Автоматический синтез уравнений движения механических систем

 
 
 
 
А. Л. Сотников 
 
 
 
 
 
 
 
АВТОМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ 
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2022 

Рекомендовано ученым советом ГОУ ВПО «Донецкий 
национальный технический университет» в качестве 
учебного пособия для обучающихся образовательных  
учреждений высшего профессионального образования 
(Протокол № 1 от 26.02.2021 г.) 
УДК 004.896:531.1:669 
ББК 32.973:22.213:34.3 
C67 
 
 
 
 
Рецензенты: 
доктор технических наук, заведующий кафедрой обработки металлов  
давлением Донецкого национального технического университета С. А. Снитко; 
доктор технических наук, заведующий кафедрой инжиниринга  
технологического оборудования Национального исследовательского  
технологического университета «МИСиС» С. М. Горбатюк; 
кандидат технических наук, заместитель директора  
ООО «Вычислительная механика» Р. В. Ковалев 
 
Сотников, А. Л. 
С67   
Автоматический 
синтез 
уравнений 
движения 
механических 
систем : учебное пособие / А. Л. Сотников. – Москва ; Вологда : 
Инфра-Инженерия, 2022. – 100 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-0950-6 
 
Показано кинематическое и динамическое исследование сложных механических систем с большим числом степеней свободы с применением вычислительной техники со специализированным программным обеспечением по автоматическому синтезу уравнений движения исследуемой системы. Приведен 
анализ модели, адекватной исследуемой механической системе, за счет сокращения времени на разработку математической модели системы и минимизации 
неизбежных ошибок при ее разработке. 
Для студентов, обучающихся по направлениям «Машиностроение» и 
«Инженерная механика» при самостоятельном изучении материала в рамках 
дисциплин «Динамика металлургических машин» и «Основы научного исследования и техника эксперимента», а также для инженерно-технических работников промышленных предприятий металлургического машиностроения. 
 
УДК 004.896:531.1:669 
ББК 32.973:22.213:34.3 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-0950-6 
” Сотников А. Л., 2022 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
 
2 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Введение.................................................................................................................. 4 
1. Общие сведения об автоматическом синтезе уравнений движения 
механических систем............................................................................................. 7 
2. Исследование кинематических и динамических процессов 
физического маятника........................................................................................... 11 
3. Автоматический синтез уравнений движения 
физического маятника........................................................................................... 20 
4. Методика исследования механических систем  
на основе компьютерно-ориентированного автоматического синтеза 
уравнений движения.............................................................................................. 34 
5. Исследование кинематических и динамических процессов 
рычажного механизма качания кристаллизатора МНЛЗ................................... 43 
6. Разработка динамической модели и автоматический синтез уравнений 
движения рычажного механизма качания кристаллизатора МНЛЗ.................. 60 
Заключение............................................................................................................. 78 
Список литературы................................................................................................ 80 
 
 
 
 
3 

ВВЕДЕНИЕ 
 
В настоящее время существует общепринятое мнение о том, что изучение 
кинематики и динамики механической системы может быть выполнено путем 
комбинации физических экспериментов и компьютерного моделирования. Если 
есть доступный экспериментальный образец механической системы (механизма 
или машины) можно поставить ряд физических экспериментов и непосредственно определить интересующие характеристики этой системы. Измеряемые 
кинематические и динамические характеристики обычно включают линейные и 
угловые перемещения, скорости и ускорения, усилия между элементами конструкции, а также между механизмом или машиной и внешними, по отношению к нему, объектами (фундаментом машины, автомобильным мостом, железнодорожным путем, непрерывнолитым слитком и т. д.). 
Для определения различных динамических показателей на разных режимах работы механической системы обычно требуется поставить большое число 
физических экспериментов, а также оснастить испытательную площадку сложным и обычно дорогим измерительными и регистрирующими приборами. Объем работ по подготовке механизма или машины к испытаниям, по установке и 
настройке измерительных приборов, обработке и изучению полученных результатов значителен, а стоимость таких работ высока. Вместе с тем, при проведении физических экспериментов не всегда возможно измерение всех интересующих динамических показателей, приходится преодолевать проблемы, связанные с погрешностями измерительных приборов, повторяемостью и воспроизводимостью результатов. Кроме того, испытания механизмов и машин на предельных или нештатных режимах, как правило, либо очень дороги в силу дороговизны экспериментальных образцов, которые разрушаются, либо опасны. 
«Компьютерное моделирование» – привлекательная замена физическим 
экспериментам, поскольку не требует изготовления экспериментальных образцов [21]. С помощью компьютерного моделирования может быть поставлено 
любое число численных экспериментов и получены любые интересующие исследователя динамические показатели. Компьютерные модели могут быть использованы для выявления и устранения проблем еще до производства первого 
образца механизма или машины, что особенно важно для единичных и мелкосерийных производств. В сравнении с натурными экспериментами компьютерное моделирование очень полезный инструмент, который обеспечивает всесторонний, рентабельный и безопасный анализ кинематики и динамики механических систем. Это дает возможность с минимальными затратами подвергать 
тщательному анализу в т. ч. совершенно новые идеи и решения. 
 
