Дифференциальные уравнения

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное 

образовательное учреждение высшего образования 

«Казанский национальный исследовательский 

технологический университет» 

 
 
 
 
 
 
 

Д. Л. Егоров 

 
 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  

УРАВНЕНИЯ 

 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Казань 

Издательство КНИТУ 

2020 

УДК 517.9(075) 
ББК 22.161.6я7 

Е30

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доц. С. А. Кузнецов 
канд. физ.-мат. наук, доц. Ф. Р. Шакирзянов 

Е30 

Егоров Д. Л. 
Дифференциальные уравнения : учебное пособие / Д. Л. Егоров; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во 
КНИТУ, 2020. – 108 с. 

ISBN 978-5-7882-2911-9

Представлены основы теории дифференциальных уравнений. Рассмотрены 
различные классы обыкновенных дифференциальных уравнений, свойства и виды их решений, а также начальные сведения о краевых задачах, теории устойчивости и уравнениях в частных производных. 
Предназначено для бакалавров, обучающихся по направлениям подготовки 
01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 01.03.05 «Статистика», 
02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных 
систем», 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника». 
Подготовлено на кафедре интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами. 

ISBN 978-5-7882-2911-9
© Егоров Д. Л., 2020
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2020

УДК 517.9(075) 
ББК 22.161.6я7

ВВЕДЕНИЕ

Аппарат дифференциальных уравнений является одним из важнейших инструментов высшей математики. Задачи, приводящие к таким уравнениям, встречаются практически во всех областях естествознания. Например, в классической механике законы движения различных объектов и вообще динамика механических процессов описываются с помощью дифференциальных уравнений. В основе квантовой 
механики лежит уравнение Шредингера, являющееся линейным дифференциальным уравнением в частных производных. Изучение кинетики химических реакций, а также некоторых вопросов биологии и 
экономики также связано с выводом и решением соответствующих 
дифференциальных уравнений. 
История дифференциальных уравнений берет свое начало в задачах механики, в которых требовалось определить координаты тел, их 
скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при 
различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводят 
также некоторые геометрические задачи.  
Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном. Сам термин 
«дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 г. Лейбницем. 
До появления мощных ЭВМ решения дифференциальных уравнений 
во многих конкретных прикладных задачах приходилось искать исключительно в аналитическом виде, вводя весьма серьезные упрощающие предположения. По мере развития компьютерной техники все 
больше возрастала актуальность приближенных численных методов 
решения дифференциальных уравнений. Современные пакеты прикладных программ (например, Ansys в механике или Gaussian в квантовой химии) позволяют, в зависимости от возможностей аппаратного 
обеспечения, решать задачи самой разной сложности и точности.  
В данном учебном пособии рассматриваются основные вопросы 
теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дается обзор 
методов их решения, а также приводятся начальные сведения об уравнениях в частных производных.  
Предполагается, что читатель знаком с математическим анализом 
и линейной алгеброй и что использованная в учебном пособии терминология и специальные обозначения не вызовут у него затруднений. 

В первом разделе пособия рассматривается само понятие дифференциального уравнения и его геометрический смысл, представлены 
основные виды дифференциальных уравнений. Второй раздел посвящен одному из наиболее важных видов дифференциальных уравнений – линейным уравнениям. В третьем разделе обсуждаются свойства решений задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений, приведены теоремы существования и единственности 
этих решений. Также рассмотрены дифференциальные уравнения, не 
разрешенные относительно производной, и динамические системы. 
В четвертом разделе дано понятие краевой задачи и показаны некоторые методы ее решения. Пятый раздел посвящен теории устойчивости 
решений задачи Коши. В шестом разделе введено понятие уравнения в 
частных производных и задачи Коши для него, дана геометрическая 
интерпретация.  

