Моделирование химико-технологических процессов. Часть 2. Планирование оптимального эксперимента, реавлизация решений в среде Microsoft Excel

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации  
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования 
«Казанский национальный исследовательский 
технологический университет» 
 
 
 
 
Е. С. Воробьев, Э. А. Каралин, Ф. И. Воробьева 
 
 
МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ  
ПРОЦЕССОВ  
 
 
Часть 2 
 
ПЛАНИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО  
ЭКСПЕРИМЕНТА. РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ  
В СРЕДЕ MICROSOFT EXCEL 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
Казань 
Издательство КНИТУ 
2019 

УДК 007:66.01(075) 
ББК 32.81:35.11

В75

 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат наук, доц. А. Р. Юльметов 
канд. хим. наук И. В. Солдатов 
 
 

 
В75 

Воробьев Е. С. 
Моделирование химико-технологических процессов : учебное пособие : в 2 ч. Ч. 2. Планирование оптимального эксперимента, реализация решений в среде Microsoft Excel / Е. С. Воробьев, Э. А. Каралин, 
Ф. И. Воробьева; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. 
ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 104 с. 
 
ISBN 978-5-7882-2534-0 
ISBN 978-5-7882-2536-4 (ч. 2) 
 
 
Содержит основные теоретические выкладки по методам оптимального 
планирования эксперимента, представлены и подробно рассмотрены все этапы 
построения планов оптимального эксперимента и их анализа. Показаны способы реализации этих задач в среде MS Excel. Даны основы применения методов симплексного планирования экспериментов и проведения исследований в 
планах состав–свойства. 
Предназначено для бакалавров технологических направлений подготовки, изучающих дисциплину «Моделирование химико-технологических 
процессов». 
Подготовлено на кафедре общей химической технологии. 
 

 
 
ISBN 978-5-7882-2536-4 (ч. 2) 
ã Воробьев Е. С., Каралин Э. А.,  
ISBN 978-5-7882-2534-0 
  Воробьева Ф. И., 2019 
ã Казанский национальный исследовательский  
  технологический университет, 2019 

УДК 007:66.01(075)

ББК 32.81:35.11

ОТ АВТОРОВ 
 
 
Получение 
достоверных 
результатов 
при 
минимальных  
затратах как ресурсов, так и времени всегда является актуальной задачей. Для ее решения требуются знания методов по анализу имеющейся 
(априорной) информации с целью выбора наиболее важной и значимой. 
Наличие большого числа входных параметров, которые оказывают влияние на исследуемую функцию, требует умения выбрать среди них 
наиболее важные и обосновать справедливость данного выбора. 
Обычно невозможно на основании общей информации об объекте исследования определить в нем оптимальную область. Для этого требуется умение построения композиционных планов, которые позволяют 
поэтапно пройти путь от начальной точки в исследованиях до попадания в область желаемого оптимума и описать его одним из уравнений 
регрессии. Авторы стремятся в наглядной и доступной форме раскрыть 
все эти вопросы в рамках данного пособия. 
Предлагаемая работа должна помочь студентам понять основные 
принципы планирования экспериментов и научить их пользоваться 
этими знаниями в своих научных исследованиях и в другой деятельности для более качественного выполнения своих разработок. 
Пособие рекомендовано к использованию в рамках дисциплин 
«Моделирование химико-технологических процессов» для бакалавров 
по направлениям 18.03.01 «Химическая технология», 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов» и «Моделирование энерго- и 
ресурсосберегающих процессов в химической технологии, нефтехимии 
и биотехнологии» по направлению 18.03.02 «Энерго- и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии». Оно также может быть использовано студентами и аспирантами при выполнении ими научных исследований. 
 

3

ВВЕДЕНИЕ 

 
Приемы планирования эксперимента и их статистическая обработка появились значительно раньше, чем были сформулированы идеи 
кибернетики. Основоположником планирования эксперимента был известный английский ученый Ренальд Фишер (1900–1962 гг.), с именем 
которого связано развитие современной математической статистики. 
В 1935 г. вышло первое издание известной книги Р. Фишера The Design 
of Experimentsс [1]. С этого времени обычно и датируется возникновение нового направления в исследованиях – планирование оптимального 
эксперимента. 
В основе большинства исследований используются приемы системного анализа – декомпозиция и синтез, которые позволяют упрощать построение моделей объекта исследования путем его разбивки на 
подсистемы и аппараты, а потом собирать созданные модели подсистем 
в одну общую решаемую задачу. В ряде случаев нет необходимости 
проводить серьезное исследование в глобальной постановке, достаточно исследовать объект в локальной области факторного пространства с использованием ограниченного числа входных параметров с применением регрессионных моделей. Решение таких задач реализуется 
средствами планирования оптимального эксперимента. 
Этим вопросам и посвящено данное пособие. Начнем с основных 
понятий предметной области. 
Для удобного восприятия текста в нем приняты следующие форматы: 
- 
текст, набранный курсивом – общепринятый термин, курсивом 
оформлены все математические формулы, за исключением стандартных функций в них; 
- 
[Enter] – названия клавиш на клавиатуре компьютера; 
- 
Книга1, А1, Лист1 – названия объектов MS Excel; 
- 
Главная – Заполнить (
) – команды MS Excel; 
- 
Текст, который вводится с клавиатуры – вся текстовая информация, 
которая вводится на лист с клавиатуры. 

