Неопределенный интеграл

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

Д. Н. Бикмухаметова, Р. Ф. Ахвердиев, А. Р. Миндубаева

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2020

УДК 517.31(075)
ББК 22.161.1я7

Б60

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доц. Е. А. Турилова

канд. техн. наук А. И. Кадыйров

Б60

Бикмухаметова, Д. Н. 
Неопределенный интеграл
: учебно-методическое пособие / 

Д. Н. Бикмухаметова, Р. Ф. Ахвердиев, А. Р. Миндубаева; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во 
КНИТУ, 2020. – 92 с.

ISBN 978-5-7882-2842-6

Приведены необходимые теоретические сведения и решения типовых

задач по неопределенным интегралам, а также расчетные задания и варианты 
тестовых и контрольных работ.

Предназначено для бакалавров всех направлений подготовки, изучаю
щих дисциплину «Математика».

Подготовлено на кафедре высшей математики.

ISBN 978-5-7882-2842-6
© Бикмухаметова Д. Н., Ахвердиев Р. Ф., 

Миндубаева А. Р., 2020

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2020

УДК 517.31(075)
ББК 22.161.1я7

1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение. Функция F(x), определенная в промежутке X, назы
вается первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если для 
любого значения x X выполняется равенство F ´(x)=f(x).

Например, функция F(x)=x3, первообразная функции f(x)=3x2

в интервале X={-∞;+∞}, поскольку (x3)´=3x2 для всех x . Первообразных 
y функции множество. Например, для функции 3x2 первообразными являются (x3+2), (x3−5) и т. д., так как (x3+2)´= 3x2, (x3−5)´= 3x2.

Две различные производные одной и той же функции отличаются 

друг от друга на постоянные слагаемые.

Определение. Неопределенным интегралом от данной функции 

f(x) называется множество всех ее первообразных, он обозначается символом 
dx
x
f
)
(
. 

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx –

подынтегральным выражением, а переменная x – переменной интегрирования. 

Таким образом, интегрирование – нахождение неопределенного 

интеграла – есть восстановление функции по ее производной. Очевидно, интегрирование – операция, обратная дифференцированию.

2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

I. (
dx
x
f
)
(
)´= f(x).

II. d
dx
x
f
)
(
=f(x)dx.

III. 
dx
x
f
k
)
(
=k
dx
x
f
)
(
, (k=const).

IV.
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
)
(
)
(
))
(
)
(
(
2
1
2
1



+
=
+
.

3. НЕЗАВИСИМОСТЬ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ВЫБОРА 

ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Это свойство интеграла вытекает из инвариантности формы пер
вого дифференциала dF(u)=F´(u)du, при этом u может быть независимой переменной или любой дифференцируемой функцией. 

Исходя из этого переменная интегрирования u в таблице интегра
лов также может быть независимой переменной или функцией. 

Таблица простейших интегралов:

1. 
+
=
c
u
du
.

2. 

n
u du= 
c
n
u n

+
+

+

1

1

, (n≠−1).

3.
c
u
u
du
+
=

ln
.

4. 
+
=
c
a

a
du
a

u

u

ln

, (a≠1, a>0).

5. 
+
=
c
e
du
e
u
u
.

6. 
+
−
=
c
u
udu
cos
sin
.

7. 
+
=
c
u
udu
sin
cos
.

8. 
=
u

du

2
cos

tgu+c.

9. 
+
−
=
c
ctgu
u

du

2
sin

.

10. 
+
=
+
c
a
u
arctg
a
u
a

du
1

2
2
, (a≠0).

11. 
+
+
−
=
−
c
a
u

a
u

a
a
u

du
ln
2
1

2
2
, (a≠0).

12. 

+
=

−

)
(
,
arcsin

2
2
a
u
c
a
u

u
a

du
.

13.
c
a
u
u

a
u

dx
+
+
+
=

+


2

2
ln
.

Справедливость формул можно проверить путем дифференциро
вания их правых частей. Вошедшие в таблицу интегралы будут называться в дальнейшем табличными.

4. ПОНЯТИЕ ОБ ОСНОВНЫХ МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Не существует универсальных методов вычисления интегралов. 

Однако имеется несколько приемов, которые позволяют, хотя и не всегда, привести интеграл к одному или нескольким известным.