4

1. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ

1.1. Дифференциальное уравнение и его решения 

При решении алгебраического уравнения задача состоит в отыскании функции, обращающей в тождество некоторое заданное равенство. В дифференциальное уравнение кроме неизвестной функции 
входят также ее производные, причем порядок их может быть разным. 
Если искомая функция зависит от нескольких переменных, а уравнение содержит ее частные производные, то оно называется дифференциальным уравнением в частных производных. Данное учебное пособие посвящено преимущественно обыкновенным дифференциальным 
уравнениям – в них неизвестными являются функции одной действительной переменной, а в сами уравнения входят производные от этих 
функций.  
Дадим теперь формальное определение. Дифференциальным 
уравнением называется соотношение 

F (t, x, x',.., x(n)) = 0, 
(1.1) 

связывающее значения независимой переменной t, искомой функции 
x = x(t)  и ее производных порядка n ≥ 1. Порядок дифференциального 
уравнения определяется по порядку n входящей в него старшей производной. 
Общим решением уравнения (1.1) называется функция x = φ(t, C1, 
C2,…, Cn), определенная на некотором интервале или отрезке, которая 
при подстановке в (1.1) вместо неизвестной функции при любом значении постоянных C1, C2,…, Cn обращает уравнение (1.1) в тождество. 
Постоянные C1, C2,…, Cn появляются в результате интегрирования и 
являются  произвольными. В силу этой произвольности число общих 
решений дифференциального уравнения бесконечно.  

Рассмотрим простой пример. Дифференциальное уравнение 

x' – 4t = 0 
(1.2) 

имеет общее решение 

x = 2t2 + C, 
(1.3) 

где С – произвольная константа. 
Это решение получается после переноса 4t в правую часть уравнения и интегрирования обеих частей. С помощью подстановки полученного результата в (1.2) легко убедиться, что это действительно решение.  
Частным решением уравнения (1.1) называется решение 
x = φ(t, C10, C20,…, Cn0), полученное из общего решения при конкретных значениях констант C1, C2,…, Cn. Частное решение дифференциального уравнения может быть получено, если на его общее решение 
налагаются дополнительные условия.  
В примере выше добавим к уравнению (1.2) условие 

x(2) = 1, 
(1.4) 

которое означает, что при t = 2 решение уравнения (1.2) должно принимать значение x = 1. Подставим данное условие в решение (1.3) и 
получим следующее соотношение: 

2 ∙ 22 + C = 1, 

откуда находим C = –7. Подставим это значение константы C в общее 
решение (1.3).  
Таким образом, частное решение уравнения (1.2) при условии 
(1.4) имеет вид 

x = 2t2 – 7. 

В рассмотренном примере условие (1.4) называется начальным 
условием, а задача решения дифференциального уравнения (1.2) при 
начальном условии (1.4) называется задачей Коши.  
В общем виде для дифференциального уравнения первого порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение 
дифференциального уравнения x' = f (t, x), удовлетворяющее начальному условию x(t0) = x0.  
График решения x = φ(t) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. 
Для некоторых дифференциальных уравнений существуют также 
особые решения. Особым решением дифференциального уравнения 
называется такое решение, в любой окрестности каждой точки которого существуют, по крайней мере, две интегральные кривые, проходящие через данную точку. 

1.2. Примеры задач, приводящих 
к дифференциальным уравнениям 

Рассмотрим два простых примера задач, которые приводят к выводу и решению соответствующих дифференциальных уравнений. 
Пример из механики. Пусть тело массой m движется по оси Ox 
под действием силы f (t, x, x'), направленной параллельно этой оси. 
Функция x = x(t) определяет абсциссу тела в момент времени t, 
а x' = x'(t) – его скорость.  
Данная задача решается с помощью второго закона Ньютона, математическое выражение которого представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Ниже оно представлено в общем 
виде: 

mx'' = f (t, x, x'). 

Для того чтобы найти его частное решение, необходимы два 
начальных условия: x(t0) = x0, x'(t0) = x0', определяющие, соответственно, положение тела в начальный момент времени t0 и его начальную 
скорость. 

