Основы теории упругости, пластичности и ползучести

 
В. Т. Чемодуров, С. Г. Ажермачев, К. С. Пшеничная-Ажермачёва 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ  
И ПОЛЗУЧЕСТИ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом  
профессионального образования в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 
«Строительство» (квалификация (степень) «бакалавр»)  
(протокол № 9 от 13.05.2019 г.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2022 
1 
 

УДК 624.04 
ББК 38.112 
Ч-42 
 
 
 
Рецензенты: 
доктор технических наук, профессор кафедры ракетного вооружения  
надводных кораблей Черноморского высшего военно-морского ордена  
Красной Звезды училища им. П. С. Нахимова (г. Севастополь) В. В. Новиков; 
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики  
Крымского инженерно-педагогического университета З. З. Ситшаева 
 
 
Чемодуров, В. Т. 
Ч-42  
Основы теории упругости, пластичности и ползучести : учебное пособие / В. Т. Чемодуров, С. Г. Ажермачев, К. С. Пшеничная-Ажермачёва. – 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. – 204 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-0875-2 
 
Изложены основы теории упругости. Приводятся методики расчета тонкостенных стержней закрытого и открытого профилей. Рассмотрены простейшие 
задачи в области растяжения-сжатия и изгиба. Обосновываются приближенные 
зависимости для скорости деформаций тела в пластическом состоянии. Уделено внимание теории ползучести материалов конструкции, то есть изменению во 
времени деформаций и напряжений, возникших в результате начального 
нагружения ее деталей.   
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
подготовки «Строительство», а также для инженеров-проектировщиков. 
 
УДК 624.04 
ББК 38.112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-0875-2 ” Чемодуров В. Т., Ажермачев С. Г., Пшеничная-Ажермачёва К. С., 2022 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
 
 
2 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Учебное пособие содержит изложение курса теории упругости, пластичности 
и ползучести проиллюстрированное примерами из инженерно-строительной практики. Курс должен подготовить студентов к самостоятельному решению простых 
задач, а также к изучению специальной литературы по более сложным вопросам. 
Основное внимание в данном учебном пособии уделено теории упругости. 
Теория упругости изучает действие сил на упругие тела и определяет возникающие при этом напряжения и деформации, как в состоянии равновесия, так и  
в движении. Те же задачи стоят и перед наукой сопротивление материалов.  
Но в сопротивлении материалов исследуемое тело имеет продолговатую форму 
стержня, бруса. Теория упругости позволяет решать задачи напряженнодеформированного состояния тел, имеющих более сложную форму (пластина, 
оболочка, массив и другие). Теория упругости имеет более общие методы решения задач и относительную строгость решения по сравнению с методами сопротивления материалов. 
В данном пособии приводится теория решения задач напряженнодеформированных тел как в пространственной, так и в плоской постановке. 
Даются решения как в прямоугольной системе координат, так и в полярной системе координат. 
Отдельными главами рассматриваются способы решения тонких пластин, 
как моделей строительных конструкций. Приводятся методики расчета тонкостенных стержней закрытого и открытого профилей, которые в настоящее время находят широкое применение в строительной практике. 
Описанная в работе теория расчета балок на упругом основании является 
не только исходным материалом для построения расчетных схем обоснования 
параметров перекрытий, фундаментов, но и позволяет прогнозировать устойчивость свайных оснований как наземных, так и морских сооружений. 
В разделе теории пластичности рассмотрены простейшие задачи в области 
растяжения-сжатия и изгибе. Обосновываются приближенные зависимости  
для скорости деформаций тела в пластическом состоянии. Приведенная теория 
важна для определения несущей способности сооружений. 
Десятая глава посвящена теории ползучести материалов конструкции,  
то есть изменению во времени деформаций и напряжений, возникших в результате начального нагружения ее деталей.   
В последней главе рассматриваются примеры расчетов наиболее общих 
задач практики с заданиями на самостоятельную работу. 
Изучение дисциплины предполагает получение знаний, соответствующих 
следующему блоку компетенций. 
í Способность к самоорганизации и самообразованию. 
В результате обучающийся должен знать основные методы нахождения и 
анализа информации, уметь воспринимать, анализировать и обобщать информацию, владеть культурой мышления. 
3 
 