В простейших случаях интегрирование возможно с помощью 

тождественных преобразований подынтегральной функции или подынтегрального выражения. Тождественное преобразование подынтегральной функции иногда называют методом разложения, а тождественное преобразование подынтегрального выражения – подведением 
функции под знак дифференциала. В более сложных ситуациях используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

4.1. Интегрирование разложением подынтегральной функции

Этот прием подразумевает приведение интеграла к табличным с 

помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и 
применением 3 и 4 свойств интеграла. 
Пример 1. Вычислить (
)

+
+
−
dx
x
x
x
4
3
3
2
6
.

Решение. Представляя интеграл алгебраической суммы в виде интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знак интегралов и 
применяя формулу 2 таблицы основных интегралов, получим

(
)

+
+
−
dx
x
x
x
4
3
3
2
6
=3



+
+
−
dx
xdx
dx
x
dx
x
4
3
2
6
=

=
C
x
x
x
x
+
+
+
−
4
2
3
3
7
3

2
3
7

.

Проверка. Находим дифференциал полученной функции:

d(
C
x
x
x
x
+
+
+
−
4
2
3
3
7
3

2
3
7

)=(
C
x
x
x
x
+
+
+
−
4
2
3
3
7
3

2
3
7

)´dx= 

= (
4
2
2
3
3
3
1
7
7
3
2
6
+
+
−
x
x
x
)dx = (3x6-x2+3x+4)dx.

Пример 2. Вычислить 

+
+
dx
x

x
x
5
2
2
.

Решение. Производя почленное деление и применяя свойства III и 
IV неопределенного интеграла, получим



+
+
dx
x

x
x
5
2
2
=
dx
x
x

x
x

x
)
2
(

5
2


+
+
= 

=2



−
−

+
+
dx
x
dx
x
x
dx
2
1

5
3

= 2
C
x
x
x
+
+
+
2
2
5
ln
5
2
.

Пример 3. Вычислить 
x
x

xdx

2
2
cos
sin

2
cos
.

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой cos2x =
=cos2x − sin2x, тогда


x
x

xdx

2
2
cos
sin

2
cos
= 

−
dx
x
x

x
x

2
2

2
2

cos
sin

sin
cos
= 

=
dx
x
x

x

2
2

2

cos
sin

cos
–
dx
x
x

x

2
2

2

cos
sin

sin
=

= 

−
x

dx

x

dx

2
2
cos
sin

= − ctgx – tgx +C.

Пример 4. Вычислить 
+
2
4
x
x

dx
.

Решение. Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции
x2, получим


+
2
4
x
x

dx
=
(
)dx
x
x

x
x
+
−
+

1

1

2
2

2
2

= 
(
)
(
)


+
−
+

+
dx
x
x

x
dx
x
x

x

1
1

1

2
2

2

2
2

2

=

= 

+
+
1
2
2
x

dx

x
dx
= −
.
1
C
arctgx
x
+
−

Примеры для самостоятельного решения. Решить следующие интегралы:

1. (
)

−
−
dx
x
x
1
5
2
5
8
Ответ: 
C
x
x
x
+
−
−
6
9

6
5

9
2
.

2. 
−
dx
x
x

)
1
1
(
2
Ответ: 
C
x
x
+
−
−
ln
1
.

3. 

−
+
dx

x
x
x
1
4
3

Ответ:
.
2
3
8

2
3 3
2
C
x
x
x
x
+
−
+

4. 
dx
x

x

2
1






 +
Ответ: 
.
ln
2
1
C
x
x
x
+
−
+

5. 
+

+
+
dx
x

x
x

3

6
5
2

Ответ: 
.
2
2

2

C
x
x
+
+

6. 
+

+
dx
x

x

2

2

1

2
Ответ: 
.
C
arctgx
x
+
+

7.
dx

x

x

+

+
−

2

2

5

5
3
Ответ: 
.
5
ln

5
5
3
2
C
x
x
x
arctg
+
+
+
−

8. 
+
x
x
dx

2
sin
2
cos

Ответ: 
.
C
tgx +

9. 
dx
x

x
xe x


−
Ответ: 
.
C
x
ex
+
−

10. 
−

−
+
+
dx

x

x
x

4

2
2

1

1
1
Ответ: 
.
1
ln
arcsin
2
C
x
x
x
+
+
+
+

11. (
)

+
dx
x
x

3
3

Ответ: 
C
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
2
13
18

7
9

5
2
2

6
2
3
2
2
.

12. 

