Аналитические модели в скважинной термометрии

АНАЛИТИЧЕСКИЕ 

МОДЕЛИ В СКВАЖИННОЙ 

ТЕРМОМЕТРИИ

А.Ш. РАМАЗАНОВ

Москва
ИНФРА-М

2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия для студентов 

высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 

21.03.01 «Нефтегазовое дело» (квалификация (степень) «бакалавр») 

(протокол № 6 от 08.06.2022)

УДК 553.982.2(075.8)
ББК 26.343.1я73
 
Р21

Р е ц е н з е н т ы:

И.Л. Хабибуллин, доктор физико-математических наук, профессор, 

профессор кафедры прикладной физики Башкирского государственного университета;

В.Н. Федоров, доктор технических наук, профессор, профессор ка
федры автоматизации, телекоммуникаций и метрологии Уфимского 
государственного нефтяного технического университета

ISBN 978-5-16-017043-5 (print)
ISBN 978-5-16-109613-0 (online)
© Рамазанов А.Ш., 2022

Данная книга доступна в цветном  исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium

Рамазанов А.Ш.

Р21 
 
Аналитические модели в скважинной термометрии : учебное посо
бие / А.Ш. Рамазанов. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 172 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1568658.

ISBN 978-5-16-017043-5 (print)
ISBN 978-5-16-109613-0 (online)
В учебном пособии рассмотрены вопросы моделирования термогидро
динамических процессов в нефтяных пластах и в стволе скважины, которые составляют теоретические основы метода скважинной термометрии. 
При этом предпочтение отдается исследованию аналитических моделей.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Предназначено для студентов высших учебных заведений, обуча
ющихся по специальностям нефтегазового профиля. Также будет полезно 
аспирантам и специалистам, занимающимся вопросами геофизического 
контроля разработки нефтегазовых месторождений.

УДК 553.982.2(075.8)

ББК 26.343.1я73

Введение

Первые геофизические исследования в скважинах были термические, начиная с 1908 г. русский геолог-нефтяник профессор 
Д.В. Голубятников на Апшеронском полуострове с помощью максимального термометра проводил систематические наблюдения 
температуры в различных скважинах [1].
Значение этих работ по сравнению с ранее проведенными измерениями заключалось в том, что они помимо научного интереса 
измерения температуры в скважине имели целью выяснить вопросы практического использования температурных измерений. 
По результатам исследований были сделаны выводы о возможности выявления по распределению температуры в стволе скважины интервалов притоков воды и нефти, заколонных перетоков. 
В этом смысле можно говорить, что это были первые исследования 
методом скважинной термометрии.
В области теории температурных полей при фильтрации флюидов в пористой среде с учетом термодинамических эффектов 
первые исследования выполнены Б.Б. Лапуком. В 1940 г. он опубликовал три статьи об изменении температуры пласта при фильтрации в пласте сырой нефти, газа и газированной нефти [2–4]. Он 
рассматривал стационарную фильтрацию жидкости и газа в пористых горизонтальных пластах как дроссельный (изоэнтальпийный) 
процесс, т.е. показал, что установившееся изменение температуры 
флюида обусловливается проявлением эффекта Джоуля — Томсона.
Толчком к глубокому изучению температурных явлений в нефтяных пластах послужили работы Э.Б. Чекалюка [5]. Он впервые 
получил уравнение сохранения энергии для потока сжимаемой 
жидкости в пористой среде с учетом термодинамических эффектов, 
которое легло в основу всех дальнейших исследований по теории 
скважинной термометрии.
В период 1960–1970-х гг. Ю.В. Капырин, А.И. Марков, Н.Н. Непримеров, Л.З. Позин, М.Д. Розенберг, Е.В. Теслюк, Г.Ф. Требин 
разработали основы теории и методики термометрии скважин.
В Башкирском государственном университете на кафедре геофизики исследования по скважинной термометрии ведутся 
с 1970 г. Разработке математических моделей неизотермической 
фильтрации в пласте, температурных процессов в стволе скважины, 
экспериментальному исследованию термодинамических эффектов, 