í Использование основных законов естественно-научных дисциплин в профессиональной деятельности, применение методов математического анализа, теоретического исследования. При этом знать теорию напряжений, теорию деформаций, уравнения равновесия и неразрывности деформаций, основные соотношения 
плоской задачи, дифференциальные уравнения изгиба пластин, особенности 
напряженного состояния тонкостенных стержней открытого профиля и балок конечной длины, опирающихся на упругое основание. 
Уметь выполнять инженерные расчеты на прочность типовых элементов 
конструкций с использованием справочной литературы, строить эпюры внутренних силовых факторов, решать плоские задачи теории упругости с помощью 
полиномов и тригонометрических рядов. 
Владеть базовыми знаниями в области высшей математики, теоретической 
механики и сопротивления материалов. 
í решать плоские задачи теории упругости с помощью полиномов и тригонометрических рядов. 
Владеть:  
базовыми знаниями в области высшей математики, теоретической механики и сопротивления материалов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 

ГЛАВА 1 
 
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 
 
1.1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. 
ЕЕ МЕСТО СРЕДИ ДРУГИХ ДИСЦИПЛИН 
 
Изучение теории упругости имеет целью усовершенствовать способы расчета конструкций и сооружений. Теорию упругости можно с большим основанием рассматривать как один из разделов строительной механики, которая излагается различно в зависимости от практических требований. В настоящем 
курсе будем рассматривать теорию упругости с точки зрения интересов строительного дела. 
Строительная механика состоит в основном из трех разделов: сопротивления материалов, строительной механики в узком смысле (теории расчета сооружений) и теории упругости. 
Сопротивление материалов изучает действие сил в различных сочетаниях на брус или стержень: растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сжатие с изгибом, кручение с изгибом и так далее. 
Строительная механика в узком смысле занимается целыми сооружениями, составленными из брусьев или стержней: многопролетными балками, 
фермами, рамами. 
Теория упругости изучает те же вопросы, что и сопротивление материалов, но более углубленно, или те вопросы, которые выходят за пределы сопротивления материалов и не могут быть решены элементарными методами этой 
дисциплины. 
Так, при изучении изгиба в сопротивлении материалов вводится гипотеза 
Бернулли о том, что поперечные сечения, бывшие плоскими до деформации, 
остаются плоскими и после деформации, а нормальные напряжения считают 
изменяющимися по линейному закону (рис. 1.1). 
 
 
Рисунок 1.1 – Гипотеза о линейном изменении нормальных  
напряжений в сечении 
 
При расчете изгибаемого элемента методами теории упругости эта гипотеза не нужна. Оказывается, что эта гипотеза удовлетворяет только в тех случаях, 
5 
 

когда размеры сечения балки малы по сравнению с ее длиной. Если высота балки соизмерима с ее длиной, то гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений) 
не применима, так как напряжения в этом случае меняются не по линейному 
закону (рис. 1.2). Решение этой задачи под силу теории упругости. 
 
 
Рисунок 1.2 – Пример нелинейного распределения нормальных  
напряжений в сечении 
 
Можно привести еще ряд примеров, когда элементарные методы сопротивления материалов неприменимы в расчетных схемах. Так расчеты плит и 
оболочек относятся целиком к ведению теории упругости. 
Теория упругости, как и сопротивление материалов, опирается на опытные 
данные о физических свойствах материалов, но ее теоретическая часть занимает ведущее место и требует применения довольно сложного математического 
аппарата. Основные уравнения теории упругости были выведены уже давно, и 
сейчас мы пользуемся ими в готовом виде. Эти уравнения необходимы для решения задач теории упругости. Краткое изложение наиболее существенных  
из этих задач не может дать никакого представления о том громадном труде, 
который был в свое время затрачен на решения и на доведение их до современного состояния. 
Если в настоящее время встречаются задачи, которые еще не удается разрешить, то главная причина этого – огромные математические затруднения. 
 
