Сопротивление материалов

Ш. А. Салахутдинов, С. А. Одинцова, Д. В. Шейкман 
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 
Учебное пособие 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2022 
1 

УДК 539.3/.6 
ББК 30.121  
С16 
Печатается по решению редакционноиздательского совета Уральского государственного 
лесотехнического университета 
Рецензенты: 
доктор технических наук, профессор (кафедра ТМ ФГАОУ ВО «РГППУ») 
В. А. Копнов; 
генеральный директор ООО «Шталь-Сервис» С. И. Смирнов 
С16 
Салахутдинов, Ш. А. 
Сопротивление материалов : учебное пособие / Ш. А. Салахутдинов, С. А. Одинцова, Д. В. Шейкман. - Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2022. - 192 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1075-5 
Содержатся теоретические сведения и подробное решение задач  
по основным темам курса сопротивления материалов, а также задачи  
для самостоятельного решения контрольных работ.  
Для студентов, обучающихся по направлениям:  08.03.01  «Строительство», 15.03.02 «Технологические машины и оборудование», 23.03.01 
«Технология транспортных процессов», 23.03.02 «Наземные транспортнотехнологические комплексы», 23.03.03 «Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов», 35.03.01 «Лесное дело», 35.03.02 
«Технология лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств», изучающих дисциплину «Сопротивление материалов»,  выполняющих контрольные работы по темам курса и работы, связанные с 
расчетом элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. 
УДК 539.3/.6 
ББК 30.121 
ISBN 978-5-9729-1075-5 
” Салахутдинов Ш. А., Одинцова С. А., Шейкман Д. В., 2022 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
2 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Выполнение контрольных работ является важнейшей составной частью изучения дисциплины «Сопротивление материалов». Их цель - 
углубленное усвоение студентами программного материала, приобретение 
навыков проведения инженерных расчетов, пользования справочной литературой и выработка умения правильно оформлять техническую документацию. Контрольные работы охватывают наиболее важные темы учебной 
программы изучаемой дисциплины. 
Для каждой работы даются формулировка содержания задания, расчетная схема и численные данные в двух таблицах. Номер строки или 
столбца с номером варианта задания и числовыми данными в каждой таблице выбирается в соответствии с первой или второй цифрой двузначного 
шифра зачетной книжки студента. Это могут быть, например, две последние цифры ее номера. Результаты работы оформляются в виде пояснительной записки, включающей расчеты и графический материал. 
Основная цель, которую преследует это пособие - дать подробное  
с максимальным количеством пояснений решение основных типовых задач, причем сначала самых простых и наиболее подробно, а затем с увеличением сложности задач решение дается более схематично. Поэтому 
при изучении каждой темы необходимо последовательно ознакомиться  
с теорией и решением всех задач. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 
 
А 
 
- площадь сечения брутто; 
Аbn 
 
- площадь сечения болта нетто; 
Аn 
 
- площадь нетто; 
Апес 
 
- необходимая площадь; 
Е 
 
- модуль продольной упругости; 
F 
 
- сила; 
G 
 
- модуль сдвига; 
Iх, Iу 
 
- осевые моменты инерции относительно осей x и y; 
Iхn, Iyn  
- то же, сечения нетто; 
М, My, Mz - момент, изгибающие моменты относительно осей y–y и z–z 
соответственно;  
T 
 
- крутящий момент; 
N 
 
- продольная (нормальная) сила; 
Q 
 
- поперечная сила; 
Rbp 
 
- расчетное сопротивление смятию болтовых соединений; 
Rbs 
 
- расчетное сопротивление срезу болтов; 
Rbt 
 
- расчетное сопротивление болтов растяжению; 
Rs 
 
- расчетное сопротивление стали сдвигу; 
Ru 
 
- расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию,   
изгибу по временному сопротивлению; 
Run 
 
- временное сопротивление стали разрыву, принимаемое  
равным минимальному значению 
b
V  по государственным 
стандартам и техническим условиям на сталь; 
Ry 
 
- расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию,  
изгибу по пределу текучести; 
Ryn 
- предел текучести, принимаемый равным значению предела 
текучести по государственным стандартам и техническим 
условиям для стали; 
Rt 
 
- расчетное сопротивление чугуна растяжению; 
Rc 
 
- расчетное сопротивление чугуна сжатию; 
[V] 
 
- допускаемое нормальное напряжение (или 
adm
V
); 
[W] 
 
