Теоретическая механика. Контрольные задания

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Контрольные задания

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2020

УДК 531(076)
ББК 22.21я7

Г93

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. техн. наук, доц. Э. Н. Островская
канд. техн. наук, доц. С. Г. Кондрашева

Г93

Гумерова Х. С.
Теоретическая механика. Контрольные задания : учебно-методическое пособие / Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин; Минобрнауки 
России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 
2020. – 96 с.

ISBN 978-5-7882-2881-5

Представлены материалы для подготовки к контрольным работам по 

теоретической механике. 

Предназначено для студентов механических и технологических специ
альностей всех форм обучения.

Подготовлено на кафедре теоретической механики и сопротивления ма
териалов.

ISBN 978-5-7882-2881-5
© Гумерова Х. С., Сагдатуллин М. К., 2020
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2020

УДК 531(076)
ББК 22.21я7

В в е д е н и е

Теоретическая механика – одна из важнейших физико-математи
ческих дисциплин, предусмотренных учебными планами инженеров 
различных специальностей. На основных законах и принципах теоретической механики базируются многие общеинженерные дисциплины, 
такие как сопротивление материалов, теория машин и механизмов, детали машин и др.

Особое место в предложенном курсе отводится упражнениям 

и контролю усвоения практических навыков. Поскольку решение примеров и задач – один из наиболее эффективных способов оценки уровня 
знаний, поэтому данное пособие рекомендуется для проверки текущей 
успеваемости студентов. 

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для 

аудиторных контрольных работ, предлагаемых студентам технологических и механических специальностей при изучении дисциплины «Теоретическая механика» (разделы «Статика» и «Кинематика»).

В данном пособии приведены основные понятия, законы, уравне
ния и принципы механики, а также задачи, основанные на предлагаемом теоретическом материале. Решение задач, включенных в методическое пособие, не требует особых искусственных приемов или сложных математических преобразований.

1 .  С Т А Т И К А

1 . 1 . О с н о в н ы е  п о н я т и я  и  о п р е д е л е н и я

Основными задачами статики являются: 1) приведение данной 

системы сил к простейшему виду; 2) определение условий равновесия 
систем сил, действующих на твердое тело. 

В зависимости от постановки задачи тело рассматривается с уче
том или без учета его размеров. В последнем случае тело представляют 
в виде материальной точки, которая обладает массой и способностью 
взаимодействовать с другими телами. Тело, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным. В противном случае тело является несвободным. Абсолютно твердое тело – это материальное тело, в котором расстояние 
между двумя любыми точками остается неизменным. В природе, безусловно, таких тел нет, поскольку при действии сил тела изменяют 
свою форму. Однако, например, при определении реакций связей данная гипотеза не вносит существенной погрешности.

Сила является основной мерой механического взаимодействия 

материальных тел. Сила – величина векторная и определяется числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения. Условимся в дальнейшем векторы обозначать черточкой сверху или жир
ным шрифтом. 

За единицу силы в системе СИ прини
мается Ньютон (Н). Сила, величиной 1 Н, 
приложенная к покоящемуся телу массой 
1 кг, вызывает движение тела с ускорением 
1 м/с2. Линия, по которой направлена сила, 
называется линией действия силы (рис. 1.1). 

Совокупность нескольких сил, дей
ствующих на данное тело или систему тел, 
называется системой сил. Если линии дей
ствия всех сил лежат в одной плоскости, то такая система сил называется плоской, а если линии действия сил не лежат в одной плоскости, –
пространственной. Силы, линии действия которых пересекаются 

линия действия 

силы

Рис. 1.1

в данной точке, называются сходящимися, а силы, линии действия которых параллельны друг другу, – параллельными.

Твердое тело может находиться в состоянии покоя или некото
рого движения. Каждое из этих состояний условимся называть кинематическим состоянием тела. Если две системы сил (
)
n
F
F
F
,
...
,
,
2
1

и (
)
m
P
P
P
,
...
,
,
2
1
вызывают у одного и того же тела одинаковое кинема
тическое состояние, то такие две системы сил являются эквивалентными: (
)
n
F
,
...
,
F
,
F
2
1
(
)
m
P
P
P
,
...
,
,
2
1
. Если система сил (
)
n
F
F
F
,
...
,
,
2
1
 R

, то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Систему сил называют уравновешенной, если она, будучи приложенной к 
покоящемуся телу, не изменяет его состояние покоя. Уравновешенная 
система сил эквивалентна нулю: (
)
n
F
F
F
,
...
,
,
2
1
 0.   