4

ПЛАНИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА 

Основные понятия 

При решении задач, связанных с нахождением неизвестных математических зависимостей между входными и выходными параметрами 
исследуемых процессов, обычно используется модель черного ящика (рис. 1). 
Этот подход в исследованиях 
объектов 
рассматривает их как 
закрытые системы, и 
протекающие внутри 
них процессы не изучаются, 
а 
ищутся 
лишь взаимосвязи между значениями входных параметров и откликами, полученными на выходе из системы. Данные решения удобны 
при описании процессов в сложных аппаратах, для которых необходимо построить простые модели управления, отвечающие за стабильную работу аппарата в области оптимума и позволяющие быстро определить необходимые действия для восстановления оптимальных условий ведения процесса. 
Для реализации таких решений разработаны специальные методики, которые позволяют получить максимум полезной информации при 
выполнении минимального числа экспериментов. Все они объединяются 
под названием планирование оптимального эксперимента. В их основе 
заложены принципы поэтапного решения задачи, в котором на каждом 
шаге повышается сложность модели и всегда стараются использовать 
большинство результатов предыдущих опытов, что обеспечивает минимум экспериментов для получения окончательного решения.  
В зависимости от поставленных задач решения могут быть остановлены на любом этапе согласно начальной постановке. Например, 
можно просто определить значение функции с заданной точностью и 
вклад входных параметров (значимость каждого из них на исследуемую функцию) в заданном факторном пространстве или продолжить 
эксперименты и построить линейную модель для локального управления процессом. Или для нахождения оптимума исследуемой функции 

 
Рис. 1. Модель черного ящика 

Исследуемый объект 
для которого 
необходимо построить 

функцию:

Y = F(X1, X2, ... Xn)

Белый шум

X1
X2
Xn ...
Y

, 

на основании построенной линейной модели определить направление 
движения в область экстремума функции по наикратчайшему пути 
вдоль градиента от центральной точки факторного пространства, в этом 
направлении выполнить процедуру крутого восхождения в область экстремума и затем снова повторить построение плана для линейной модели. В случае, если новая модель окажется неадекватной (не даст удовлетворительного описания функции), то данный план может быть 
сразу же перестроен в план второго порядка для получения более сложных зависимостей второго порядка. 

Используемые модели 

Данные модели называются регрессионными моделями, не несут в 
себе физического смысла, а используют простые математические зависимости для описания исследуемых объектов в заданной области исследования (факторном пространстве). Чаще всего это полиномы: 

 
, 
(1) 

где b0 – свободный член, наличие которого говорит о том, что при всех 
нулевых значениях входных параметров Х выходная функция имеет значение, равное данному члену (это обычно имеет место, когда мы исследуем ограниченную область существования выходной функции и данный член соответствует ее среднему значению в данной области); 
– сумма линейных взаимодействий входных (Xi) параметров 

на отклик Y, коэффициенты (bi) по мере приближения к области экстремума обычно стремятся к нулю, что говорит о нахождении факторного 
пространства в области экстремума;
 – сумма двойных вза
имодействий входных параметров (Xi ,Xj) на Y, наличие этих коэффициентов (bij) указывает на наличие связи между входными параметрами, которая влияет на выходную функцию (данные коэффициенты усложняют 
модель и делают ее нелинейной, но от них можно избавиться, выполнив 
каноническое преобразование полинома); 
 – сумма квадратов 

входных параметров (Xi), коэффициенты (bii) показывают наличие влияния на выходную функцию каждого параметра во второй степени, наличие значимых коэффициентов говорит о том, что по данному параметру 

erf
X
b
X
X
b
X
b
b
Y
i
n
i
ii
j
i

j
i
n
j
i
ij
i
n
i
i
+
×
+
×
+
×
+
=
å
å
å
=
<>
=
=

2

...
1
...
1
,
...
1
0

i
n
i
i X
b
å
=
×
...
1

j
i

j
i
n
j
i
ij
X
X
b
å

<>
=
×
...
1
,

2

...
1
i
X
b
n
i
ii
å
=
×

мы находимся в области экстремума функции; Erf – не учитываемая в 
модели погрешность, содержащая в себе белый шум. 
Поэтапное планирование эксперимента подразумевает последовательное усложнение данного уравнения, добавляя в него последовательно указанные члены. Так, наличие только свободного члена можно 
рассматривать как среднее значение всех проведенных экспериментов 
и отсутствие каких-либо связей между входными параметрами и выходной функцией. Добавление следующих коэффициентов сначала делает модель линейной, а потом приводит к модели второго порядка через неполный полином второго порядка при наличии только коэффициентов при взаимосвязях. 

