Математические модели систем управления

 
А. Д. Семенов, А. В. Волков, О. В. Ермилина 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2022
158 

УДК 681:001.891.573 
ББК 32.965 
С30 
 
Рецензенты: 
доктор технических наук, профессор кафедры управления и информатики 
Национального исследовательского университета «МЭИ» О. С. Колосов; 
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных 
систем и технологий Самарского национального исследовательского 
университета им. академика С. П. Королева С. А. Прохоров 
 
 
 
 
Семенов, А. Д. 
С30   
Математические модели систем управления : учебное пособие / 
А. Д. Семенов, А. В. Волков, О. В. Ермилина. – Москва ; Вологда : 
Инфра-Инженерия, 2022. – 200 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-0889-9 
 
Рассматриваются основы моделирования систем управления с использованием линейных непрерывных и импульсных динамических моделей, математических моделей случайных процессов, нелинейных и нейросетевых моделей. Затрагиваются вопросы теории подобия и теории размерностей. Приводятся основные методы идентификации объектов управления. Показаны особенности применения временных, частотных, спектральных, стохастических непараметрических и параметрических методов идентификации. 
Для студентов и аспирантов технических вузов. Может быть полезно инженерам и научным работникам, занимающимся проектированием и эксплуатацией систем управления.  
 
УДК  681:001.891.573 
ББК   32.965 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-0889-9 
” Семенов А. Д., Волков А. В., Ермилина О. В., 2022 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
 
158 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Моделирование – это метод исследования сложных объектов, явлений или 
процессов на их моделях или на реальных установках с применением методов 
теории подобия при постановке и обработке экспериментов. Оно является мощным и универсальным средством для познания окружающего нас мира.  
Модель (от латинского «modulus» – мера, образец, норма) – физическая система, устройство, схема, установка, система машин или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства какоголибо объекта, процесса или явления. В первом случае имеет место физическая 
модель, во втором – математическая. Соответственно, если моделирование осуществляется на физической модели, то говорят о физическом моделировании, 
если моделирование осуществляется с помощью математической модели, речь 
идет о математическом моделировании. 
Физическая модель представляет собой упрощенную или уменьшенную 
копию реального объекта, что позволяет путем моделирования исследовать 
свойства этого объекта существенно снижая затраты на проведение таких исследований и исключая риск его повреждения. Уже в 15 веке Леонардо да Винчи 
занимался обоснованием методов моделирования и подобия физических явлений. Дальнейшее развитие теории моделирования показало, что значительную 
роль при построении физических моделей играет теория подобия, позволяющая 
обеспечить подобие процессов в модели и объекте при изменении пространственных и временных масштабов моделирования. 
По мере развития математических методов все большее применение стали 
находить методы математического моделирования. Основоположником математического моделирования можно считать Ньютона, который в 17 веке открыл законы механического движения, названные его именем. Уравнения, вытекающие 
из его законов, позволяют исследовать движение материальных тел, не прибегая 
к физическому моделированию. В дальнейшем были найдены законы и получены уравнения для исследования и других физических явлений. Совокупность 
физических законов и вытекающих из них уравнений составляют основу современной теоретической физики и такого ее раздела как «Уравнения математической физики». Уравнения, описывающие поведения какого-либо процесса и 
представляют собой его математическую модель, которая еще называется аналитической моделью или «белым ящиком». Математическое или аналитическое 
моделирование не требует практически никаких материальных затрат и представляет собой результат решения математических уравнений, описывающих поведение реального процесса. Ограничения, накладываемые на применение ана3 

литического моделирования, в первую очередь связны с трудностью создания и 
решения уравнений аналитической модели. 
Создание вычислительных машин и развития численных методов решения 
уравнений позволило преодолеть эти трудности и настоящее время математическое моделирование преимущественно осуществляется на вычислительных машинах. Использование средств вычислительной техники породило новый подход к созданию математических моделей не требующий знания физики моделируемого процесса. При таком подходе на реальном объекте или его физической 
модели проводится специально спланированный эксперимент, заключающийся 
в подаче на вход объекта специально организованных возмущений с последующей регистрацией изменения выходных величин объекта.  Затем результаты эксперимента подвергаются статистической обработке, в результате которой получаются уравнения, связывающие входные и выходные переменные объекта, зарегистрированные в результате эксперимента. Эти уравнения также могут считаться математической моделью объекта, которая еще называется имитационной 
моделью или «черным ящиком». Теоретическую основу такого подхода составляет теория планирования эксперимента и теория идентификации. 
Важнейшую роль в теории моделирования играет определение адекватности разработанной математической модели реальному объекту. Понятие адекватность происходит от латинского слова «adaequatus», что означает приравненный, 
равный, тождественный, вполне соответствующий. Модель в той или иной степени должна отражать свойства реального явления, процесса или объекта. На 
практике любая даже самая точная модель  никогда полно не отражает эти свойства, то есть всегда имеется ошибка моделирования. Величину этой ошибки находят, сравнивая результаты работы моделируемого объекта и его модели. Чаще 
всего для оценки адекватности модели используют методы теории подобия, 
включающей в себя анализ уравнений, размерностей и критериев подобия, а также математической статистики и, в частности, критериев согласия и проверку 
статистических гипотез. Использование тех или иных критериев подобия или согласия и статистических гипотез позволяет дать количественную оценку точности модели или степени ее адекватности реальному объекту.  
Теория моделирования является составной частью науки кибернетики, одним из основных методов которой стал метод моделирования процессов на ЭВМ 
или компьютерного моделирования. Для этого разработаны специальные программные среды и проблемно-ориентированные языки моделирования, такие как 
MATLAB, MATCAD и др., а также операционные системы и информационнопрограммные средства общения человек-машина.  
Несмотря на преобладающую тенденцию использования компьютерного 
моделирования для исследования окружающего нас мира оно может использо4 