4 

Но при этом следует принимать во внимание следующее. Сложность динамического анализа заключается в невозможности точного аналитического исследования даже несложных механических систем, поскольку динамика, как 
правило, описывается системами дифференциальных или дифференциальноалгебраических уравнений, в общем случае нелинейных, решение которых аналитически получить невозможно. С другой стороны, само составление уравнений движения механических систем с большим числом степеней свободы может оказаться очень непростой процедурой. Это связано с ростом сложности 
выражений для кинематических параметров, определяющих положение, скорости и ускорения тел, входящих в систему, при увеличении длины кинематических цепей. Кроме того, постоянный рост требований к качеству проектируемых механизмов и машин приводит к необходимости построения усложненных 
динамических моделей. 
С одной стороны, это вызывает увеличение числа степеней свободы и, 
соответственно, приводит к упомянутым выше проблемам. С другой стороны, 
уточняются и усложняются математические модели сил взаимодействия тел, 
входящих в систему. Примерами могут служить силы взаимодействия железнодорожного колеса с рельсом, автомобильного колеса с дорогой, кристаллизатора с непрерывнолитым слитком. 
Наконец, наблюдается тенденция к сокращению сроков, необходимых 
для создания новой техники. В силу описанных здесь причин возможности аналитических методов исследования кинематики и динамики механических систем резко ограничены и в современных условиях для решения таких задач 
применяется специализированное программное обеспечение. 
В настоящее время на рынке программного обеспечения данное направление представлено довольно большим числом универсальных программ, например, MSC.Adams, LMS.Dads, Sympack, а также программ, ориентированных 
на конкретные объекты. Например, программы Medyna, Nucars и Vampire предназначенные для моделирования динамики рельсовых экипажей. Все программы данного типа автоматизируют процесс формирования уравнений движения 
конкретной механической системы на основе описания инерционных, геометрических, кинематических параметров, моделей силовых взаимодействий, выбранных или заданных пользователем. Для дальнейшего исследования динамики механических систем используются численные методы анализа уравнений 
движения, например, численное интегрирование. 
В России заметное распространение получил программный комплекс 
«Универсальный механизм» (далее – ПК «УМ»), разработанный в Лаборатории 
вычислительной механики Брянского государственного технического университета [15, 29]. В настоящее время комплекс включает в себя мощное уни5 

версальное ядро, отвечающее всем современным требованиям, и ряд специализированных модулей для моделирования динамики автомобилей, железнодорожных экипажей, гусеничных машин, модули оптимизации, расчета долговечности и др. Кроме того программный комплекс имеет интерфейсы с другими 
программными комплексами. Так, например, модуль моделирования упругих 
тел ПК «УМ» поддерживает импорт данных из ANSYS и MSC.Nastran, модуль 
импорта 3D-моделей из CAD-программ на сегодняшний день поддерживает 
SolidWorks, КОМПАС-3D, Autodesk Inventor и Pro/ENGINEER, модуль «UM 
Control» обеспечивает импорт моделей из Matlab/Simulink. 
В настоящем учебном пособии на примере исследования кинематических 
и динамических процессов простой механической системы физического маятника и сложной системы – механизма качания кристаллизатора машины непрерывного литья заготовок (далее – МНЛЗ) обосновывается эффективность применения вычислительной техники и специализированного программного обеспечения по автоматическому синтезу уравнений движения исследуемых систем 
[20, 21, 34]. Эффективность достигается за счет сокращения времени на вывод 
уравнений движения механических систем и сокращения числа ошибок неизбежных при этом. 
Рассмотренные в учебном пособии динамической модели физического 
маятника и механизма качания кристаллизатора МНЛЗ выполнены с применением ПК «УМ» версий 6.0 и 7.0. 
Учебное пособие рекомендуется для инженерно-технических работников 
промышленных предприятий металлургического машиностроения, а также для 
студентов, обучающихся по направлениям «Машиностроение» и «Инженерная 
механика» при самостоятельном изучении материала в рамках дисциплин «Динамика металлургических машин» и «Основы научного исследования и техника 
эксперимента». 
Автор будет признателен всем, кто выскажет свои замечания и пожелания 
по улучшению и расширению представленных в учебном пособии материалов 
по электронной почте 0713019870#mail.ru или телефону 380 (71) 301-98-70. 
 