разработке аппаратуры и методики скважинной термометрии посвящены диссертации и научные статьи преподавателей и сотрудников кафедры (И.Л. Дворкин, А.С. Буевич, А.И. Филиппов, 
В.Ф. Назаров, Р.А. Валиуллин, А.Ш. Рамазанов, Р.Ф. Шарафутдинов, В.Я. Федотов, Р.К. Яруллин [6–12]).
Интерпретация скважинных термограмм — это решение 
обратной задачи (ОЗ). Анализируя распределение температуры 
в стволе скважины, необходимо установить причины, процессы 
внутри скважины и в окружающей скважину среде, которые обусловили такое распределение температуры в стволе скважины.
Сегодня интерпретация данных скважинной термометрии основывается на знании интерпретатором физических процессов, происходящих в пластах и стволе скважины при движении флюида, 
и знании вклада этих процессов в распределении температуры 
в стволе скважины.
В данном учебном пособии рассматриваются математические 
модели, составляющие теоретическую основу скважинной термометрии. При этом предпочтение отдается исследованию аналитических моделей. Разработка теории скважинной термометрии, как 
и любого геофизического метода, начинается с исследования аналитических моделей. Они учитывают основные физические процессы 
в пластах и в стволе скважины. Их анализ позволяет, иногда даже 
без сложных расчетов, выявить интерпретационные признаки, сделать первые оценки относительно вклада различных физических 
процессов и эффектов в температурное поле скважины.
Конечно, разрабатываются и сложные численные модели термогидродинамических процессов в пластах и в стволе скважины, 
симуляторы для расчета модельных распределений температуры, 
давления и расхода флюида в многопластовой скважине [25, 
26, 29]. Сравнивая результаты аналитических и численных расчетов, определяют границы эффективного использования аналитических моделей для интерпретации данных скважинной термометрии. Аналитические модели, в свою очередь, используются для тестирования численных симуляторов, а также при количественной 
интерпретации температурных измерений для получения первых 
приближений.
В последние годы в мире наблюдается устойчивый интерес к измерениям температуры в скважине. В первую очередь это связано 
с появлением новых методов измерения температуры в скважинах 
и с возможностями количественной интерпретации данных термометрии в многопластовых скважинах с целью определения индивидуальных дебитов и гидродинамических параметров отдельных 

пластов. По данной тематике работают научные группы в Стенфорде, Техасском университете (TAMU), в университете ХериотВатта в Эдинбурге и др. [28, 30–33].
Разработке и исследованию аналитических моделей неизотермической фильтрации в нефтяных пластах применительно к термическим и термогидродинамическим исследованиям скважин 
и пластов посвящены также работы [34–40].
В конце каждой главы приведены контрольные вопросы для самопроверки усвоения материала. В пособии не отдается предпочтение какому-то отдельному методу решения краевых задач. Продемонстрировано решение задач методом разделения переменных, 
методом функции Грина, методами интегрального преобразования 
Фурье и Лапласа. Некоторые задачи решены несколькими методами.
В приложения вынесены сведения справочного характера 
для интегрально-показательной функции и функции ошибок, 
а также вывод формул для расчета коэффициента теплообмена 
в зонах конвективного теплообмена в стволе скважины.
В результате изучения материалов пособия студент будет:
знать
 
• систему уравнений неизотермической фильтрации в насыщенной пористой среде с учетом термодинамических эффектов;
 
• параметры моделей, формулы их расчета при решении задач 
термогидромеханики;
 
• современные технологии получения и обработки данных геофизических исследований в скважинах;
уметь
 
• применять аналитические методы решения краевых задач 
для линейных дифференциальных уравнений в частных производных при решении прямых задач подземной гидродинамики 
и термогидродинамики;
 
• оценивать корректность упрощения поставленных задач 
при пренебрежении некоторыми параметрами модели;
владеть
 
• методикой построения и исследования аналитических моделей, 
описывающих температурное поле при фильтрации флюида 
в пористой среде, в подземных коллекторах нефти и газа, 
при движении жидкости по стволу скважины.

