эрмитовый трехмерный кубический сплайн.

Некоторые из объемных конечных элементов, используемых для 

расчета оболочек, как, например, в работах [11, 28, 36, 42–44], представ-
лены в формулировке МКЭ без использования упрощающих гипотез о не-
деформировании нормали.

При решении задач расчета оболочек сложной геометрии могут 

возникнуть вопросы численной параметризации срединной поверхно-
сти и граничных линий оболочек. Причем аппроксимация радиуса-

вектора r срединной поверхности оболочки должна производиться с до-
статочно большой точностью. Как показывают численные экспери-
менты, возможная осцилляция даже во вторых производных от r может 
привести к большим погрешностям в решении задачи, так как эти про-
изводные определяют радиусы кривизны оболочки. Среди основных 
аналитических и численных методов параметризации срединной по-
верхности оболочек сложной формы можно выделить следующие: ме-
тод деформации поверхности отсчета; использование кубических и 
других сплайн-аппроксимаций; использование метода конечных разно-
стей и метода конечных элементов; использование сглаживающей ап-
проксимации и т. д. Эти и другие методы параметризации поверхностей 
и кривых рассмотрены в монографиях [25, 32, 37, 49, 58, 91, 114, 135].

Анализ приведенных методов расчета показывает, что, хотя и су-

ществуют различные методы расчета тонкостенных конструкций слож-
ной формы, однако универсального метода, применимого для любого 
случая, нет. Каждый из этих методов имеет свои положительные и от-
рицательные стороны, применим для определенных задач. Даже такой 
универсальный метод, как метод конечных элементов, имеет свои не-
достатки. Как отмечено в монографии А. И. Голованова и соавторов 
[31], несмотря на большое количество работ по методу конечных эле-
ментов и большое количество предложенных в этих работах конечных 
элементов, «лишь ограниченное количество их действительно эффек-
тивно в расчетах тонких непологих оболочек».  

В работе Эдельмана, Казаринеса, Уолтона [131] исследуется вли-

яние порядка аппроксимирующей функции на точность решения. 
На конкретных примерах показывается, что использование высокоточ-
ных конечных элементов, использующих полиномы высокого порядка, 
позволяет на малом количестве элементов получить более точные ре-
зультаты при меньших размерах матрицы жесткости, по сравнению с 
применением большого числа более простых конечных элементов. Од-
нако при использовании функций высокой степени аппроксимации в 
узловых точках требуется задавать производные высоких порядков, 
например, производные второго порядка. Это приводит к усложнению 
формулировки и выполнения граничных условий, а при расчете состав-
ных оболочек создает проблемы с выполнением условий сопряжения 
на изломе срединной поверхности оболочки. 

При численной параметризации срединной поверхности обо-

лочки аппроксимирующая функция должна удовлетворять определен-
ным требованиям гладкости функции. Например, если используется 

классическая теория оболочек, то необходимо обеспечить непрерыв-
ность функции класса С(2). Такого рода непрерывность могут обеспе-
чить кубические сплайн аппроксимации. Однако в этом случае необхо-
димо задавать значения производных в узловых точках, что сделать с 
достаточной точностью не очень просто, а в некоторых случаях вообще 
невозможно. 

В первой главе предлагается метод построения аппроксимирую-

щих функций с конечными носителями иерархического типа. Отличи-
тельная особенность метода заключается в том, что в пределах некото-
рой криволинейной четырехугольной или треугольной подобласти обо-
лочки в аппроксимирующих функциях путем соответствующего преоб-
разования системы координат и выбора этих функций разделяются па-
раметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее 
границах. Причем аппроксимирующие функции на границах области 
являются инвариантными величинами относительно преобразования 
системы координат. Это позволяет выполнять кинематические условия 
стыковки этих подобластей и удовлетворять геометрическим гранич-
ным условиям.

Для определения напряженно-деформированного состояния тон-

ких оболочек используются теория оболочек типа Тимошенко и вариа-
ционный принцип Лагранжа, на основе которых с использованием 
предложенных аппроксимирующих функций строятся методы решения 
задач для оболочек сложной формы в плане, а также составных оболо-
чек. Рассматриваются вопросы построения матрицы жесткости кон-
струкции, особенности численной реализации задачи.   

Во второй главе излагаются алгоритмы построения аппроксими-

рующих сглаживающих функций, которые используются для описания 
линий и поверхностей, заданных совокупностью точек.

Для построения сглаживающих функций предлагается использо-

вать функционал, в котором с механической точки зрения в основе 
условия изгибания поверхности лежит теория оболочек типа Тимо-
шенко. Это приводит к уменьшению порядка производных в функцио-
нале. В качестве сглаживающих функций берутся функции, предложен-
ные в предыдущей главе для аппроксимации компонентов перемеще-
ний оболочек.

В третьей главе показывается возможность использования пред-

ложенного в первой главе метода расчета тонких оболочек и стержней 
для моделирования напряженно-деформированного состояния состав-
ных тонкостенных конструкций, элементами которых являются 

оболочки и стержни. Рассматриваются методы расчета составных оболочек, 
оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, оболочечно-
стержневых конструкций. В связи с использованием единого подхода и 
одинаковых функций форм для расчета оболочек и стержней оказывается 
возможным довольно простое соединение разных оболочек друг с 
другом, оболочек с ребрами жесткости, оболочек и стержней. 

