Теория игр. Примеры и задачи

ТЕОРИЯ ИГР

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

В.П. НЕВЕЖИН

Рекомендовано 

кафедрой математического моделирования экономических процессов 

Финансового университета при Правительстве Российской Федерации 

в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 

по направлению подготовки бакалавров и магистров

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва                                        202ИНФРА-М

УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18я73
 
Н40

Невежин В.П.

Н40  
Теория игр. Примеры и задачи : учебное пособие / В.П. Невежин. — 

Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2023. — 128 с. — (Высшее образова-
ние).

ISBN 978-5-00091-563-9 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-016657-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-109243-9 (ИНФРА-М, online)
Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов, изуча-

ющих такие дисциплины, как «Теория игр», «Элементы теории игр», 
«Теория игр и стратегическое поведение фирм», «Математические методы 
и модели исследования операций» и т.п.

Важным достоинством данного пособия является то, что в нем по каж-

дой рассматриваемой теме из теории игр приводится краткая теоретиче-
ская справка, рассматривается решение типового примера, а затем пред-
лагаются задания для самостоятельной работы студентов. Приведенные 
задания могут быть использованы как для промежуточного контроля зна-
ний, так и в качестве практических заданий на экзамене или зачете.

Для студентов экономических вузов, обучающихся по программам «ба-

калавр экономики» и магистерским программам, а также преподавателей, 
ведущих обучение по данным дисциплинам.

УДК 519.83(075.8)

ББК 22.18я73

Р е ц е н з е н т ы:

Еремеев А.П., доктор технических наук, профессор, заведующий 

кафедрой прикладной математики Московского энергетического ин-
ститута;

Кружилов С.И., кандидат технических наук, доцент кафедры си-

стемного анализа Финансового университета при Правительстве Рос-
сийской Федерации

ISBN 978-5-00091-563-9 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-016657-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-109243-9 (ИНФРА-М, online)

© Невежин В.П., 2014
© ФОРУМ, 2014

Введение

Достаточно часто в коммерческой деятельности одна из сторон
пытается применить свои условия или решения, а при этом другая
сторона противодействует или препятствует им и преследует свои
цели (решения). Эти противодействия могут носить как пассивный,
так и активный характер, а поэтому следует учитывать различные варианты поведения противоположной стороны и ее действия.
Возможные варианты поведения обеих сторон и их исходов для
каждого сочетания альтернатив и состояний можно представить в
виде математической модели, которая называется игрой.
Если в качестве противоположной стороны выступает пассивная
сторона, которая явно активно не противодействует достижению намеченной цели, то такие игры называются играми с природой. В качестве такой стороны в коммерции являются погодные условия, например при формировании и выпуске уборочной техники для сбора
урожая, реакция населения на новые виды товаров, недостаточная
информированность о коммерческих операциях и т. п.
Если же в качестве противоположной стороны выступает активная сторона, противодействующая достижению намеченной цели,
т. е. происходит столкновение противоположных целей, решений,
интересов, мнений, то такие ситуации называются конфликтными.
Принятие решений в конфликтной ситуации затрудняется изза неопределенности поведения противника. Известно только, что противник сознательно стремится предпринять наименее выгодные для
вас действия, чтобы обеспечить себе наибольший успех, но при этом
неизвестно, в какой мере противник оценивает обстановку, возможные последствия, ваши возможности и намерения. В таком случае
принимать решения приходится каждой стороне конфликта.
Необходимость обоснования оптимальных решений в конфликтных ситуациях привела к возникновению теории игр.
Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют

две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов.
Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учетом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках1.
Теория игр представляет раздел прикладной математики, а точнее — исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят
применение в экономике, чуть реже в других общественных науках —
социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с
1970х гг. ее взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение теория
игр имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с
проявлением интереса к интеллектуальным агентам.
Математическая теория игр берет свое начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения
теории были изложены в книге Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of
Games and Economic Behavior, 1944).
Математическая теория игр сейчас бурно развивается, но однако
этот метод достаточно затратен. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной
власти и т. п. Ряд известных ученых стали нобелевскими лауреатами
по экономике за достижения в области теории игр и экономической
теории. Это — Роберт Ауманн, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон
Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг,
Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц,
Эрик Мэскин, Роджер Майерсон.
В главе 1 предлагаются задачи из теории игр с наиболее простыми
из ситуаций так называемые конфликтные ситуации, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные
(иногда противоположные) цели, причем выигрыш каждой стороны
зависит от того, как себя поведут другие.
Примеры конфликтных ситуаций многообразны. Это может быть
ситуация между работником автоинспекции и водителем, налоговиком и налогоплательщиком, ситуация, складывающаяся в ходе боевых действий. Столкновение противоречащих друг другу интересов