+
−
dx
x

x
x
x

2

2
2

cos

1
cos
sin
cos
Ответ: 
.
cos
2x
tg
x
x
+
+

13. 
dx
x

x
tg


−

2

2

sin

5
4
Ответ: 
.
5
4
C
ctgx
tgx
+
+

14. 
dx
x
2
sin 2
Ответ: 
(
)
.
sin
2
1
C
x
x
+
−

15.  +
dx
x

x

2

2

1

Ответ: 
C
arctgx
x
+
−
.

4.2. Интегрирование подведением функции под знак 

дифференциала

Метод основан на тождественном преобразовании подынтеграль
ного выражения. Переход от φ´(x)dx к dφ(x) (φ´(x)dx = dφ(x)) называется 
подведением множителя φ´(x) под знак дифференциала. 

При тождественных преобразованиях подынтегрального выра
жения удобно использовать простейшие преобразования дифференциала:

dx=d(x+b), b=const.

dx=
)
(
1
ax
d
a

, где постоянная a≠0.

dx=
)
(
1
b
ax
d
a
+
, где постоянная a≠0.

xdx=
).
(
2
1
2
x
d

xdx=
).
(
2
1
2
b
x
d
+

sinxdx=-d(cosx).
cosxdx= d(sinx) т.д.

В общем случае φ´(x)dx = dφ(x).

Пример 5. Вычислить 
.
5
cos xdx

Решение. Преобразуем дифференциал 
),
5
(
5
1
x
d
dx =
тогда интеграл 




=
=
)
5
(
5
cos
5
1
)
5
(
5
1
5
cos
5
cos
x
xd
x
d
x
xdx
представляет формулу 

7 таблицы интегралов при u=5x:


=
)
5
(
5
cos
5
1
x
xd
C
x +
5
sin
5
1
.

Проверка:
d(
C
x +
5
sin
5
1
)=(
C
x +
5
sin
5
1
)´dx= 

=
.
5
cos
5
5
cos
5
1
xdx
dx
x
=

Пример 6.
(
)

+

.

4
3

8
x
dx

Решение. Преобразуем дифференциал 
)
4
3
(
3
1
+
=
x
d
dx
, тогда

(
)

+

.

4
3

8
x
dx
= 
(
)

+

+

8
4
3

)
4
3
(
3
1

x

x
d

=

= 
(
)

+
+

−
)
4
3
(
4
3
3
1
8
x
d
x
=
(
)

.

4
3
7

1

7
C

x

+

+

−

При решении примера использована формула 2 таблицы интегралов 
при u=3x+4, n = −8.

Пример 7. 
− 4
sin
cos

2 x

xdx .

Решение. Приведем cosx под знак дифференциала cosxdx=d(sinx). Тогда


− 4
sin
cos

2 x

xdx =
+
+
−
=
−
C
x
x

x

x
d

2
sin

2
sin
ln
4
1

2
sin

)
(sin

2
2
.

Пример решен по формуле 11 таблицы интегралов при u=sinx, a=2.

Пример 8. Вычислить 
x

dx
e
x
.

Решение. Подведем

x

1 под знак дифференциала 
dx

x

1
=
(
)
x
d
2
:


x

dx
e
x
=

+
=
=
.
2
)
(
2
)
(
2
C
e
x
d
e
x
d
e
x
x
x

Интеграл вычислен по формуле 5 таблицы интегралов.

Пример 9. Вычислить 
+ 4

3

3

2

x

x
.

Решение. Так как 3x2dx=d(x3+4), имеем 


+ 4

3

3

2

x

dx
x
=
(
)
C
x
x
x
d
+
+
=
+
+

4
ln
4
4
3

3

3

.

Использовали формулу 3 таблицы интегралов при u=x3+4.

Примеры для самостоятельной работы. Найти следующие интегралы 
и проверить результаты дифференцированием:

1. (
)

−
dx
x 7
2
3
Ответ: 
(
)
.
8
2
3

2
1

8

C
x
+
−
−

2. 
+1
5x

dx
Ответ: 
.
1
5
ln
5
1
C
x
+
+

3. 
(
)

+
dx
x
4
5
sin
Ответ: 
(
)
.
4
5
cos
5
1
C
x
+
+
−

4. 

−

dx
e

x
2
Ответ: 
.
2
2
C
e

x

+
−

−

5. 
+ dx
x
1
Ответ:
(
)
.
1
3
2
3
C
x
+
+

6. tgxdx
Ответ: 
.
cos
ln
C
x +
−

7. 
−

dx

x

x

2

3

1

arcsin
Ответ: 
C
x +
4

arcsin 4

.

8. 
+ dx
x
x
5
2
Ответ: 
(
)
.
5
3
1
3
2
C
x
+
+