Если, например, f – упругая сила, подчиняющаяся закону Гука и 
направленная в сторону положения равновесия x = 0, т. е. f = – kx, то 
соответствующее уравнение движения будет иметь вид 

mx'' = – kx. 

Его общее решение: 

x = C1 cos at + C2 sin at, 

где C1, C2 – произвольные постоянные, 
. 
Пример из геометрии. Найти кривую, обладающую следующим 
свойством: любая ее касательная пересекает ось Ox в точке, абсцисса 
которой вдвое меньше абсциссы точки касания (рис. 1.1). 

Рис. 1.1. Угол наклона касательной к кривой 

Уравнение искомой кривой запишем в виде y = y(x), где y(x) – 
функция, которую предстоит определить. Касательная, проходящая 
через точку P, пересекает ось Ox в точке S. Расстояние RP известно: 
RP = y. В соответствии с геометрическим смыслом производной 
y' = tg α. В то же время имеем: 

tg α = RP / SR = y / SR 
   SR = y / y'. 

m
k
a
/
=

Þ

При этом, согласно условию задачи, OS = SR = OR / 2. Таким образом, приходим к уравнению 

 

Общее решение этого уравнения дается выражением y = Cx2, где 
C – произвольная константа. Если предположить, что C = 0, то будем 
иметь прямую y = 0. Однако прямая, очевидно, не является решением 
нашей задачи. Отсюда следует, что искомая кривая имеет вид параболы. Разумеется, существуют и значительно более сложные примеры 
задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Однако иллюстрация вывода соответствующих уравнений и их решения может 
быть столь трудоемкой и объемной, что выведет нас за рамки данного 
курса. 
Отметим, что существует множество задач, приводящих к уравнениям в частных производных. Например, задача колебания струны, 
задача распространения тепла в теле и т.д. Исследование таких задач 
составляет проблематику курса уравнений математической физики. 

1.3. Геометрический смысл дифференциального 
уравнения первого порядка. Метод изоклин 

Рассмотрим уравнение 

y' = f (x, y). 
(1.5) 

Пусть функция f (x, y) определена в некоторой области D. Уравнение (1.5) определяет значение производной y' для каждой точки 
(x, y) Î D решения y = y(x). В то же время y' = tg α (см. рис. 1.1). Угол α 
представляет собой угол наклона касательной к кривой, проходящей 
через точку   (x, y). Т. е. в каждой точке уравнение (1.5) определяет 
в области D направление касательной к решению, проходящему через 

.
2
'
2
y
xy
x
y
y
=
Þ
=
¢

данную точку. Говорят, что уравнение (1.5) определяет поле направлений в области D. 
Поле направлений можно построить с помощью метода изоклин. 
Изоклина, или линия равного наклона, представляет собой геометрическое место точек, в котором f (x, y) = k, где k – константа.  
Для применения метода изоклин выбирается некоторое (желательно, достаточно большое) количество чисел k из множества значений f (x, y) и строятся соответствующие изоклины. Через точки каждой 
изоклины проводятся короткие отрезки под углом α к оси Ox (tg α = k). 
Получается поле направлений, причем интегральные кривые в точках 
пересечения с изоклинами имеют касательные, параллельные построенным на данной изоклине отрезкам. 
На рис. 1.2 представлен схематический пример построения интегральных кривых по методу изоклин. Жирными линиями показаны 
интегральные кривые, пунктирными – изоклины. Отметим, что, хотя 
для простоты и наглядности в данном примере они являются прямыми, в общем случае они могут являться самыми разными кривыми. 
Таким образом, метод изоклин является приближенным геометрическим методом решения дифференциальных уравнений первого 
порядка. Он не позволяет получить точные количественные результаты, однако может дать определенную информацию о качественном 
поведении решения дифференциального уравнения. 

Рис. 1.2. Пример применения метода изоклин