4
Введение

1 URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/

наблюдается также в судопроизводстве, в спорте, взаимоотношениях
различных ступеней иерархии в сложных системах и др.
Близкой по идеям и методам к теории игр является теория статистических решений, которая отличается тем, что неопределенная ситуация не имеет конфликтной окраски — никто никому не противодействует, но элемент неопределенности налицо. Здесь неизвестные
условия операции зависят не от сознательно действующего «противника» (или других участников конфликта), а от объективной действительности, которую в теории статистических решений принято называть природой. Соответствующие ситуации часто называются играми
с природой. Природа мыслится как некая незаинтересованная инстанция, «поведение» которой неизвестно, но, во всяком случае, не
злонамеренно.
Принимающему решение в игре с природой «легче» добиться успеха (ведь ему никто не мешает!), но ему «труднее» обосновать свой
выбор. В игре против сознательного противника элемент неопределенности отчасти снимается тем, что мы «думаем» за противника,
«принимаем» за него решение, самое неблагоприятное для нас самих.
В игре же с природой такая концепция, в общем случае, не подходит.
В главе 2 предлагаются задачи на игры с природой
Практически все примеры и задачи прошли в течение целого ряда
лет апробацию в процессе обучения студентов по курсу или разделу
«Теория игр» в Финансовом университете при Правительстве Российской Федерации.

Введение
5

Глава 1
АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

1.1. Основные положения теории игр

Теория игр — это математическая теория конфликтных ситуаций. Основными ограничениями этой теории являются предположение о полной («идеальной») разумности противника и принятие при
разрешении конфликта наиболее осторожного «перестраховочного»
решения.
Игра — упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации, в которой выработаны определенные правила
действия сторон в процессе игры. В игре конфликтующие стороны
называются игроками, одна реализация игры — партией, исход
игры — выигрышем или проигрышем.
Развитие игры во времени происходит последовательно, по этапам или ходам. Ходом в теории игр называют выбор одного из предусмотренных правилами игры действия и его реализацию. Ходы бывают личные и случайные. Личным ходом называют сознательный выбор
игроком одного из возможных вариантов действия и его осуществление. Случайным ходом называют выбор, осуществляемый не волевым
решением игрока, а какимлибо механизмом случайного выбора, например бросанием монеты.
Одну играющую сторону может представлять один игрок или
группа участников игры (игровое лицо), имеющих общие интересы
или некоторую общую цель, не совпадающую с интересами (целями)
других групп. Разные члены участников игры могут быть поразному
информированы об обстановке проведения игры.
В большинстве конфликтных ситуаций при выборе разумной
стратегии приходится принимать во внимание не один, а несколько

показателей. Причем стратегия, оптимальная по одному показателю,
необязательно будет оптимальной по другим.
В зависимости от причин, вызывающих неопределенность исходов, игры можно разделить на следующие основные группы:
• комбинаторные игры, в которых правила дают в принципе возможность каждому игроку проанализировать все разнообразные варианты своего поведения и, сравнив эти варианты, избрать тот из них, который ведет к наилучшему для этого игрока
исходу. Неопределенность исхода связана обычно с тем, что количество возможных вариантов поведения (ходов) слишком велико и практически игрок не в состоянии их все перебрать и
проанализировать;
• азартные игры, в которых исход оказывается неопределенным в
силу влияния различных случайных факторов. Азартные игры
состоят только из случайных ходов, при анализе которых применяется теория вероятностей. Теория игр не занимается азартными играми;
• стратегические игры, в которых неопределенность исхода вызвана тем, что каждый из игроков, принимая решение о выборе
предстоящего хода, не знает, какой стратегии будут придерживаться другие участники игры, причем незнание игрока о поведении и намерениях партнеров носит принципиальный характер, так как отсутствует информация о последующих действиях
противника (партнера).
Существуют игры, сочетающие в себе комбинаторику и свойства
азартных игр, стратегичность может сочетаться с комбинаторикой
и т. д.
Количество игроков. В игре могут сталкиваться интересы двух или
более игровых лиц (сторон). В зависимости от количества игровых
лиц игра называется парной, если в ней участвуют две стороны (игрока), а если число сторон (игроков) больше двух — множественной.
Участники множественной игры могут образовывать коалиции (постоянные или временные). Множественная игра с двумя постоянными коалициями превращается в парную. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически более глубоко проработаны, получили наибольшее распространение в практике анализа
игровых ситуаций и имеют обширную библиографию.
В последующем задачи и упражнения рассматриваются только
для игр двух лиц.

