Теоретическая механика в вопросах и ответах

В. Д. Бертяев, Л. М. Нечаев, В. Д. Кухарь 
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА  
В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ 
Допущено НМС по теоретической механике в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 
подготовки в области «Инженерное дело, технологии и технические науки» 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2022

УДК 531.1/.2/.3 
ББК 22.21 
Б52 
 
 
Рецензенты: 
доктор физико-математических наук, профессор кафедры  
теоретической механики Московского автомобильно-дорожного  
государственного технического университета (МАДИ) Г. М. Розенблат; 
доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей механики 
Липецкого государственного технического университета (ЛГТУ) В. Б. Пеньков 
 
 
Бертяев, В. Д. 
Б52   
Теоретическая механика в вопросах и ответах : учебное пособие / 
В. Д. Бертяев, Л. М. Нечаев, В. Д. Кухарь. - Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2022. - 240 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-0931-5  
 
Излагаются основные понятия и определения теоретической механики. 
Изложение теоретического материала осуществлено с упором на геометрическую наглядность и не требует специальных знаний высшей математики, кроме 
необходимых. Приводятся основные теоремы, необходимые для дальнейшего 
понимания механических явлений. 
Для студентов вузов всех форм обучения по курсу «Теоретическая механика». 
 
УДК 531.1/.2/.3 
ББК 22.21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-0931-5 
© Бертяев В. Д., Нечаев Л. М., Кухарь В. Д., 2022 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 

Оглавление 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 6 
1. КИНЕМАТИКА ....................................................................................................... 8 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 8 
1.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ ..................................................................................... 8 
1.1.1. Способы задания движения точки 
................................................................ 8 
1.1.2. Скорость точки ............................................................................................. 11 
1.1.3. Ускорение точки 
........................................................................................... 13 
1.1.4. Кинематика точки в частных случаях ортогональных криволинейных 
координат ................................................................................................................ 16 
Вопросы и ответы 
................................................................................................... 21 
1.2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 
................................................................. 27 
1.2.1. Поступательное движение твердого тела .................................................. 28 
1.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси .................................. 29 
Вопросы и ответы 
................................................................................................... 31 
1.2.3. Плоскопараллельное движение твердого тела 
.......................................... 35 
Вопросы и ответы 
................................................................................................... 44 
1.2.4. Сферическое движение твердого тела ....................................................... 48 
Вопросы и ответы 
................................................................................................... 55 
1.2.5. Свободное твердое тело .............................................................................. 58 
Вопросы и ответы 
................................................................................................... 63 
1.3. КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ................................... 64 
1.3.1. Относительное движение точки ................................................................. 64 
Вопросы и ответы 
................................................................................................... 68 
1.3.2. Сложение движений твердого тела ............................................................ 70 
Вопросы и ответы 
................................................................................................... 75 
2. СТАТИКА 
............................................................................................................... 77 
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................ 77 
2.1. АКСИОМЫ СТАТИКИ ..................................................................................... 78 
2.1.1. Аксиома о равновесии твердого тела под действием системы двух сил 
78 
2.1.2. Аксиома параллелограмма сил ................................................................... 79 
2.1.3. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил эквивалентной 
нулю 
......................................................................................................................... 79 
2.1.4. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия ........................... 80 
2.1.5. Аксиома отвердевания 
................................................................................. 80 
2.1.6. Аксиома освобождаемости от связей 
......................................................... 81 
2.2. МОМЕНТ СИЛЫ ............................................................................................... 82 
2.2.1. Момент силы относительно точки на плоскости 
...................................... 82 
ϯ