- допускаемое касательное напряжение (или 
adm
W
); 
Ht 
 
- поперечная деформация; 
4 
 

Hel 
 
- упругая деформация; 
4 
 
- относительный угол закручивания; 
Rb  
- расчетные сопротивления бетона осевому сжатию  
для предельного состояния первой группы; 
Rbt 
- расчетные сопротивления бетона осевому растяжению  
для предельного состояния первой группы; 
Eb 
- начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяжении; 
Ab 
- площадь сжатой зоны бетона; 
Ak 
- площадь сечения каменной кладки; 
Eo 
- модуль упругости каменной кладки; 
Ncal 
- расчетная несущая способность; 
R 
- расчетные сопротивления сжатию кладки; 
Rtb 
- расчетное сопротивление растяжению при изгибе кладки; 
Wx, Wy, Wz - моменты сопротивления сечения относительно осей x–x, y–y  
и z–z соответственно; 
b 
- ширина; 
t 
- толщина; 
e 
- эксцентриситет приложения силы; 
ik, iy, iz 
- радиусы инерции сечения относительно соответствующих 
осей; 
imin 
- наименьший радиус инерции сечения; 
l 
- длина, пролет; 
lef 
- расчетная (условная) длина; 
lw 
- длина сварного шва; 
Jc 
- коэффициент условной работы; 
O 
- гибкость (
m in
/
ef
l
i
O  
);  
Q 
- коэффициент Пуассона; 
Vx, Vy 
- нормальные напряжения на площадках с нормалями  
параллельными осям x и y; 
W, Wa, Wxy 
 - касательное напряжение; 
Vy 
- предел текучести;  
Vut 
- предел прочности при растяжении материала; 
Vuc 
- предел прочности при сжатии; 
Vcr 
- критическое напряжение; 
M 
- коэффициент продольного изгиба. 
5 
 

ЧАСТЬ I 
 
ГЛАВА 1 
 
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ  
 
Дисциплина «Сопротивление материалов» – это введение в науку  
о прочности, жесткости и надежности элементов, конструкций, приборов 
и машин. Это фундаментальная дисциплина общеинженерной подготовки 
специалистов с высшим техническим образованием. 
Сопротивление материалов - это первая дисциплина, устанавливающая связь между фундаментальными научными знаниями (физикой, высшей математикой и теоретической механикой) и прикладными задачами, 
возникающими при проектировании машин, приборов и конструкций. 
Практически все специальные дисциплины подготовки инженеров по разным специальностям содержат разделы курса сопротивления материалов, 
так как создание работоспособной техники невозможно без анализа и 
оценки ее прочности, жесткости и надежности. 
Повышение эффективности и надежности машин при уменьшении 
материалоемкости, создание новой техники, рассчитанной на эксплуатацию в экстремальных условиях при больших нагрузках (статических и 
динамических, детерминированных и случайных), высоких температурах, 
импульсных и ударных воздействиях требуют глубоких знаний в области 
прочности. Без понимания физики, поведения элементов конструкций   
нагруженных силами, рассчитать конструкцию с достаточной прочностью, 
жесткостью и надежностью, невозможно [1-4]. 
Прочность и надежность проектируемых конструкций зависят от учета 
всех особенностей реальных условий эксплуатации, так как чем точнее 
математическая модель объекта, тем достовернее результаты численного 
решения уравнений «состояния» и точнее прогнозирование прочности и 
надежности новой техники. 
Современная вычислительная техника позволяет решать самые 
сложные задачи анализа прочности без упрощения математических 
моделей, что резко повышает достоверность получаемых результатов и 
значимость курса сопротивления материалов в подготовке специалистов 
высокого класса. Развитие нового научного направления - механотроники, объединяющей механику и электронику в единую систему 
(манипуляторы, роботы), стало возможным только благодаря появившейся возможности проводить высокоточные расчеты механических 
элементов механотронных систем. 
6 
 