1.1. Основные положения теории игр
7

По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой и
игры с ненулевой суммой. Игра называется игрой с нулевой суммой, если
проигрыш одного игрока равен выигрышу другого, в противном случае она называется игрой с ненулевой суммой, например игра, в которой нужно вносить взнос за право участия в ней.
По характеру взаимодействия игры делятся на:
1) бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;
2) коалиционные (кооперативные) — могут вступать в коалиции.
В кооперативных играх коалиции наперед определены.
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.
Матричная игра — это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка
матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2,
столбец — номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении
строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и
оно может быть легко найдено путем сведения игры к задаче линейного программирования.
Биматричная игра — это конечная игра двух игроков с ненулевой
суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами
отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец — стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш
игрока 1, во второй матрице — выигрыш игрока 2).
Для биматричных игр также разработана теория оптимального
поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные
матричные.
Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано
практически приемлемых методов их нахождения.
Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определенного числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых

8
Глава 1. Антагонистические матричные игры

оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.
Одним из основных понятий теории игр является стратегия.
Стратегией игры называется совокупность правил, определяющих поведение игрока от начала игры до ее завершения. Стратегии
каждого игрока определяют результаты или платежи в игре.
Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на
конечные и бесконечные. Игра называется конечной, если у каждого
игрока имеется конечное число возможных стратегий. Если хотя бы
один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, игра
является бесконечной.
По количеству ходов, которые делают игроки для достижения
своих целей, игры бывают одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заключаются в том, что игрок выбирает одну из доступных
ему стратегий и делает всего одинединственный ход. В многошаговых
играх игроки для достижения своих целей делают последовательно
ряд ходов, которые могут ограничиваться правилами игры либо могут
продолжаться до тех пор, пока у одного из игроков не останется ресурсов для продолжения игры.
В последнее время получили большое распространение так называемые деловые игры. Деловая игра имитирует взаимодействие людей
и проявляется как упражнение в последовательном принятии множества решений, основанное на некоторой модели коммерческой деятельности и на исполнении участниками игры конкретных ролейдолжностей. Деловые игры предназначены для воспроизведения
и согласования коммерческих интересов.
В деловых играх игрокам обычно задаются начальные условия, в
которых они находятся, сообщаются правила проведения игры, представляются варианты возможных решений и оценка их последствий.
В игре обязательно присутствует «ведущий», который руководит игрой, оценивает принятые игроками решения, состояния, в которых
они могут находиться в процессе игры, и определяет выигрыши и
проигрыши по исходам игры.
Приведенный перечень существующих игр далеко не исчерпан.
Его можно найти в различных источниках по теории игр, например
[1, 6,13].
Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие
случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в
действительности можно оценивать количественно.

1.1. Основные положения теории игр
9

Теория игр занимается принятием решений в условиях конфликтных ситуаций двумя и более разумными противниками, каждый из которых стремится оптимизировать свои решения за счет других. Тем самым игра — это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации, которые устанавливают:
• выбор образа действия игроков на каждом этапе игры;
• информацию, которой обладает каждый игрок при осуществлении таких выборов;
• плату для каждого игрока после завершения любого этапа игры.
Основными вопросами теории игр, которые возникают в коммерческой деятельности, являются:
• в чем состоит оптимальность поведения каждого из игроков в
игре, какие свойства стратегий следует считать признаками оптимальности;
• существуют ли стратегии игроков, которые обладали бы атрибутами оптимальности;
• существуют ли оптимальные стратегии, и если да, то как их
найти?
Для игры, как правило, определен набор возможных конечных ее
состояний (выигрыш, ничья, проигрыш) и игрокам (участникам
игры) известны платежи в виде матрицы C = || cij ||, соответствующие
каждому возможному конечному состоянию.
Результаты конечной парной игры с нулевой суммой можно задавать матрицей, строки и столбцы которой соответствуют различным
стратегиям игроков (номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1, номер столбца — номеру стратегии игрока 2), а ее элементы — выигрышам одной стороны (равные проигрышам другой). Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры. В общем случае платежная матрица является прямоугольной.
Так как интересы игроков противоположны, то первый игрок
стремится максимизировать свой выигрыш, а второй игрок, наоборот, минимизировать свой проигрыш. Поэтому решение игры будет
состоять в определении наилучшей стратегии каждым игроком. Для
решения игры двух лиц с нулевой суммой используется очень «пессимистичный» критерий — минимаксамаксимина.
Так, если имеются два игрока A и B. Обозначим стратегии игрока А через a
i
n
i ,
, ...,
= 1
, т. е. A
a
a
an
= (
,
, ...,
)
1
2
, а стратегии игрока B через b
j
m
j,
, ...,
= 1
, т. е. B
b
b
bm
= ( ,
, ...,
)
1
2
. Количество страте10
Глава 1. Антагонистические матричные игры