1.2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ И ГИПОТЕЗЫ 
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 
 
Теория упругости, как и всякая техническая дисциплина, опирается на ряд 
рабочих гипотез, то есть предположений, которые вводятся для упрощения выводов, причем заранее известно, что ошибка от введения таких предположений 
невелика. 
6 
 

Одна из таких гипотез – принцип Сен-Венана. Согласно этому принципу 
в точках, достаточно удаленных от мест приложения внешних нагрузок, напряжения почти не зависят от того, как именно приложены эти нагрузки.  
Таким образом, если усилия, приложенные к небольшой части упругого тела, 
заменить другими, статически эквивалентными, то существенно изменятся 
только местные напряжения. На достаточно удаленных точках такая замена отразится незначительно. Практически ее влиянием можно пренебречь. 
Одна из основных рабочих гипотез – это гипотеза о сплошности строения 
упругого тела. Предполагается, что материал, из которого состоит упругое тело, непрерывно распределен по его объему. 
В теории упругости, как показывает само название предмета, предполагается, что все тела обладают свойством упругости. Под упругостью понимается 
способность тел восстанавливать свою первоначальную форму и первоначальные размеры после удаления внешних сил, которые вызвали деформацию. Все 
выводы теории упругости основываются на законе Гука о прямой пропорциональности между напряжением и деформацией. В случае растяжения или сжатия этот закон выражается так:  ߪൌܧߝ. 
Если для стали построить диаграмму зависимости между напряжением  ߪ  
и относительной деформацией  ߝ,  то на этой диаграмме участок  ܱܣ  практически можно считать линейным. Таким образом, при малых напряжениях и малых 
деформациях вполне применим закон Гука (рис. 1.3). 
 
 
Рисунок 1.3 – Пример диаграммы растяжения для стали 
 
 
В теории упругости принимают, что материал упругого тела совершенно 
однороден, то есть во всех его точках физические свойства одинаковы. 
Идеально упругое тело предполагается изотропным. Под этим подразумевается, что упругие свойства тела одинаковы по всем направлениям. У некоторых строительных материалов, например, у дерева резко выражена анизотропность, то есть различие упругих свойств по различным направлениям. 
7 
 

1.3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 
 
Цель теории упругости состоит в определении напряжений и деформаций, 
возникающих в упругом теле под влиянием внешней нагрузки. Анализ напряженного состояния упругого тела изучается в выбранной системе координат. 
Внутренние напряжения в каждой точке упругого тела являются функциями 
координат, причем на поверхности тела внутренние усилия должны уравновешиваться внешней нагрузкой. 
Можно сделать бесчисленное множество мысленных разрезов упругого 
тела, но нам не удастся найти напряжения, исходя лишь из условий равновесия. 
Все задачи теории упругости относятся к статически неопределимым. Для их 
решения необходимо учитывать деформации. 
Каждая точка упругого тела при деформации занимает новое положение – 
она перемещается. Перемещения точек следует считать функциями координат. 
Если найти перемещения всех точек, то можно определить относительные деформации и на основании закона Гука связать их с напряжениями. 
Для элементарного параллелепипеда – кубика бесконечно малых размеров, 
зависимости между напряжениями и деформациями установить нетрудно.  
Но совершенно очевидно, что решать задачу, разбивая тело на бесконечное 
число кубиков бесполезно. Значит для элементарного кубика необходимо вывести такие уравнения в общем виде, которые содержали бы некоторые функции 
и были бы действительны для любого элементарного кубика внутри упругого 
тела. Эти уравнения будут иметь дифференциальную форму. 
Таким образом, для решения задачи теории упругости необходимо сначала, исходя из условий равновесия и деформаций бесконечно малого элемента, 
вывести ряд основных дифференциальных уравнений. Далее, приступая к конкретной задаче, нужно найти такие функции, которые удовлетворяли бы всем 
этим уравнениям, а также условиям на поверхности. Тогда будут соблюдены 
условия равновесия в каждой точке и неразрывность деформаций. Однако 
уравнения, которые мы получим, не имеют общих решений, поэтому функции 
придется подбирать, а это не всегда удается. Поэтому далеко не все задачи теории упругости решены. Иногда задаются различными функциями и определяют, каким условиям на поверхности они удовлетворяют. А затем, приступая  
к решению конкретной задачи, необходимо комбинировать уже имеющиеся 
решения. 
В теории упругости можно решать задачи или в напряжениях или в перемещениях. В первом случае сначала находятся напряжения, а по ним относительные деформации и перемещения. Во втором случае сначала определяются 
перемещения, а затем напряжения и относительные деформации. На практике 
более распространено решение в напряжениях. 
 