Построение планов экспериментов 

Для реализации построения план-матриц для оптимального планирования эксперимента используется методика построения планов, 
которая является композиционной, то есть она усложняться без потери 
собранной ранее информации. В основе моделей лежит двухуровневый 
план, в котором каждый параметр меняется на двух заданных уровнях 
(минимальном и максимальном значениях для каждого 
параметра), что позволяет построить линейную модель. 
Общее число опытов в этих 
планах находится по формуле  

N = 2n, 

где n – число факторов; N – 
число опытов в плане исследования.  
Следовательно, для однопараметрической 
модели 
нам надо провести два опыта 
вдоль одно оси (рис. 2, опыты 
1 и 2 в линейной рамке).  
Для модели с двумя 
входными параметрами факторное пространство становится плоскостью XoY и число опытов увеличивается до 4. Два первых привязываются к минимальному уровню 
второго фактора, два следующих к максимальному уровню (добавляем 

Рис. 2. Схема построения планов

опыты 3 и 4). Мы копируем условия двух первых опытов на новый уровень по второму фактору (по стрелке вверх) и получаем двухфакторный 
план в квадратной рамке. 
Для 
трехпараметрической 
модели факторное пространство 
становится трехмерным и 4 опыта 
составляющие предыдущую модель мы выполняем в плоскости на 
минимальном 
уровне 
третьего 
фактора и добавляем еще 4 опыта 
в плоскости на максимальном 
уровне (по стрелке влево и вниз) и 
строим план из 8 опытов (в многоугольной рамке).  
Для наглядности построим 
план в виде таблицы (рис. 3). 
Сложность построения данного плана связана с необходимостью определения границ для каждого фактора. Для упрощения расчетов и авто масштабирования факторов, их нормируют с переходом к 
новой системе координат с центром оси в точке со средними значениями факторов. Минимальный уровень принимаем равным – 1, а максимальный уровень единице. Пример двухпараметрического плана в системе координат и сама матрица в кодированных значениям показаны 
на рис. 4. Такие планы называются полным факторным экспериментом 
(ПФЭ), они обеспечивают построение линейных моделей. 
Для перехода между натуральными и кодированными значениями факторов используются формулы 

 
, 
(2) 

где Xi, Zi – текущие значения натурального и кодированного параметра; 
 – среднее значение параметра; 
– шаг изменения параметра. 
Имеется множество других планов, которые оптимизируются по 
различным критериям, но в основном все они строятся на основе планов 
ПФЭ. Так, например, планы для описания моделей второго порядка являются композиционными и преобразуются из моделей ПФЭ добавлением 
необходимых опытов. Все это более подробно будет показано дальше. 

i
i
i
i
Z
X
X
X
X
X
X
Z
×
D
+
=
D
=

X
X
Δ

Рис. 3. План в натуральных 
значениях факторов 

а 

 

б 
 
Рис. 4. Схема опытов в системе координат (а) и матрица эксперимента (б) 

Этапы планирования эксперимента 

Планирование эксперимента может быть представлено алгоритмом решения, в котором все этапы выполняются последовательно с соблюдением определенных условий ведения эксперимента согласно 
приведенной схеме (рис. 5).  

Рис. 5. Алгоритм планирования оптимального эксперимента 

Некоторые этапы можно пропускать или начинать исследования не 
с первого из них. Все определяется постановкой задачи и результатами, 
которые надо получить. Например, при продолжении исследований сбор 
априорной информации для нового факторного пространства в планах исследований можно опускать, или, если стоит задача построить линейную 
модель, планирование завершается на этапе получения данной модели. 
Рассмотрим все этапы планирования более подробно. 

 
Сбор априорной информации в научно-технической и патентной 
литературе, опросом специалистов и построение списка входных 
параметров с последующим их ранжированием по своей значимости 
и выбором основного набора входных параметров для исследования.

Проведение экспериментов по 

отсеиванию малозначимых входных 

факторов с использованием 

метода случайного баланса (МСБ)

Построение матрицы полного факторного 

эксперимента (ПФЭ-2n), проведение экспериментов 
по матрица, построение регрессионного уравнения 

и проверка его адекватности.

Если число

входных параметров велико для ведения 

эксперимента, то

Да

Нет

Если модель

адекватно описывает исследуемую 

функцию, то

Да

Нет

Проведение экспериментов по крутому 

восхождению вдоль градиента полученного 
уравнения в область экстремума до новой 
начальной точки следующего плана ПФЭ

Дополнение матрицы полного факторного 

эксперимента (ПФЭ-2n) звездными точками до 

получения центрального композиционного плана (ЦКП).