2.2.2. Векторное представление момента силы................................................... 82 
2.2.3. Момент силы относительно оси ................................................................. 83 
Вопросы и ответы 
................................................................................................... 85 
2.3. ПРОСТЕЙШИЕ СИСТЕМЫ СИЛ 
.................................................................... 88 
2.3.1. Система сходящихся сил ............................................................................. 88 
2.3.2. Системы двух параллельных сил ............................................................... 89 
2.3.3. Система параллельных сил. Центр параллельных сил ............................ 93 
2.3.4. Распределенные силы .................................................................................. 94 
2.3.5. Центр тяжести............................................................................................... 96 
2.3.6. Методы определения центра тяжести 
........................................................ 97 
Вопросы и ответы 
................................................................................................... 98 
2.4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИЛ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ 
............ 102 
2.4.1. Основная теорема статики ........................................................................ 102 
2.4.2. Инварианты системы сил .......................................................................... 104 
2.4.3. Условия равновесия произвольной системы сил 
.................................... 106 
Вопросы и ответы 
................................................................................................. 110 
2.5. СИЛЫ ТРЕНИЯ 
................................................................................................ 116 
2.5.1. Трение скольжения .................................................................................... 116 
2.5.2. Угол и конус трения 
................................................................................... 118 
2.5.3. Трение качения ........................................................................................... 118 
Вопросы и ответы 
................................................................................................. 120 
3. ДИНАМИКА 
........................................................................................................ 122 
3.1. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 
.................................................... 122 
3.1.1. Динамика свободной материальной точки 
.............................................. 122 
3.1.2. Динамика несвободной материальной точки 
.......................................... 126 
3.1.3. Динамика относительного движения точки 
............................................ 130 
Вопросы и ответы 
................................................................................................. 134 
3.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИКИ 
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 
................................................................................ 139 
3.2.1. Cвязи и их классификация ........................................................................ 139 
3.2.2. Возможные (виртуальные) перемещения 
................................................ 140 
3.2.3. Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы 
.............. 140 
3.2.4. Основные динамические величины механической системы 
................. 141 
Вопросы и ответы 
................................................................................................. 152 
3.3. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 
................... 166 
3.3.1. Дифференциальные уравнения движения механической системы ...... 166 
3.3.2. Общие теоремы и принципы динамики 
................................................... 166 
3.3.3. Закон сохранения механической энергии для точки и системы ........... 168 
ϰ



Вопросы и ответы 
................................................................................................. 171 
3.4. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ................................................................... 182 
3.4.1. Поступательное движение твердого тела ................................................ 182 
3.4.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси ................................ 182 
3.4.3. Плоское движение твердого тела ............................................................. 184 
3.4.4. Сферическое движение твердого тела ..................................................... 185 
3.4.5. Общий случай движения твердого тела 
................................................... 187 
Вопросы и ответы 
................................................................................................. 189 
3.5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ ............................................... 194 
3.5.1. Основные понятия и определения 
............................................................ 194 
3.5.2. Уравнение Лагранжа II рода для механической системы 
...................... 197 
3.5.3. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы ..... 198 
3.5.4. Затухающие колебания системы с одной степенью свободы ............... 199 
3.5.5. Вынужденные колебания с одной степенью свободы ........................... 201 
Вопросы и ответы 
................................................................................................. 213 
ПРИЛОЖЕНИЕ ....................................................................................................... 218 
П. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ .......................... 218 
П. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 
.................................................... 231 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
....................................................................................... 238 

 
 
ϱ



ВВЕДЕНИЕ 
Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнообразные задачи, связанные с расчетом различных сооружений (зданий, мостов, 
и т.п.), с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин, механизмов, двигателей и т.п. Несмотря на разнообразие всех этих проблем, решение их в определенной части основывается на некоторых общих 
принципах и имеет общую научную базу. Все это объясняется тем, что в указанных задачах значительное место занимают вопросы, требующие изучения 
законов движения или равновесия тех или иных материальных объектов.  
Наука о законах движения и равновесия материальных тел, и о происходящих при этом взаимодействиях между ними, называется общей механикой 
(от греческого  
Ȓ
μηχανικ  (mechanike) - искусство построения машин). 
Теоретической механикой называют такой раздел общей механики, в котором исследуются механические движения материальных тел со скоростями, 
малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. При этом движения рассматриваются без учета специальных физических свойств материальных объектов (электропроводность, теплопроводность, деформируемость и т.п.). 
Механическим движением или механической формой движения называется процесс непрерывного изменения положения материальных тел (или частей тела) в пространстве относительно друг друга.  
Из определения механического движения следует, что говорить об изменении положения тела можно лишь по отношению к какому- либо другому телу. Положение искомого тела по отношению к другому телу определяется с 
помощью некоторой системы координат, неизменно связанной с твердым телом. Такую систему координат называют системой отсчета, а твердое тело - телом отсчета. Система отсчета называется основной или «абсолютной», если в 
рассматриваемой задаче можно не учитывать движение этой системы. 
Движение материальных тел совершается в пространстве и времени. В 
механике моделью реального пространства считается евклидово трехмерное 
пространство. Геометрические свойства этого пространства одинаковы во всех 
направлениях, т. е. это пространство однородно и изотропно. 
Отражением реального времени считается абсолютное время, т. е. время, 
протекающее одинаково во всех системах отсчета. За единицу времени принимается одна секунда, приближенно определяемая как 1 24 60 60
⋅
⋅
 часть средних 
солнечных суток. 
В классической механике метрические свойства пространства и времени 
считаются независимыми от движущейся материи, поэтому трехмерное евклидово пространство и абсолютное время лишь приближенно отражают реальные 
свойства пространства и времени. Однако это приближение дает достаточную 
для практики точность при изучении движений, рассматриваемых в механике 
Ньютона, т. е. движений со скоростями намного меньшими скорости распространения света. 
ϲ