Сила, действующая на тело по малой площадке, называется со
средоточенной (условно считают – приложена в точке).

Силы, действующие на части объема, поверхности или линии, 

называются распределенными. Распределенные силы характеризуются 
интенсивностью q , т. е. значением силы, приходящейся на единицу 
объема (в случае объемных сил), на единицу площади (в случае поверхностных сил), на единицу длины (в случае действия сил по линии).

Пример. На брус длиной =
l
10 м действует равномерно распре
деленная сила интенсивности 
=
q
0,2 кН/м (рис. 1.2), т. е. на каждый 

метр длины бруса действует сила 0,2 кН. Определим равнодействующую равномерно распределенной силы, которая приложена посредине 
бруса:

=
= ql
Q
0,2 кН/м · 10 м = 2 кН.

q

l/2
l/2

Рис. 1.2

1 . 2 .  А к с и о м ы  с т а т и к и

Первая аксиома. Система двух равных по величине, но противо
положно направленных сил, приложенных к одному телу, и действующих по одной прямой, эквивалентна нулю. Это утверждение можно записать следующим образом: 
2
1
F
F =
, 
2
1
F
F
−
=
,  
)
,
(
2
1 F
F
 0.  Тело нахо
дится в равновесии (рис. 1.3). 

Вторая аксиома. Механическое состояние тела не изменится, 

если к системе сил добавить или изъять из нее систему сил, эквивалентную нулю. Суть аксиомы в том что, если к телу приложена система 
сил 
)
,...,
,
(
2
1
n
F
F
F
и 
имеется 
уравновешенная 
система 
сил 

)
,...,
,
(
2
1
m
P
P
P
0 , то  
)
,...,
,
(
2
1
n
F
F
F

)
,...,
,
,
,...,
,
(
2
1
2
1
m
n
P
P
P
F
F
F
.

Следствие аксиом 1 и 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого 

тела, точку приложения силы можно переносить по ее линии действия.

Доказательство. Пусть сила F приложена в точке А твердого тела 

(рис. 1.4). Приложим уравновешенную систему сил (
1F и 
2
F ) в точке В, 

лежащей на линии действия силы F , причем 
2
1
F
F
F
−
=
=
. Очевидно, 

что силы F и 
2
F составляют уравновешенную систему сил и ее можно 

изъять. Тогда F 
)
,
,
(
2
1 F
F
F

1F . Таким образом, силу можно переме
щать по линии ее действия, т. е. она есть вектор скользящий.

Третья аксиома. Всякое действие вызывает равное и прямо про
тивоположное противодействие. Эту аксиому в динамике называют 
третьим законом Ньютона о равенстве действия и противодействия. 

А
В

Рис. 1.3

А

В

А

В

А

Рис. 1.4

B

Рис. 1.5

Допустим, тело S (рис. 1.5) оказывает давление в точке А на тело 

Q силой P . В свою очередь, тело Q действует на тело S в точке А силой 
N . В соответствие с аксиомой силы равны по модулю 
N
P =
, но про
тивоположны по направлению: 
P
N
−
=
. В данном случае силы прило
жены к разным телам, поэтому здесь нельзя применять первую аксиому 
статики.

Силы взаимодействия двух тел направлены по одной линии дей
ствия и могут зависеть от расстояния между ними. Так, например, любая пара молекулы неона находится в постоянном взаимодействии. 
Если расстояние между ними 2,5 Å (1 Å=10–10 м), то возникают силы 
отталкивания. На расстоянии 3,5 Å действуют уже силы притяжения, 
а на расстоянии 5 Å силы взаимодействия практически равны нулю.

Четвертая аксиома. Система двух 

сил 
)
,
(
2
1 F
F
, приложенных в одной точке 

твердого тела, всегда имеет равнодействующую силу R (рис. 1.6). Эта равнодействующая – равна векторной сумме 
1F и 
2
F :    

2
1
F
F
R
+
=
. Все три силы находятся в одной 

плоскости. Величину равнодействующей 
можно вычислить по теореме косинусов или найти как модуль диагонали параллелограмма:


+
+
=

−
+
=
cos
2
cos
2
2
1

2
2

2
1
2
1

2
2

2
1
F
F
F
F
F
F
F
F
R
.

Данная аксиома допускает и обратное утверждение: силу можно 

разложить бесчисленным множеством способов на две силы.