 
6 

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКОМ СИНТЕЗЕ 
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 
 
В 1788 году Лагранж применив вариационный принцип к общей кинетической и потенциальной энергии механической системы с учетом её кинематических связей, получил уравнения движения, известные как уравнения Лагранжа ȱ и ȱȱ рода. Это универсальный подход для записи уравнений движения любой механической системы. 
Трудоемкость вывода уравнений Лагранжа очень высока, а их запись в 
явной форме слишком громоздка, поэтому в отсутствие вычислительной техники реальное применение подхода ограничивается относительно простыми случаями. В области теории механизмов и машин, как правило, исследования проводились с использованием графических и графоаналитических методов [17]. 
Однако их применение, как правило, ограничивается плоскими схемами. 
Ограничения на сложность исследуемых механических систем действовали до 60-х годов прошлого столетия. 
Потребности в исследовании более сложных механических систем для 
разных областей науки и техники, а также быстрое развитие электронно-вычислительных машин (ЭВМ), появившихся в 50-х годах, стимулировали дальнейшее развитие методов механики. Отправной точкой развития вычислительной механики становится 1955 год. Предпринимаются первые попытки применить вычислительные машины для синтеза уравнений движения системы тел. 
Оказалось, что непосредственный перенос алгоритмов ручного вывода на ЭВМ – 
идея не слишком удачная. Вычисления частных производных и производных по 
времени на ЭВМ весьма трудная задача, а промежуточные выражения настолько 
громоздки, что для некоторых задач недостаточно ресурсов самых современных 
компьютеров того времени. Потребность в эффективных алгоритмах вывода 
уравнений побудила к развитию и переработке методов классической механики с 
ориентацией на использование ЭВМ. 
Зародившись в середине 60-х годов, динамика систем тел, ориентированная на применение ЭВМ, оформилась как отдельная ветвь механики в начале 
70-х годов. Появился термин «вычислительная механика». Были разработаны 
первые алгоритмы компьютерно-ориентированного автоматического синтеза 
уравнений движения механических систем. Технологии построения моделей 
механических систем, включая синтез уравнений движения, получили название 
«формализм». 
Один из первых формализмов был представлен Хукером и Маргулисом 
[1] в 1965 году. Среди первых были также работы Роберсона и Виттенбурга 
1967 года [3] и Вукобратовича 1970 года [4]. Систематическое изложение фор7 

мализма было впервые представлено в монографии Виттенбурга в 1977 году 
(русский перевод 1980 [9]). 
В начале 70-х появился один из первых коммерческих программных комплексов Adams для моделирования динамики систем тел. Первые материалы на 
русском языке, касающиеся использования Adams для моделирования механических систем были опубликованы еще в середине 80-х годов ХХ века [7]. 
С конца 80-х годов в Брянском государственном техническом университете под руководством профессора Д. Ю. Погорелова разрабатывается универсальный инструмент анализа кинематики и динамики механических систем – 
ПК «УМ» [15, 16, 24]. 
В конце прошло столетия предпринимаются попытки разработать международный стандарт данных для программ моделирования механических систем. 
Первой попыткой в этой области была работа Drr и др. в 1995 г. [2], в которой 
предложено описание основных классов данных, принципов построения моделей и допущений при их описании. 
В настоящее время моделирование динамики систем тел бурно развивается, стимулируемое потребностями в области космических исследований и авиастроения, транспортного машиностроения, робототехники с одной стороны и 
прогрессом ЭВМ – с другой. Современная вычислительная механика является 
плодом совместных усилий таких дисциплин как: динамика, проектирование 
систем управления, теория графов, вычислительная математика, информатика, 
оптимизация и др. 
Современные требования к программным комплексам моделирования 
механических систем включают возможность быстрого построения и анализа 
адекватных моделей, эффективное использование ресурсов компьютера, визуализацию объекта исследования и удобное представление результатов моделирования. 
Программные комплексы по моделированию кинематических и динамических процессов механических систем, как правило, включают в себя: препроцессор, предназначенный для полного описания структуры объекта; синтезатор 
уравнений движения в численном или символьном виде; модуль численного 
интегрирования уравнений движения объекта и постпроцессор, предназначенный для вывода полученного решения в виде анимации, графиков и таблиц, а 
также включающий дополнительный инструменты для прикладных исследований (например, параметрическую оптимизацию) [19]. 
Тенденцией развития программных комплексов является применение гибридных расчетных схем в рамках моделирования механических систем, что 
позволяет провести исследование динамики системы, например, с учетом упругости отдельных её частей [13, 22]. Представление упругих частей механиз- 
8 