ваться только как один из приемов научного познания и обязательно должно дополняться аналитическими и экспериментальными методами. 
В настоящее время при моделировании систем управления широко используются как физические, так и математические модели, получаемые на основе аналитического, экспериментального и экспериментально-аналитического подходов. Моделирование является единственным средством при проектировании новых систем управления и позволяет добиваться высокого качества управления в 
действующих системах. В последние десятилетия все больший акцент делается 
на использовании средств вычислительной техники при моделировании систем 
управления для этих целей разработано большое количество вычислительных 
сред и программных продуктов, ориентированных на решение задач моделирования и управления. 
 
 
5 

1. ОСНОВЫ ТЕХНОЛОГИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ          
УПРАВЛЕНИЯ 
 
1.1. Особенности моделирования систем управления 
 
Математическое моделирование  широко применяется при создании новых  
машин, технологических комплексов и систем управления ими. Традиционно 
процессы создания новых машин, или их проектирование, носят итерационный 
характер и состоят из следующих основных этапов [26]: 
1. Формулируется техническое задание на создание новой машины.  
2. В результате проектных и расчетно-конструкторских работ создается технический проект машины или технологического комплекса, расчетные характеристики которых удовлетворяют требованиям технического задания. 
3. На основании технического проекта проводится технологическое проектирование, в результате которого разрабатывается технология изготовления машины. 
4. На основе технического и технологического проектов создается опытный образец машины. 
5. Проводятся испытания опытного образца. 
6. По результатам испытаний корректируется проектная документация и 
вносятся изменения в опытный образец до тех пор, пока он не будет отвечать 
требованиям технического задания.  
Очевидно, что наибольшие материально-технические затраты приходятся 
на третий этап. По мере усложнения и удорожания проектируемых машин значимость проектировочных и технологических расчетов, приходящихся на второй и третий этапы, стала расти. В таких отраслях современного машиностроения и приборостроения как сверхзвуковая авиация, ракетно-космическая техника, ядерная энергетика изготовление, испытания и доработка опытного образца  
требуют колоссальных затрат а зачастую нежелательны по соображениям безопасности. 
В этих условиях существенно увеличилось значимость проектировочных 
и технологических расчетов, физического и математического моделирования и 
проведения испытаний не на реальных объектах, а на их моделях. 
Развитие и совершенствовании вычислительной техники, приведшее к появлению современных ЭВМ с большим объемом памяти и высокой скоростью 
выполнения арифметических операций, создало предпосылки для становления и 
быстрого развития математического моделирования и использования вычислительного эксперимента на всех стадиях создания новой техники. 
6 

Как отмечает академик Н. Н. Моисеев в работе «Математические задачи 
системного анализа»: [23] «в настоящее время математическое моделирование и 
вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ стали составными частями общих подходов, характерных для современных информационных технологий. Принципиально важно то, что математическое моделирование позволило 
объединить формальное и неформальное мышление и естественным образом сочетать способность ЭВМ во много раз быстрее, точнее и лучше человека делать 
формальные, арифметические операции, отслеживать логические цепочки с удивительными свойствами человеческого интеллекта – интуицией, способностью к 
ассоциациям и т. д.». 
Таким образом, математическое моделирование и вычислительный эксперимент существенно повышают эффективность проектных работ и сокращают 
сроки создания новой техники. Особенно это проявляется  при создании принципиально новых, не имеющих прототипов машин и приборов, материалов и технологий [34]. 
При создании систем управления (СУ) математическое моделирование имеет ряд особенностей, этими особенностями являются: 
1. Традиционно практика проектирования СУ состоит в том, что вначале 
проектируются технологические процессы и установки, а уже потом – управляющая ими система. Поэтому при проектировании последней объект управления 
необходимо рассматривать как мало изменяемую часть системы, большинство 
свойств и характеристик которой уже фиксировано. Эта особенность противоречит системному подходу и зачастую не позволяет получать эффективные технические решения. 
2. При проектировании СУ основные трудности и наибольшая трудоемкость связаны с выбором структуры, информационных потоков, функциональных, динамических, логических и алгоритмических связей между подсистемами, 
в отличие от проектирования, например, сооружений, машин и т. д., когда основное внимание сосредоточено на этапах конструкторского и технологического 
проектирования. 
3. В настоящее время в связи с развитием распределенных систем и 
SCADA-систем среда проектирования системы управления одновременно является и средой исполнения. В этом случае технический проект системы управления, реализованный в виде некоторого программно-технического комплекса 
(SCADA-системы) непосредственно подключается к объекту управления. 
4. Математические модели СУ составляются в условиях существенно неполной информации об объекте управления, о действующих на него возмущениях, а также в условиях неполной измерительной информации и при наличии 
помех. 
7 

