Численные методы
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Инфра-Инженерия
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 380
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9729-0786-1
Артикул: 788286.02.99
Рассмотрены численные методы решения систем линейных уравнений, нелинейных уравнений и их систем, способы аппроксимации функций, численного дифференцирования и интегрирования, а также приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебник содержит значительное количество задач с подробными решениями и задания для самостоятельного выполнения в виде лабораторных работ с контрольными вопросами по прикладным разделам, рассмотренным в книге.
Для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки, а также научных и инженерно-технических работников, использующих в практической деятельности методы вычислений.
Тематика:
ББК:
УДК:
- 004: Информационные технологии. Вычислительная техника...
- 519: Комбинатор. анализ. Теория графов. Теория вер. и мат. стат. Вычисл. мат., числ. анализ. Мат. кибер..
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
И. К. Локтионов Л. П. Мироненко В. В. Турупалов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Учебник Под общей редакцией кандидата технических наук, профессора В. В. Турупалова Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022
УДК 004:519.6 ББК 32.973:22.193 Л73 Рекомендовано ученым советом ГОУ ВПО «Донецкий национальный технический университет» (г. Донецк) в качестве учебника для студентов высших учебных заведений Р е ц е н з е н т ы : доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа Донецкого национального университета (г. Донецк) В. В. Волчков; доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ГУ «Донецкий физико-технический институт им. А. А. Галкина» (г. Донецк) В. В. Малашенко Локтионов, И. К. Л73 Численные методы : учебник / И. К. Локтионов, Л. П. Мироненко, В. В. Турупалов ; под общ. ред. канд. техн. наук, проф. В. В. Турупалова. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. – 380 с. : ил., табл. ISBN 978-5-9729-0786-1 Рассмотрены численные методы решения систем линейных уравнений, нелинейных уравнений и их систем, способы аппроксимации функций, численного дифференцирования и интегрирования, а также приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебник содержит значительное количество задач с подробными решениями и задания для самостоятельного выполнения в виде лабораторных работ с контрольными вопросами по прикладным разделам, рассмотренным в книге. Для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки, а также научных и инженерно-технических работников, использующих в практической деятельности методы вычислений. УДК 004:519.6 ББК 32.973:22.193 ISBN 978-5-9729-0786-1 © Локтионов И. К., Мироненко Л. П., Турупалов В. В., 2022 Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
ʠʝʓʔʟʕʏʜʗʔ СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ………..………………………..…….…. 7 I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ........................................................................... 10 ВВЕДЕНИЕ…………..…………………….……….……… 11 19 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 14 § 1. Абсолютная и относительная погрешности……….. 14 § 2. Значащие цифры числа и правила округления ......... 15 § 3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами………………………..…….…. ГЛАВА 2. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ ……………………………… 26 § 4. Определение метрического пространства …………. 26 § 5. Принцип сжимающих отображений………………… 29 § 6. Теорема Банаха и метод последовательных приближений……………………….……………………… 34 ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ..…. 36 § 7. Метод простых итераций для систем линейных алгебраических уравнений ………………..……………. 36 § 8. Сходимость итерационных методов решения СЛАУ……………………………………………………… 39 § 9. Оценка погрешности метода итераций…………..… 44 § 10. Метод Зейделя……………………….……………... 46 § 11. Метод Гаусса ………………….…………………… 49 ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ........................ 56 § 12. Общие сведения об уравнениях ………….……..…. 56 § 13. Условия существования корней уравнения ............ 59 § 14. Метод половинного деления .………..…...……….. 62 § 15. Метод хорд …………………….....………………… 64 § 16. Метод Ньютона .……………………..…………….. 69 § 17. Модифицированный метод Ньютона …………..… 76 § 18. Метод секущих …………………..………………… 77 § 19. Комбинированный метод хорд и касательных……. 78 § 20. Метод простых итераций…………………..……….. 79 3
ʦˋ˔ˎˈːː˞ˈˏˈ˕ˑˇ˞ § 21. Обзор некоторых приближенных методов решения нелинейных уравнений………………………... 86 ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ… 90 § 22. Метод Ньютона…………………..……..................... 91 § 23. Метод простых итераций………………….……….. 95 § 24. Метод Ньютона и метод простых итераций в векторной форме ………………...………..……………. 103 § 25. Метод продолжения по параметру ………..….…… 113 § 26. Метод скорейшего спуска ……..…………...……… 114 ГЛАВА 6. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ....... 118 § 27. Общие замечания……................................................ 118 § 28. Теория метода наименьших квадратов ……............ 120 § 29. Линейное и квадратичное приближения в методе наименьших квадратов……………….………... 122 § 30. Некоторые эмпирические зависимости в методе наименьших квадратов………………………… 124 ГЛАВА 7. ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ …………….….. 132 § 31. Понятие полиномиального интерполирования ....... 132 § 32. Конечные разности………………………………...... 136 § 33. Интерполяционные формулы Ньютона………........ 143 § 34. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя …………………………………………............. 151 § 35. Разделённые разности……………………………… 157 § 36. Интерполяционный многочлен Ньютона для неравноотстоящих узлов……..…………………….......... 159 § 37. Интерполяционная формула Лагранжа….………… 161 § 38. Оценка погрешности интерполяционных формул….. 165 ГЛАВА 8. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ..... 170 § 39. Определение производной в численном анализе..... 170 § 40. Производные некоторых интерполяционных многочленов.……………………………………………….. 178 § 41. Вычисление производных интерполяционных полиномов с помощью формулы повышенной точности.…………………………………………………… 182 4