 
 
 
8 
 

1.4. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 
 
Существуют различные системы обозначения напряжений и деформаций. 
Приведем систему обозначений, которой будем пользоваться на практике. 
Нормальные напряжения обозначаются через  ߪ,  касательные – через 
символ  ߬. 
Представим себе элементарный кубик бесконечно малых размеров  
(рис. 1.4). Индекс при ı показывает какой оси координат перпендикулярна  
та площадка, на которую действует напряжение, то есть какой оси это напряжение параллельно. У касательных напряжений ставятся два индекса. Первый 
указывает какой оси перпендикулярна площадка, а второй – какой оси параллельно напряжение. 
 
 
Рисунок 1.4 – Обозначение напряжений в точке тела 
 
Положительные направления напряжений показаны на рисунке. Нормальные напряжения положительны, если они растягивающие. За положительные 
направления касательных напряжений принимаются направление осей координат, если растягивающее напряжение по той же грани кубика имеет направление, совпадающее с положительным направлением соответствующей оси.  
Если растягивающее напряжение имеет направление, противоположное положительному направлению оси, то положительные касательные напряжения 
направлены обратно направлениям осей. 
Всего нам приходится вводить для напряжений, действующих на все грани 
кубика, три нормальных напряжений:  ߪ௫, ߪ௬, ߪ௭  шесть обозначений касательных напряжений: ߬௫௬, ߬௬௭, ߬௭௫, ߬௬௫, ߬௫௭, ߬௭௬. Эти напряжения называются  
составляющими напряжения в данной точке. 
9 
 

Продольные относительные деформации обозначаются через  ߝ  с индексом, 
указывающим, какой оси параллельна деформация (рис. 1.5). Если деформация 
параллельна оси ܱݔ,  ее обозначают ߝ௫,  (на длине ݀ݔ деформация ߝ௫ή ݀ݔ). 
 
 
 
Рисунок 1.5 – Продольные относительные деформации 
 
Угол сдвига обозначается через  ߛ  (рис. 1.6) с двумя индексами, указывающими, параллельно какой плоскости происходит сдвиг. При этом безразлично, писать или ߛ௫௭ или ߛ௭௫. 
Таким образом, необходимы три обозначения продольных деформаций:  
ߝ௫, ߝ௬, ߝ௭ и три – для углов сдвига: ߛ௫௬, ߛ௬௭, ߛ௭௫. 
Эти деформации называются составляющими деформации в данной точке. 
Для модуля продольной упругости и для модуля упругости при сдвиге 
применяются обозначения ܧ ˋ ܩ. Коэффициент Пуассона обозначается через ߤ  
(иногда  ߥ). 
 
 
Рисунок 1.6 – Угловые относительные деформации 
 
Перемещения обозначаются (рис. 1.7): по направлению, параллельному 
оси ܱݔ í через ݑ, параллельному оси ܱݕ – через ݒ, параллельному оси ܱݖ –  
через  ݓ. 
10