Предложенный метод позволяет также при решении сложных задач 
создавать элементы типа суперэлементов, в которых определенная 
часть степеней свободы исключается при формировании глобальной 
матрицы жесткости конструкции, что приводит к значительному 
уменьшению порядка окончательной системы уравнений. 

В четвертой главе приводятся примеры решения конкретных задач. 
Проводится сравнение с решениями других авторов. На численных 
примерах доказывается достоверность полученных результатов и эффективность 
рассмотренного в работе метода. Показываются основные 
возможности данного метода. 

В пятой главе дается алгоритм построения аппроксимирующих 

функций с конечными носителями иерархического типа для трехмер-
ных подобластей в виде шестигранников с гладкими криволинейными 
гранями. На основе предложенных функций разрабатывается вариационный 
метод определения напряженно-деформированного состояния 
трехмерных конструкций сложной формы. Показывается, что данный 
метод можно использовать также для расчета тонкостенных конструкций 
и стержневых систем. 

1 . О П Р Е Д Е Л Е Н И Е  

Н А П Р Я Ж Е Н Н О - Д Е Ф О Р М И Р О В А Н Н О Г О  

С О С Т О Я Н И Я  Т О Н К И Х  О Б О Л О Ч Е К  И  С Т Е Р Ж Н Е Й  

В данной главе приводятся определяющие уравнения теории тонких 
оболочек типа Тимошенко. Дается алгоритм задания аппроксимирующих 
функций с конечными носителями иерархического типа для 
четырехугольных и треугольных подобластей, на основе которых строится 
вариационный метод расчета тонких оболочек сложной формы в 
плане, а также составных оболочек. Данный метод используется для 
определения напряженно-деформированного состояния тонких стержней. 
Показываются порядок формирования матрицы жесткости конструкций 
и особенности численной реализации задачи.

1 . 1 .
О с н о в н ы е  с о о т н о ш е н и я  т е о р и и  т о н к и х  

о б о л о ч е к

Рассмотрим деформирование тонкой оболочки, срединная поверхность 
которой имеет сложную форму в плане. Пусть срединная поверхность 
оболочки задана в гауссовой ортогональной системе координат в линиях 
главной кривизны. Предполагается, что перемещения и деформации 
малы, материал оболочек изотропен, справедлив закон Гука. 

Для определения напряженно-деформированного состояния оболочек 
используются соотношения теории оболочек типа Тимошенко 
без учета обжатия поперечных слоев [24, 75], на основании которых перемещения 
произвольной точки оболочки представляются в виде

(
)
(
),
,
,
2
1
2
2
1
1
1






+
= u
U

(
)
(
),
,
,
2
1
1
2
1
2
2






−
= u
U

(
),
,
2
1
3


w
U =

где 
3
2
1
,
,
U
U
U
– компоненты перемещения произвольной точки оболочки; 

2
1
2
1
,
,
,
,


w
u
u
– компоненты перемещения  и углов сдвига срединной 
поверхности оболочки; 



,
,
2
1
– ортогональная криволинейная 
система координат, связанная со срединной поверхностью оболочки;  – 
координата, направленная по нормали к оболочке.

Деформации тонкой оболочки определяются через перемещения 

по формулам

,
,
2
2
2
1
1
1






+
=
+
=
e
e

.
,
,
23
23
13
13
12
12
12








=
=
+
=
(1.1.1)

Здесь 

,
1
1
2

1

2
1

2

1

1

1
1
w
k
A
A
A
u
u
A
+


+


=



,
1
2
1

2

2
1

1

2

2

2
2
w
k
A
A
A
u
u
A
+


+


=




,
2

2

1
1

2

1

1

2
2

1
12










+










=
A
u
A
A
A
u
A
A




,
1
1
1
1
1
2
13
u
k
w
A
−


+
=



,
1
2
2
2
2
1
23
u
k
w
A
−


+
−
=



(1.1.2)

,
1

2

1

2
1

1

1

2

1
1







−


=
A
A
A
A
,
1

1

2

2
1

2

2

1

2
2







+


−
=
A
A
A
A

+










−


+










−










=
1

2

2
1

2

2

1

2
1
2

1

1
1

2

1

2

2
2

1
12
1







A
A
A
u
u
A
k
A
A
A
A
A
A

,
1

2

1

2
1

1

1

2

1
2










−


+


A
A
A
u
u
A
k

23
13
12
2
1
,
,
,
,



e
e
– компоненты деформации произвольной точки оболочки; 

12
2
1
23
13
12
2
1
,
,
,
,
,
,
,








– компоненты деформации срединной 
поверхности; 
2
1
2
1
,
,
,
k
k
A
A
– коэффициенты первой квадратичной 

формы и главные кривизны срединной поверхности оболочки.

Формулы для вычисления усилий и моментов в оболочке имеют вид

(
)
(
)
,
1
2
1
,
12
1
1




−
=
+
=
B
S
B
N
j
i
i

(
)
(
)
,
1
2
1
,
12




−
=
+
=
B
H
B
M
j
i
i
(1.1.3)

(
)
,
,2,1
,
1
2
1
3
1
i
j
i
B
k
Q
i
i

=
−
=



где 
S
N
N
,
,
2
1
– усилия; 
H
M
M
,
,
2
1
– изгибающие и крутящий моменты; 

2
1,Q
Q
– поперечные силы; 
(
)
2

3

2
1
1
12
,
1


−
=
−
=
Eh
B
Eh
B
– мембранная и 

изгибная жесткости оболочки; 
,
E
–
соответственно модуль