Глава 1. 
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, 
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ИНФОРМАТИВНОСТЬ 
МЕТОДА СКВАЖИННОЙ ТЕРМОМЕТРИИ

Температурное поле в скважине определяется многими процессами в пласте и в стволе скважины: эффектом Джоуля — Томсона, 
адиабатическим эффектом, эффектом калориметрического смешивания, конвективным переносом теплоты, явлением разгазирования (фазовыми переходами), теплообменом с окружающими 
горными породами и теплопроводностью.
Проявление этих эффектов на распределении температуры 
в скважине зависит от различных факторов: геотермического распределения температуры в породах вокруг скважины, коллекторских свойств пластов, состава притекающего из пласта флюида, 
газового фактора, обводненности продукции, скорости движения 
флюида по стволу скважины, значения давления насыщения, режима работы скважины и др.
Многообразие процессов и условий приводит к тому, что термограмма каждой скважины является уникальной. Однако в распределении температуры в интервале продуктивных пластов для любой 
скважины можно выделить всего четыре характерные зоны, для которых тот или иной процесс оказывает преимущественное влияние.
При интерпретации термограммы следует выделить эти характерные зоны и анализировать распределение температуры в данных 
зонах. Изучение теоретических основ скважинной термометрии 
сводится к изучению процессов, формирующих распределение 
температуры в этих четырех зонах при освоении и эксплуатации 
добывающих скважин.
Выделяются следующие зоны (рис. 1.1):
1 — участок ненарушенной геотермы в зумпфе скважины;
2 — зона нарушения геотермы в зумпфе;
3 — зона смешивания;
4 — зона конвективного теплообмена.
Характер распределения температуры в этих зонах обусловлен 
преимущественным влиянием того или иного физического процесса.
Участок 1 с геотермическим распределением температуры наблюдается, если глубина зумпфа в скважине превышает 8–10 м. 

Распределение температуры в пределах этой зоны характеризует 
распределение температуры в горных породах в отсутствие скважины. Температура выше первой зоны в стволе добывающей скважины искажается эксплуатационными эффектами, вызванными 
движением жидкости в пластах и в стволе скважины. Для правильной идентификации этой зоны необходимо знать признаки, 
основные свойства геотермического распределения.

Температура, °С

Н, м

1680

1690

1700

1710

1720

1730

1740

37
37,6
38,2
38,8

4

4

3

3

2

1

Рис. 1.1. Распределение температуры в стволе добывающей скважины 
с двумя интервалами притока

Участок 2 с приближением к работающему пласту, геотерма 
нарушается за счет теплоотдачи от разогретого пласта. Температура фильтрующейся по пласту жидкости изменяется за счет эффекта Джоуля — Томсона вследствие падения давления по пути 
фильтрации. При отсутствии движения жидкости в зумпфе скважины температура подстилающих пласт пород повышается за счет 
процесса теплопроводности. Нарушение характерных распределений температуры в зонах 1 и 2 часто свидетельствует о движении 
жидкости за обсадной колонной или о движении внутри колонны.
В зоне 3 происходит смешивание притекающей из пласта жидкости с жидкостью в стволе скважины.
Зона 4 характеризуется распределением температуры между работающими пластами и выше всех интервалов притока, здесь изме

нение температуры обусловливается конвективным теплообменом 
между жидкостью в стволе скважины и породами. Температура 
в восходящем потоке жидкости отличается от температуры горных 
пород. Поскольку скважина не теплоизолирована, возникает тепловой поток и температура потока начинает изменяться за счет теплообмена с горными породами.
Ниже рассматриваются математические модели, описывающие 
распределение температуры в выделенных зонах.

1.1. ГЕОТЕРМИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Температура поверхности Земли, составляя в среднем около 
15°C, периодически изменяется во времени. Но эти колебания температуры проникают в землю на ограниченную глубину. Суточные 
колебания температуры сказываются до глубины около 1 м, а сезонные колебания затухают на глубине приблизительно 18–20 м. 
Этот уровень называют глубиной нейтрального слоя.
Ниже нейтрального слоя распределение температуры практически постоянно во времени и температура с глубиной возрастает. 
Это является следствием теплового потока из недр Земли к поверхности. Удельная мощность этого потока для континентальной 
коры в среднем составляет 56 мВт/м 2. Согласно закону теплопроводности Фурье тепловой поток прямо пропорцио нален градиенту 
температуры:

 
q
gradT
= −λ ⋅
, 
(1.1)

где q — удельный тепловой поток, Вт/м 2; λ — теплопроводность 
горных пород на данной глубине, Вт/(м·К).
В однородной толще горизонтально залегающих горных пород 
геотерма в системе координат (Т, z), где Т — температура, z — глубина по вертикали, представляется для постоянного теплового потока q прямой линией,

 
0
0
( )
(
)
Г
T z
T
z
z
=
+
⋅
−
, 
(1.2)

где Г — геотермический градиент, К/м, Г
gradT
=
.
Величина геотермического градиента определяется наклоном 
термограммы к оси глубины:

 
Г
dT
T
dz
z
Δ
=
≈ Δ . 
(1.3)

Согласно формуле (1.1) геотермический градиент обратно 
пропорцио нален теплопроводности горных пород на данной глубине:

 
Г
q
= λ . 
(1.4)

При чередовании горизонтальных пластов с различными коэф-
фициентами теплопроводности, в отсутствие тепловых источников 
в среде, геотерма описывается кусочно-линейной функцией

 
( )
(
)
(
)

1

0
1
1
1
Г
Г

n

i
i
i
n
n
i
T z
T
z
z
z
z

−

+
−
=
=
+
⋅
−
+
⋅
−
∑
, 
1
n
n
z
z
z +
≤
<
,  (1.5)

 
( )
0
1 .
T
T z
=
 

На рис. 1.2 показано схематическое распределение геотермы согласно (1.5). Чем хуже теплопроводность пород данного интервала 
глубин, тем больше значение геотермического градиента Г.

Т

Г4

Г3

Г2

Г1

Z

λ1

λоп

λ2

λ3

λ4

Гоп

Рис. 1.2. Схематическое распределение геотермы (пунктирной линией 
показана термограмма в работающей скважине)

Если принять, что для нескольких горизонтальных слоев с различной теплопроводностью тепловой поток через них постоянный, 
то из выражения (1.4) следует, что теплопроводности и геотермические градиенты для этих слоев связаны соотношением

1
1
2
2
3
3
оп
оп
Г
Г
Г
...
Г
⋅ λ =
⋅ λ =
⋅ λ =
=
⋅ λ , 
(1.6)

где Гоп и λоп — параметры для некоторого хорошо изученного опорного горизонта.
Геотермическое поле играет исключительно важную роль при анализе термограмм, являясь фоном для выявления и анализа температурных аномалий. Геотермический градиент также обеспечивает 
изменение температуры потока в стволе скважины и различие температур флюидов, поступающих из разных по глубине интервалов.

1.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Если температура жидкости или горных пород не постоянна 
от точки к точке, то будет происходить перенос теплоты посредством так называемой теплопроводности. Этот процесс переноса 
теплоты называют также кондуктивным теплопереносом. Под ним 
подразумевается молекулярный перенос энергии из места с более 
высокой температурой в места с более низкой температурой. Этот 
вид теплопереноса не связан с макроскопическим перемещением 
частиц среды.
Распределение температуры в среде, обусловленное теплопроводностью, находят, решая дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, которое в случае однородного изотропного 
тела записывается в виде

 
(
)
,
W r t
T
a T
t
c
∂
=
Δ
+
∂
ρ

, 
(1.7)

где W — мощность тепловыделения на единицу объема среды, Вт/м 3; 
a = λ/cρ — температуропроводность, м 2/с (где λ — теплопроводность, 
Вт/(м·К); с — удельная теплоемкость, Дж/(кг·К)); ρ — плотность, 
кг/м 3.
Величина a характеризует скорость выравнивания температуры 
в неравномерно нагретом теле или скорость перемещения некоторой изотермической поверхности в нагреваемом теле.
Характерное время для процесса теплопроводности оценивают 
по формуле

 

2l
a
τ ≈
, 

где l — характерное расстояние, например, радиус скважины, толщина пласта, радиус залежи, радиус Земли и др.