На основе теоретической механики изучается механика деформируемых 
тел: сопротивление материалов, теория машин и механизмов, теория упругости, 
пластичности, механика жидкости и газа, аэродинамика и многие специальные 
дисциплины. 
Математический аппарат механики широко применяется в различных областях науки. Многие разделы математики возникли и развивались под влиянием и в связи с соответствующими потребностями механики, поэтому при изучении механики можно получить наглядное, яркое и убедительное представление об этих разделах математики, так как при этом за формулами видны глубокие, содержательные связи, а математические величины наделяются ясным механическим смыслом. 
ϳ



1. КИНЕМАТИКА 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Кинематика (от греческого κινειν  (kinematos) - движение) - раздел теоретической механики, в котором определяются геометрические параметры механического движения материальных объектов. 
В основании кинематики лежат аксиомы геометрии Евклида. Для обоснования кинематики не нужны какие-либо новые аксиомы, т. к. кинематика отличается от геометрии лишь тем, что движение в ней изучается во времени. 
В кинематике не рассматривают физические причины возникновения 
движения. Поэтому для нахождения параметров движения объекта, нужно задать это движение. Кинематически задать движения объекта означает, что 
необходимо определить функции, позволяющие найти положение любой его 
точки в произвольный момент времени в выбранной системе отсчета. 
Основными объектами механики являются материальная точка и абсолютно твердое тело (твердое тело), которые являются приближенными отображениями реальных материальных тел. 
Частица вещества, заключенная внутри столь малой сферы, что положение этой сферы вполне определяется положением ее центра, называется материальной точкой. В ряде задач механики понятие материальной точки обобщается. Если условия задачи таковы, что можно пренебречь размерами тела, то 
это тело можно рассматривать как материальную точку. В кинематике понятие 
материальной точки тождественно понятию геометрической точки не обладающей массой. 
 
1.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 
 
1.1.1. Способы задания движения точки 
 
Существуют несколько способов задания движения точки: векторный, 
координатный и естественный. Эти способы взаимосвязаны, т. е. возможен переход от одного способа к другому. 
 
1) Векторный способ 
Положение точки определяется радиус - вектором r  (рис. 1.1), проведенным в данную точку из неподвижного начала отсчета. 
( )
( )
r
r t
OM t
=
=
. 
С течением времени радиус-вектор будет изменяться по величине и 
направлению, поэтому он является некоторой заданной векторной функцией 
времени, которая должна быть непрерывной, однозначной и, по крайней мере, 
ϴ



диффере
мой. Ради
иус-векто
тавляет с
собой ве
екторную
ю 
дважды 
функцию
енцируем
и и являет
тся уравн
нением дв
ор предст
вижения т
екторной 
форме. 
Не
ая кривая
я, с точка
рой в каж
точки в ве
ждый мом
мент врем
мени совю времени
епрерывна
движущая
яся точка
, называе
ами котор
ется траек
Траектор
ое, т. к. по
ению к ра
азличным
кторией. 
 системам
м отсчета
рия понят
а точка бу
тие отноудет опи-
-
-
падает д
сительно
сывать р
разные кри
о отноше
ивые.  
-
Гео
ометриче
еское мес
сто конц
цов перем
менного в
вектора н
называет
тся годоким обра
азом, трае
ектория то
очки есть
ь годограф
ф радиус-вектора э
этой точ-
графом. 
Так
Координ
натный с
ки. 
 