мов и машин строится на основе использования методов конечных элементов 
(МКЭ). 
Отметим также тенденцию интеграции программных комплексов моделирования механических систем и оптимизации, что дает исследователю мощные инструменты для более полного и быстрого анализа динамических показателей механических систем, анализа чувствительности, устойчивости и поиска 
оптимальных значений параметров системы и т. д. В качестве примера можно 
привести решения на базе MatLab/Simulink, Adams/modeFrontier. 
Более подробные сведения из истории вычислительной механики, методах и алгоритмах синтеза уравнений движения механических систем изложены 
в работах [13, 19, 22 и др.]. 
Несмотря на бурное развитие программных комплексов моделирования 
кинематических и динамических процессов систем тел в практической деятельности они используются за редким исключением, в основном молодыми учеными и инженерами энтузиастами. Причин этому несколько, во-первых, знакомство старшего поколения ученых и инженеров с вычислительной механикой 
заканчивается на аналитических методах и решении дифференциальных уравнений численными методами. Под решение каждой задачи ими применяется 
тот метод, который наиболее удобен – экономичен с точки зрения выкладок, а 
вычисления выполняются уже с помощью персональных компьютеров. 
Во-вторых, программные комплексы иностранных разработчиков, имеющих полувековую историю, остаются недоступными широкому кругу исследователей. В основном возможности по их приобретению имеют только крупные 
научно-исследовательские и производственные организации и предприятия. 
Освоение этих комплексов ведется их специалистами уже самостоятельно. 
В-третьих, применение вычислительной техники и специализированного 
программного обеспечения при подготовке специалистов в образовательных 
учреждениях высшего профессионального образования только набирает обороты. При этом программы подготовки специалистов не изменялись в большинстве случаев с 50-х годов прошлого века, и в настоящее время они просто адаптируются под применение вычислительной техники, как очевидно в силу первых из приведенных причин. 
Четвертой сдерживающей причиной является отсутствие у широкого круга ученых и инженеров информации о методах и алгоритмах компьютерноориентированного автоматического синтеза уравнений движения механических 
систем и о существующих доступных программных комплексах их реализующих, а также о их возможностях при решении практических задач. 
В связи с вышеизложенным, с целью ознакомления широкого круга инженерно-технических работников и студентов образовательных учреждений 
9 

высшего профессионального образования с алгоритмами компьютерно-ориентированного автоматического синтеза и численного решения уравнений движения исследуемых механических систем в настоящем учебном пособии приведены примеры исследования кинематических и динамических процессов с помощью ПК «УМ», как хорошо известного, физического маятника, так и такой 
сложной системы, как механизма качания кристаллизатора МНЛЗ. 
Для этого решены следующие задачи: 
– составлены расчетные схемы исследуемых механических систем и определены исходные данные; 
– выведены уравнения движения систем на основе уравнений Лагранжа и 
проведено исследование кинематических и динамических процессов систем; 
– созданы модели исследуемых механических систем в ПК «УМ» и внесены входные данные; 
– выполнен автоматический синтез уравнений движения исследуемых 
механических систем и проведено их моделирование, с последующим исследованием кинематических и динамических процессов систем; 
– проведено сравнение полученных результатов исследования. 
Рассмотренные в учебном пособии результаты исследования механических систем легли в основу разработанной методики исследования механических систем на основе компьютерно-ориентированного автоматического синтеза уравнений движения. Основные положения которой также рассмотрены в 
настоящем учебном пособии, в четвертом разделе. 
 
 
10