5. При решении практических задач управления поиск управляющих воздействий, чаще всего осуществляется с использованием линейных стационарных 
моделей объекта управления. Переход от нелинейных и нестационарных моделей к более простым линейным и стационарным моделям делается в предположении, что координаты процесса, протекающего в объекте управления, изменяются незначительно в окрестностях точки установившегося движения, а скорость их изменения во времени значительно выше, чем скорость изменения коэффициентов этого процесса. 
6. При моделировании систем управления основное внимание уделяется 
динамической устойчивости, управляемости, наблюдаемости и поведению в динамике. 
Отмеченные особенности моделирования систем управления технологическими процессами и техническими объектами представляет собой, несомненно, 
очень сложную проблему, прежде всего в связи с трудностью формализации, математического описания и составления моделей протекания этих процессов, еще 
далеко не исчерпаны, перспективны и заслуживают детального рассмотрения.  
 
1.2. Этапы моделирования и классификация 
математических моделей 
 
При решении задач автоматического управления математическое моделирование пока единственный практически доступный метод оценки управляющих 
алгоритмов и структурных схем управления. Поэтому в дальнейшем будут рассматриваться только математические модели систем управления.  
Моделирование сложных систем осуществляется на основе концептуального, математического и программного подходов [24]. 
Построение концептуальной модели объекта управления включает в себя 
следующие этапы. 
1) Выделение объекта управления (ОУ) из окружающей среды. 
 
Окружаю
щая среда
ОУ
 
Рис. 1.1. Выделение объекта из окружающей среды 
8 

Для технических систем такое выделение не представляет собой особых 
затруднений, так как объект управления представляет собой законченный агрегат, установку, или машину. Гораздо сложнее такое выделение провести для экономических, экологических или социальных систем. Можно утверждать, что чем 
не сложнее объект моделирования, тем сложнее его выделить из окружающей 
среды. Выделение объекта считается законченным, когда для каждого его элемента будут определены входные и выходные параметры.  
2) Установление существенных взаимосвязей между объектом и окружающей средой. 
 
Существенные 
связи 
 
ОУ 
 
 
Окружающая среда 
Несущественные 
связи 
 
Рис. 1.2. Установление связей объекта со средой 
 
Этот этап создания математической модели является весьма ответственным. Неточное установление существенных взаимосвязей между объектом и окружающей средой может привести к тому, что неучтенные взаимосвязи могут 
значительно повлиять на точность моделирования вплоть до несоответствия модели реальной системе. Как правило, предполагается, что объект управления оказывает незначительное влияние на окружающую среду, считается, что результаты функционирования объекта внешняя среда потребляет полностью и без задержек. Это отмечается пунктирной стрелкой на рис. 1.2. По отношению к моделируемому объекту влияние окружающей среды на объект учитывается введением входных (независимых) переменных, а влияние объекта на окружающую 
среду осуществляется с помощью выходных (зависимых) переменных.  
3) Выделение среди введенных входных переменных, управляющих u и 
возмущающих f воздействий, а среди выходных переменных управляемых y и 
неуправляемых или скрытых параметров x не поддающихся непосредственному 
измерению как управляемые параметры. 
9 

f
u
y
ОУ
(x)
 
Рис. 1.3. Структурная схема объекта управления 
 
 
Неправильный выбор управляющих и управляемых параметров объекта 
может привести к неполной управляемости или наблюдаемости математической 
модели. 
4) Установление отношений эквивалентности между входными и выходными переменными объекта. Отношения эквивалентности позволяют отобразить 
множество входных переменных на множество выходных переменных.  
Взаимодействие между переменными моделируемого объекта можно представить в виде следующих отображений: моделируемый процесс: P : u î f ĺ x; 
x ĺ x; x ĺ y, где x множество состояний объекта, f – множество возмущений, u – 
множество управляющих величин, y – множество регулируемых (наблюдаемых) 
величин. 
Концептуальная модель и содержащиеся в ней количественные исходные 
данные служат основой для выбора математической модели. Создание математической модели преследует две основные цели: 
 дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы или объекта; 
 представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое исследование системы. 
Отображение переменных концептуальной модели на управляемый процесс, протекающий в объекте управления, задаваемое на некотором формальном 
математическом языке и является математической моделью выделенного объекта или системы. 
В общем случае входные и выходные воздействия могут описываться определенными функциями (обычно функциями времени). Математически соответствие между входной и выходной функциями можно записать в виде выражения 
 
)
(
)
,
,
(
)
(
t
t
t
u
f
x
A
y
 
,                       
 
     (1.1) 
 
10