Чаще всего силу F раскладывают на две взаимно перпендику
лярные составляющие (рис. 1.7): горизонтальную 
x
F и вертикальную 

Рис. 1.6

y
F . Диагональ АС прямоугольника АВСD является равнодействующей 

F , а стороны АВ и АD – искомыми составляющими: 
y
x
F
F
F
+
=
. 

Их модули 

=
cos
F
Fx
,  

=
sin
F
Fy
.

1 . 3 .  П р о е к ц и я  с и л ы  н а  о с ь

С понятием «составляющие силы» тесно соприкасается понятие 

«проекция силы на ось». Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и 
направлением проектируемой силы: 

)
,
cos(



=
F
x
F
Fx
,        
)
,
cos(



=
F
y
F
Fy
.

Проекция силы на ось является алгебраической величиной. Если 

угол между положительным направлением оси и вектором силы заключен в пределах от 0° до 90°, либо от 270° до 360°, то проекция силы на 
ось положительна. Если он лежит в пределах от 90° до 270°, то проекция силы на ось отрицательна. Если сила перпендикулярна оси, то ее 
проекция на эту ось равна нулю.

Например, для сил, изображенных на рис. 1.8, проекциями сил на 

оси х, у будут:


=

=
sin
cos
1
1
1
F
F
F x
,            

=

=
cos
sin
1
1
1
F
F
F y
,


−
=

=
cos
cos
2
2
2
F
F
F x
,       

=

=
sin
sin
2
2
2
F
F
F y
,

А
В

С
D
y

O
x

Рис. 1.7


−
=

=
cos
cos
3
3
3
F
F
F x
,       

−
=

=
sin
sin
3
3
3
F
F
F y
,

0
4 =
x
F
,                                       
4
4
F
F y
−
=
.

1 . 4 .  С л о ж е н и е  с х о д я щ и х с я  с и л .  Р а в н о в е с и е  

с х о д я щ и х с я  с и л

Изложим на примере четырех сходящихся сил, приложенных в 

точке O (рис. 1.9), два способа сложения сил – векторный и аналитический. 
При 
векторном 
способе 
сложения 
сходящихся 
сил

(его называют также геометрическим способом) равнодействующая R
системы сил приложена в той же точке О и является замыкающей 

у

х
О

А

β
α

у
у
у

О
О
О
х
х
х

β
α

α

β

В

С

D

а
г
в
б

Рис. 1.8

О

Рис. 1.9

О

A

B

D

C

a
c
d
b
o

Рис. 1.10

стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах 

(рис. 1.10): 
CD
BC
AB
OA
OD
+
+
+
=
или 
4
3
2
1
F
F
F
F
R
+
+
+
=
.

При построении силового многоугольника надо к концу первого 

слагаемого вектора 
1F присоединить параллельно перенесенный век
тор 
2
F , затем присоединить к концу вектора 
2
F параллельно перене
сенный вектор 
3
F и т. д. Векторный способ сложения сходящихся век
торов является простым и наглядным. Однако точность определения 
равнодействующей силы R зависит от точности построения силового 
многоугольника.

На практике чаще применяют аналитический способ сложения 

сходящихся сил, который называют способом проекций. Спроектируем 
силы 
4
3
2
1
,
,
,
F
F
F
F
на горизонтальную ось и алгебраически сложим их 

проекции:

cd
bc
ab
oa
od
+
−
+
=
.

Проекцией равнодействующей R сходящихся сил 
4
3
2
1
,
,
,
F
F
F
F

на горизонтальную ось будет отрезок od. 

Обобщая эти способы сложения сходящихся сил для плоской си
стемы n сил, и обозначив проекции равнодействующей на оси координат через 
,
,
y
x R
R
можно написать равенства в векторном виде и в про
екциях на оси координат:



=

=

n

k

kF
R

1

,               


=

=

n

k

kx
x
F
R

1

,     


=

=

n

k

ky
y
F
R

1

.         (1.1)

Модуль равнодействующей определим через ее проекции на ко
ординатные оси:  
2
2

y
x
R
R
R
+
=
. Направление равнодействующей 

определяется через ее направляющие косинусы:

R
R
R
x
x /
)
,
cos(
=



,     
R
R
R
y
y /
)
,
cos(
=



.

В случае равновесия системы сходящихся сил равнодействую
щая 
0
=
R
. Ее модуль 
0
2
2
=
+
=
y
x
R
R
R
, следовательно:

0
=
x
R
,      
0
=
y
R
.              
(1.2)

Учитывая равенства (1.1) и (1.2), получим уравнения равновесия 

плоской системы сходящихся сил: