Математическое моделирование и оптимизация механической обработки


С. В. Грубый










МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ



Учебник















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022

УДК 621.941.1
ББК 34.5
      Г90





Рецензенты:
доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения Воронежского государственного технического университета Г. А. Сухочев;
доктор технических наук, профессор кафедры металлорежущих станков и инструментов Кузбасского государственного технического университета С. И. Петрушин





     Грубый, С. В.
Г90 Математическое моделирование и оптимизация механической обработки : учебник /С.В. Грубый. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. - 212 с. : ил., табл.
          ISBN 978-5-9729-1033-5

           Рассмотрены некоторые аспекты математического моделирования, в том числе разработка и применение степенных и полиномиальных уравнений, связывающих выходные показатели и режимные переменные механической обработки. Рассмотрены вопросы и разобраны задачи структурной и параметрической оптимизации для операций одно- и многоинструментной обработки резанием. Для параметрической оптимизации режимных параметров разобраны методы линейного и нелинейного программирования. Приведены алгоритмы оптимального управления режимными параметрами, в том числе со стабилизацией скорости изнашивания инструмента.
           Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Проектирование технологических машин и комплексов», «Технологические машины и оборудование», «Машиностроение».

                                                                       УДК 621.941.1
                                                                       ББК 34.5













ISBN 978-5-9729-1033-5

           © Грубый С.В., 2022
           © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
                                   © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие.................................................................5

Условные обозначения и сокращения...........................................7

Введение....................................................................9

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ..................................................................12
  1.1. Система резания и анализ процесса механической обработки............12
  1.2. Структурная оптимизация.............................................14
  1.3. Параметрическая оптимизация.........................................21
  1.4. Степенные уравнения для аппроксимации зависимостей резания металлов.22
  1.5. Расчетные степенные уравнения.......................................28
  1.6. Полиномиальныеуравнения.............................................35
     1.6.1. Точение сборными резцами.......................................35
     1.6.2. Фрезерование концевыми фрезами.................................40
  1.7. Критерии оптимизации................................................43
  1.8. Примеры решения задач...............................................46

2. ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ...........................................................53
  2.1. Линейное программирование...........................................53
  2.2. Оптимизация режимных параметров точения.............................55
  2.3. Оптимизация режимных параметров осевой обработки....................59
  2.4. Оптимизация режимных параметров фрезерования........................64
  2.5. Оптимизация режимных параметров резцов из нитрида бора..............68
  2.6. Оптимизация режимных параметров круглого наружного шлифования.71
  2.7. Примеры решения задач...............................................74

3. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИ ОДНОИНСТРУМЕНТНОЙ
ОБРАБОТКЕ..................................................................79
  3.1. Минимизация штучного времени по скорости резания....................79
  3.2. Минимизация переменной части себестоимости по скорости резания......82
  3.3. Примеры решения задач...............................................87

4. МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
И МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.........................................97
  4.1. Функции многих переменных. Условия экстремума.......................97
  4.2. Анализ целевых функций..............................................98
  4.3. Оптимизация режимных параметров обработки как общая задача нелинейного программирования................................................103
  4.4. Нелинейная оптимизация методом штрафной функции....................108
  4.5. Управление режимными параметрами точения...........................115
  4.6. Примеры решения задач..............................................122


3

5. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ МНОГОИНСТРУМЕНТНОЙ
ОБРАБОТКЕ.................................................................130
  5.1. Однопозиционная последовательная обработка.........................130
  5.2. Параллельная обработка резцом и сверлом............................139
  5.3. Однопозиционная параллельная обработка ступенчатого вала...........144
  5.4. Оптимизация режимных параметров сверления на агрегатном станке.149
  5.5. Многопозиционная последовательная обработка........................155
  5.6. Примеры решения задач..............................................159

6. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМНЫХ ПАРАМЕТРОВ СО СТАБИЛИЗАЦИЕЙ
СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ ИНСТРУМЕНТА..........................................169
  6.1. Анализ методов оптимизации.........................................169
  6.2. Оптимизация скорости и подачи для сборных твердосплавных резцов....174
  6.3. Разработка уравнений и оптимизация точения сферической поверхности.181
  6.4. Примеры решения задач..............................................194

Заключение................................................................203

Вопросы для самоподготовки................................................205

Список литературы.........................................................209

ПРЕДИСЛОВИЕ


     Учебник разработан в обеспечение программы учебной дисциплины «Оптимизация механической обработки» в соответствии с учебным планом МГТУ имени Н. Э. Баумана по направлению подготовки специалистов-инженеров «Проектирование технологических машин и комплексов» - Проектирование инструментальных комплексов в машиностроении, для магистрантов по направлению подготовки «Технологические машины и оборудование» - Процессы и технологии механической и физико-технической обработки. Учебник рекомендован в качестве литературного источника для теоретического и методического разделов диссертационного исследования аспирантов по направлению подготовки «Машиностроение» - Технология и оборудование механической и физико-технической обработки.
     Целью изучения дисциплины является подготовка специалистов-инженеров, способных на основании передовых научно-технических достижений в области обработки материалов резанием сформулировать и реализовать оптимальные решения по выбору условий и режимов механической обработки. По результатам проведения лекционных и семинарских занятий и самостоятельного решения задач оптимизации студенты должны:
       • применять степенные и полиномиальные уравнения, характеризующие связь режимных переменных с выходными показателями процесса, такими как стойкость, составляющие силы, шероховатость обработанной поверхности для анализа условий выполнения операций механической обработки резанием;
       • владеть методами математических преобразований, использовать степенные и полиномиальные уравнения как основу математического моделирования процесса резания;
       • понимать и применять методы расчета режимных параметров механической обработки, линейной и нелинейной параметрической оптимизации и математического программирования;
       • знать основные критерии и ограничения, содержание, последовательность выбора элементов структурной оптимизации технологического процесса механической обработки машиностроительных деталей;
       • анализировать показатели эффективности и критерии оптимизации механической обработки, проводить оценку результатов;
       • использовать современные программные средства для расчетов, создавать пользовательские программы для решения задач оптимизации.
     Освоение учебника и изучение соответствующей дисциплины предполагает предварительное освоение следующих дисциплин учебного плана: про

5

граммирование; математический анализ; основы технологии машиностроения; основы теории резания; проектирование операций механической обработки; основы проектирования режущих инструментов.
     Полученные знания студенты и магистранты могут применять при подготовке технологической и научной части выпускной квалификационной работы. Аспиранты могут использовать учебник для разработки алгоритмов аппроксимации данных, расчета, оптимизации и управления процессов.
     В методическом плане учебник служит основным источником для освоения курса лекций и проведения семинарских занятий. Для решения оптимизационных задач студентам рекомендовано использовать программирование на алгоритмическом языке, в частности Delphi, входящее в учебную программу университета. Целесообразно освоить основы программирования в среде MATLAB, имеющей целый ряд специальных функций для решения матричных уравнений, нелинейных уравнений и систем, и оптимизации.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ


      v - скорость резания, м/мин vq - скорость минимального штучного времени, м/мин ve - скорость минимальной себестоимости, м/мин T - стойкость инструмента, мин t - глубина резания, мм s - подача, мм/об
      sz - подача на зуб инструмента, мм/зуб sₘ - минутная подача, скорость подачи, мм/мин Pz - главная (тангенциальная) составляющая силы резания, Н Ra, Rz - параметры шероховатости, мкм hz - износ по задней поверхности инструмента, мм
      ^ - главный угол в плане, град (рад)
      r - радиус закругления вершины инструмента, мм d - диаметр обработки, диаметр инструмента, мм Pₒ - осевая составляющая силы резания, Н Tp - температурарезания, °C M - крутящий момент резания, Н-м
      B - ширина фрезерования, мм z - число зубьев инструмента, шт. n - частота вращения шпинделя, об/мин Fc - площадь сечения срезаемого слоя, мм² a - толщина сечения срезаемого слоя, мм b - ширина сечения срезаемого слоя, мм т - время обработки, мин
      Int - скорость изнашивания инструмента, мм/мин
      Cт - коэффициент, отражает влияние вспомогательного времени Kt - число деталей, обработанных за период стойкости, шт. tₛₜ - штучное время, мин
      C - переменная часть себестоимости обработки детали, руб./шт. E - минутная стоимость работы станка, руб./мин Ec - минутная тарифная ставка станочника, руб./мин
      К - стоимость станка, руб.
      Cₑ - стоимость электроэнергии, руб./кВт.ч N - мощность резания, кВт
      Eᵤ - затраты на инструмент за период стойкости, руб.
      m - количество вершин СМП, число переточек инструмента

7

      Cdₙ - стоимость державки инструмента, руб.
      Cpₙ - стоимость СМП, руб.
      Ep - энергопотребление, кДж
      tₛtk — штучно-калькуляционное время, мин
      tₒ - основное время, мин
      Tcₘ - время на замену инструмента после затупления, мин
      l - длина обработки, мм
      Cd - средняя себестоимость обработки детали на операции, руб.
      Qd - средняя технологическая производительность, шт./мин
      IP - количество СМП, шт.
      I - количество инструмента, шт.
      СМП - сменная многогранная пластина
      ЧПУ - числовое программное управление
      ОРП - оптимизация режимных параметров
      ЛП - линейное программирование
      НЛП - нелинейное программирование
      УРП - управление режимными параметрами

ВВЕДЕНИЕ


      Лезвийная обработка относится к механической обработке резанием и включает широко применяемые в технологических процессах механосборочного производства виды: точение, растачивание, сверление, фрезерование, протягивание и др. (ГОСТ 25761). Структурно механическая обработка реализуется в определенной последовательности операций и организационно объединяется в технологические процессы обработки от заготовки до готовой детали, соответствующей заданным параметрам точности и качества. Выбор структуры технологического процесса в целом и каждой отдельной операции в частности является предметом структурной оптимизации механической обработки. Под технологической операцией понимается законченная часть технологического процесса, выполняемая на одном рабочем месте (ГОСТ 3.1109). Технологическая операция состоит из одного или нескольких технологических переходов, под которыми понимается законченная часть технологической операции, выполняемая одними и теми же средствами технологического оснащения при постоянных технологических режимах и установке. В свою очередь, технологический режим является основной характеристикой операции и определяет совокупность параметров технологического процесса в определенном интервале времени. Чаще всего режимными параметрами лезвийной обработки являются: глубина резания, подача, скорость резания, частота вращения шпинделя, скорость подачи. Для универсального станка режимные параметры являются постоянными на переходе, что соответствует стандартному определению технологического режима. Современный станок с ЧПУ при необходимости может реализовать переменные режимные параметры на операции или переходе.
      Выбору или расчету режимных параметров лезвийной обработки посвящено большое количество учебной литературы. Вместе с тем вопросы оптимизации этих параметров изложены в основном в научной специальной литературе, в отдельных учебных пособиях и подробно рассмотрены в настоящем учебнике.
      Понятие оптимума (от лат. optimum - наилучшее) включает совокупность наиболее благоприятных условий. Тогда оптимизация. - процесс выбора наилучшего варианта из совокупности возможных, или наилучший вариант решения задачи, или путь достижения цели при данных условиях и ресурсах, или процесс приведения системы в наилучшее состояние. Техническая оптимизационная задача, как правило, является экономико-математической, содержащей количественные критерии оптимальности и ограничения, выраженные математическими уравнениями в той или иной форме. Результатом решения задачи являются оптимальные значения режимных параметров, обеспечивающие повышение эффективности операций механической обработки.

9

     Задача поиска экстремума критерия оптимальности, выраженного в виде целевой функции, в совокупности с рассматриваемыми ограничениями является задачей математического программирования.
     Задачи математического программирования по виду целевой функции разбиваются на следующие классы:
       • функция линейная и ограничения линейные, рассматривается и решается задача линейного программирования;
       • функция нелинейная и/или ограничения нелинейные (или ограничения нелинейные, а функция линейная), тогда это задача нелинейного программирования.
     Все перечисленные задачи называют задачами оптимизации.
     Отдельный класс оптимизационных задач представляют задачи оптимального управления, для решения которых используют вариационные методы, принцип максимума, методы динамического программирования.
     Оптимизационная задача называется детерминированной в том случае, если погрешностями вычисления или экспериментального определения значений функции можно пренебречь. В противном случае оптимизационная задача является стохастической (вероятностной). Для этого класса задач разработаны специальные методы.
     Основой оптимизации является наличие математических уравнений в том или ином виде, необходимых для количественного представления критерия целевой функцией и рассматриваемых ограничений. Одним из эффективных методов разработки математических уравнений является математическое моделирование, под которым понимается совокупность приемов построения и изучения математических моделей. В свою очередь, математической моделью является приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное математическими символами. Объектами моделирования в машиностроительном производстве могут быть: технологические системы, технологические процессы, физические процессы, в частности процесс резания металлов. Результаты моделирования физического объекта или процесса могут быть представлены математической моделью, под которой понимается совокупность элементов - параметров, переменных, уравнений, неравенств, матриц и отношений между ними, адекватно отражающих исследуемые свойства.
     В учебнике рассмотрены методы моделирования с использованием аппарата математического программирования и с применением степенных и полиномиальных математических уравнений, аппроксимирующих либо экспериментальные зависимости резания металлов, либо результаты расчетов скорости изнашивания, величины износа режущего инструмента, стойкости, составляющих силы, температуры резания. Здесь рекомендован и использован вычислительный эксперимент для анализа исходных уравнений, выбора пределов при кодировании переменных в полиномиальных уравнениях, аппроксимирующих значительные объемы данных, при выборе начальных и граничных условий и дискретных значений в процедурах численного дифференцирования и интегрирования.

10

     Таким образом, в учебнике рассмотрены теоретические вопросы и детерминированные задачи математического моделирования, разработки математических уравнений, интегрально характеризующих процессы резания металлов, а также задачи параметрической оптимизации режимных параметров на операциях точения, сверления, фрезерования методами линейного и нелинейного программирования.
     В МГТУ имени Н. Э. Баумана автором сформирована и читается учебная дисциплина «Оптимизация механической обработки» для студентов и магистрантов кафедры «Инструментальная техника и технологии». Учебник дополняет и расширяет ранее опубликованные автором учебные пособия в этой предметной области [1-3]. Учебник рекомендован для студентов при подготовке к лекциям и семинарским занятиям, а также для магистрантов, аспирантов и научных сотрудников, занимающихся научными исследованиями в предметной области механической обработки резанием.

1.   МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

    1.1. Система резания и анализ процесса механической обработки

     Базовым понятием математического моделирования является понятие системы, которое в широком смысле является эквивалентом понятия математической модели. Система (др.-греч. оиотцца «целое, составленное из частей; соединение») - множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определённую целостность, единство.
     В общем виде система - это объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, а также знаний о природе и обществе. Такому представлению о системе соответствуют атрибуты (свойства):
      • целостность, означает, что система отделена от внешней среды, которая может оказывать на нее действие через входы и воспринимать отклик на эти действия через выходы;
      • структурированность, система разделена внутри на несколько подсистем, связанных и взаимодействующих между собой так же, как целая система взаимодействует с внешней средой;
      • целенаправленность, требует задания цели, достижение которой свидетельствует о правильном функционировании системы.
     Указанным атрибутам полностью соответствует система резания, которая является частью более общей технической (технологической) системы, имеет сложную структуру, характеризуется взаимодействием большого количества сильнодействующих факторов и целью функционирования которой является достижение заданных показателей эффективности (критериев).
     Таким образом, к системе резания в полной мере относится понятие технической системы как разновидности общего понятия системы, и применимы методы и алгоритмы системного подхода. Это понятие носит обобщающий характер и применимо, например, собственно для системы резания, а также можно трактовать как систему любой преобразователь входных данных в выходные, что структурно соответствует решению задачи по оптимизации режимных параметров механической обработки. Вместе с тем системой можно назвать процесс решения задачи по оптимизации режимных параметров, и сама операция обработки резанием является сложной технической системой.
     Такой подход к системе подчеркивает ее целенаправленность и ведет свое происхождение от исследования операций - научной дисциплины, которая занимается разработкой количественных методов принятия решений. Операция соответствует некоторой системе. Входами здесь являются элементы

12