2)
Рад
диус-вект
тор r
r
=
ет быть п
представл
ен его пр
роекциям
ми на оси
и 
способ 
( )
t  може
ной коорд
динатной 
системы 
). Наибол
лее часто 
использу
уются дея прямоуг
гольная си
истема и 
(рис. 1.1)
системы 
ортогона
альных кр
риволине
ейных ко-
-
(полярны
ые, цилин
ндрически
ие и сфер
рические)
. В этом с
случае по
оложение
ейся точк
ки относи
выбранно
мы отсче
ета опред
делится в
е 
в 
выбранн
картовая
ординат 
движуще
каждый м
момент в
ремени ее
ительно в
е декарто
овыми коо
ой систем
ординатам
1.1, а): 
ми (рис. 1
,  
( ),
x
x t
=
( ),
y
y t
=
( )
,
,
z
z t
=
или крив
волинейны
ыми коор
рдинатами
и (рис. 1.1
( )
1
,
q t
q
=
( )
2
2
q
q
t
=
).
t
 
Фу
ункции x
ны быть о
однознач-
1
q
( )
( )
2
,
t
y
t
)
( )
, z t  ил
ли
( )
1
,
q t
q
1, б) 
(
3
3
, q
q
=
( )
(
2
3
,
q
t
q
( )
t  должн
ными, не
ными и, по
й мере, дв
важды диф
фференци
и. 
В д
епрерывн
декартовы
ых коорди
о крайней
инатах ра
адиус-вект
тор точки
и будет им
ируемыми
меть вид 
r
yj
zk
+
+
 
) 
(1.1)
,
k
( ,
r
r x
y
=
)
,
y
z
xi
=
иничные 
орты, зад
дающие о
ориентаци
ию осей д
декартово
ой систе-
, k  - еди
динат. 
где ,
i
j
мы коорд
 
 
Рис. 
1.1. Движе
ение матер
риальной т
точки:  
а) в де
екартовых
х координат
тах, б) в кр
риволинейн
ных координ
инатах 
 
ие (1.1) за
язь между
у векторны
ым и коор
рдинатны
ым спосо-
Со
адает свя
ки. 
бом зада
оотношени
ания движ
жения точ
ϵ



В ортогональных криволинейных координатах радиус-вектор 
 
(
)
1
2
3
1 1
2
2
3 3
,
,
,
1,3
i
i
r
r q
q
q
re
r e
r e
re
i
=
=
+
+
=
=
, 
(1.2) 
где 
(
)
1
2
3
,
,
,
1,3
i
i
r
r q
q
q
i
=
=
 - компоненты вектора в криволинейных ортогональных координатах, 
1
r
e
h
q
∂
=
∂
 - единичный ортогональный криволинейный 
i
i
i
базис, а
i
h  - коэффициенты Ламе, определяемые выражениями 
 
2
2
2
,
1,3.
i
i
i
i
i
r
x
y
z
h
i
q
q
q
q
§
·
§
·
§
·
∂
∂
∂
∂
=
=
+
+
=
¨
¸
¨
¸
¨
¸
∂
∂
∂
∂
©
¹
©
¹
©
¹
 
(1.3) 
Уравнения движения точки в координатной форме можно рассматривать 
и как уравнения траектории в параметрическом виде. Если исключить из этих 
уравнений параметр t , например, найти функцию 
( )
t
x
ϕ
=
, то получим уравнение траектории, как пересечение двух цилиндрических поверхностей 
 
(
)
(
)
1
2
,
0,
,
0.
x
y
x z
π
π
=
=
 
(1.4) 
Число независимых координат, определяющих положение точки в пространстве в любой момент времени, называется числом степеней свободы. Так, 
точка, произвольно движущаяся в пространстве, имеет три степени свободы. 
Если движение точки происходит по поверхности (
)
,
,
0
x
y
z
π
=
, то на ее 
координаты накладывается одно дополнительное ограничение, задаваемое 
уравнением этой поверхности, которое называется геометрической связью 
(уравнением геометрической связи). Число степеней свободы в этом случае 
становится равным двум, так как третью координату можно найти из уравнения 
связи.  
При движении точки по заданной кривой, определяемой, например, уравнениями (1.4), число степеней свободы становится равной единице, так как 
остальные координаты можно найти из уравнений связи. 
 
3) Естественный способ 
Если известна траектория точки, заданы уравнения (1.4), то ее движение 
удобно задать естественным способом (рис. 1.2). Для этого на траектории 
назначают начало отсчета (точка O), направление отсчета и записывают зависимость дуговой координаты s от времени t  
q
( ).
OM
s t
=
 
Функция 
( )
s
s t
=
 по самой природе механического движения должна 
быть непрерывной, однозначной и дважды диференцируемой. 
 
ϭϬ