ʠʝʓʔʟʕʏʜʗʔ ГЛАВА 9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ….......... 186 § 42. Основные квадратурные формулы с равноотстоящими узлами…. ………………………….. 187 § 43. Оценка погрешности квадратурных формул.......… 193 § 44. Метод парабол (Симпсона)……………………….. 200 § 45. Метод двойного пересчёта оценки погрешностей квадратурных формул ……………………………………. 207 § 46. Аппроксимация подынтегральной функции полиномами Лагранжа …………......…………………….. 208 § 47. Формулы Ньютона – Котеса ...….………….…..….. 210 § 48. Интегрирование с помощью степенных рядов …… 214 ГЛАВА 10. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ …………………………................................ 216 § 49. Метод последовательного дифференцирования… 221 § 50. Метод последовательных приближений…………. 223 § 51. Метод последовательных приближений для дифференциальных уравнений высших порядков……… 226 § 52. Метод неопределенных коэффициентов………….. 229 § 53. Метод введения малого параметра………...……… 231 § 54. Методы Рунге – Кутта………………………...……. 232 § 55. Метод Эйлера (метод ломаных)……………...…… 234 § 56. Метод Эйлера – Коши (исправленный метод Эйлера) …………………………... 237 § 57. Модифицированный метод Эйлера…………...…... 240 § 58. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка………..... 242 § 59. Метод Рунге – Кутта для дифференциального уравнений второго порядка……………….…………….. 249 § 60. Метод Адамса ………………..…………………….. 249 ГЛАВА 11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В ЧИСЛЕННОМ АНАЛИЗЕ ...……………………..…….…………..…........... 253 § 61. Определение степенного ряда…………..…………. 253 § 62. Стандартные степенные ряды…………………..…. 255 § 63. Использование стандартных степенных рядов для приближенных вычислений ………………….……… 259 5
ʦˋ˔ˎˈːː˞ˈˏˈ˕ˑˇ˞ II. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ................................ 264 № 1. Элементы теории погрешностей…………………… 265 № 2. Системы линейных алгебраических уравнений.…... 274 № 3. Нелинейные уравнения…………………….……….. 291 № 4. Системы нелинейные уравнений …...……………... 301 № 5. Метод наименьших квадратов …………………….. 311 № 6. Интерполяция……………………………………….. 323 № 7. Численное дифференцирование ………………….. 336 № 8. Численное интегрирование ……………………….. 349 № 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения ….. 356 № 10. Степенные ряды в приближенных методах ……. 366 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ….……………………….... 375 6
ʞʟʔʓʗʠʚʝʑʗʔ ПРЕДИСЛОВИЕ Одним из аспектов профессиональной деятельности инженера является математическое моделирование процессов и явлений в различных областях техники. Для изучения свойств моделей, расчетов их характеристик исследователь должен иметь необходимый набор алгоритмов вычислительной математики, позволяющих успешно решать поставленные задачи и владеть способами их программной реализации. Такие знания необходимы и при использовании современных пакетов прикладных программ, которые в настоящее время получили широкое распространение среди специалистов различных направлений. Привлекательность этих программных продуктов объясняется, в частности, возможностью быстрого получения результата при сравнительно небольших временных затратах на обучение пользователя. Однако «слепое» использование готовых математических программ иногда приводит к побочным негативным эффектам в виде различных сообщений об ошибках и даже к неверным результатам. Для пользователя, знакомого с элементами теории численных методов, лежащих в основе всех математических пакетов, устранение указанных издержек работы не составит труда. Кроме того, следует иметь в виду, что самый совершенный пакет математических программ не сможет исчерпать множество нестандартных ситуаций, возникающих при решении исследовательской задачи. Поэтому создание новых или модификация уже известных подходов к решению задач потребует определённых знаний в области приближённых вычислений, получение которых будет более эффективным, если исследователь владеет основными понятиями высшей математики. Таким образом, изучение методов численного анализа и приобре7
ʦˋ˔ˎˈːː˞ˈˏˈ˕ˑˇ˞ тение опыта их использования определяют профессиональные качества будущего инженера. В книге представлен материал курса численного анализа, предусмотренный программой подготовки инженеров технических специальностей и рассчитанный на изучение методов решения систем линейных уравнений, нелинейных уравнений и их систем, методов теории приближения функций одной переменной и их применения в численном дифференцировании и интегрировании, а также приближенных аналитических и численных методов решения задачи Коши. Среди книг на русском языке, объединяющих систематическое изложение методов вычислительной математики с лабораторными работами известно немного ([12], [20]), и скоро они могут оказаться раритетными в силу ограниченности тиражей. Необходимость пополнения этого небольшого списка изданием «универсального» характера явилось одним из побудительных мотивов для написания настоящего пособия. В рамках ограниченного объёма авторы попытались изложить методы в максимально доступной форме, сохраняя при этом достаточный уровень строгости, отвечающий требованиям подготовки специалистов, для которых вычислительная математика не является профильным предметом. Достигнуты ли указанные цели, судить читателям. Другой особенностью настоящего учебника является изложение целого ряда итерационных методов, рассмотренных в нескольких разделах, на основе принципа сжимающих отображений, использованного для обоснования итерационных схем и установления их сходимости. Автором некоторых доказательств и графического представления интерполяционных полиномов Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя в удобном для восприятия виде является Л. П. Мироненко. Представленный материал следует 8
ʞʟʔʓʗʠʚʝʑʗʔ рассматривать не только как руководство для изучения традиционных численных методов, но и как стартовую платформу для более глубокого освоения предмета. Авторы будут признательны читателям за предложения и критические замечания, которые можно направлять по адресу lok_ig@mail.ru . От авторов. 9
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ 10