Сопротивление материалов - это дисциплина, которая позволяет 
студентам понять, что происходит внутри элементов конструкции  
при нагружении. В этом основное качественное отличие этой дисциплины 
от теоретической механики, которая рассматривает объекты как абсолютно прочные и жесткие. Поэтому считается, что при любых нагрузках они 
сохраняют свою форму и не разрушаются. Однако, к сожалению, это 
далеко не так. Но без знания теоретической механики нельзя решить  
ни одной задачи по сопротивлению материалов, поэтому курс теоретической механики должен обязательно предшествовать курсу сопротивления материалов. Так как традиционно в курсе сопротивления 
материалов излагаются в основном методы расчета элементов конструкций при статических нагрузках, то студенты должны хорошо знать основные законы статики. 
Все твердые тела в той или иной мере обладают свойствами 
прочности и жесткости, т. е. способны в определенных пределах воспринимать воздействие внешних сил без разрушения и существенного 
изменения геометрических размеров. Эти свойства предметов привлекали 
внимание человека еще в те далекие времена, когда он пробовал 
изготовить первые примитивные орудия труда и предметы хозяйственного 
обихода. Эти свойства волнуют специалистов и сейчас, например,  
при создании современных машин и гигантских инженерных сооружений. 
При этом главной задачей курса является формирование знаний  
для применения математического аппарата при решении прикладных 
задач, для осмысления полученных численных результатов, поиска и 
выбора наиболее конструктивных оптимальных решений. То есть данный 
курс является базовым для формирования инженерного мышления и 
подготовки кадров высшей квалификации по техническим специализациям. 
Эта дисциплина в учебных планах технических университетов играет 
несколько ролей. Во-первых, с ее помощью студент впервые вводится  
в круг расчетов на прочность и жесткость конструкций, которые получают 
дальнейшее развитие в специальных учебных дисциплинах на старших 
курсах. Во-вторых,  имеет самостоятельное применение в инженерной 
практике, потому представленная в ней система оценок надежности 
вполне достаточна для решения проблемы целиком, начиная с определения всех внешних сил, действующих на конструкционный элемент, и 
заканчивая рекомендациями об оптимальных значениях его поперечных 
размеров. 
Сопротивление материалов - это азбука расчетов на прочность. 
Имеется много более сложных дисциплин, также изучающих прочность: 
теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, теория 
7 
 

оболочек, механика разрушения и др. Если теоретическая механика 
рассматривает абсолютно твердые тела, то в сопротивлении материалов 
учитывается, что элементы конструкций под действием внешних сил 
изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются. 
Прочность - это способность элемента конструкции сопротивляться 
внешним воздействиям, не разрушаясь. 
Жесткость - это способность конструкции сохранять исходную 
форму в заданных (обычно весьма малых) пределах. 
Устойчивость - это способность конструкции сохранять первоначальную форму равновесия. 
Теоретическая часть курса сопротивления материалов базируется  
на теоретической механике и математике, а экспериментальная - на физике и материаловедении. 
Чтобы конструкция отвечала требованиям прочности, жесткости и 
устойчивости, т. е. была надежной в эксплуатации и экономичной, ее 
элементы должны иметь рациональную форму и размеры, для чего 
необходимо знать свойства материала, из которого конструкция будет 
изготовлена. 
Увеличение размеров конструкции не всегда приводит к повышению 
прочности, так как при этом повышается ее масса, а в случае движущихся 
деталей - возрастают силы инерции. При проектировании необходимо 
учитывать как технологические, так и экономические факторы, поскольку 
машины или сооружения должны быть прочными и надежными в эксплуатации и в то же время - легкими и дешевыми. 
В результате изучения курса сопротивления материалов студенты 
должны знать основные понятия о прочности и деформации реальных 
материалов, применяемых в машиностроении, получить практические 
навыки в определении механических характеристик материалов и 
деформации нагружения элементов. Студенты должны научиться решать 
конкретные инженерные задачи по расчету элементов конструкций, 
находящихся как при статических, так и при динамических нагрузках.   
При решении задач упругого расчета сооружений исходными положениями в сопротивлении материалов являются: 
1) предположения об идеальной упругости, изотропности и непрерывности материала, из которого состоит сооружение; 
2) применение линейной связи между напряжениями и деформациями 
(закон Гука); 
3) применение принципа независимости действия сил, согласно которому результат действия систем сил равен сумме результатов действия 
отдельных сил.  
 
 
8 
 

ГЛАВА 2 
 
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 
 
2.1. Напряжения и продольная деформация 
при растяжении и сжатии 
 
Растяжением или сжатием называется такой вид деформации,  
при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Брус с прямолинейной осью (прямой брус), работающий  
на растяжение или сжатие, часто называют стержнем. 
Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, 
вдоль оси которого действуют активные силы F и 2F (рис. 1). В дальнейшем все векторные величины будем обозначать их модулями. 
Части бруса постоянного сечения, заключенные между поперечными 
плоскостями, в которых приложены активные или реактивные силы, будем называть участками. Изображенный на рис. 1 брус состоит из двух 
участков. Применив метод сечений, определим продольные силы 
1
N  и 
2
N  
на участках. Рассечем брус на первом участке поперечным сечением 1–1. 
 
 
Рис. 1 
 
Во всех точках бруса будут действовать внутренние распределенные 
силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной 
из частей бруса (например, правой от сечения): 
 
1
0; 2
0,
 
Z
F
F
N
 


 
¦
 
(1) 
откуда 
 
1
2
.
N
F
F
F
 

 
 
(2) 
9 
 

 
Мы видим, что для равновесия оставленной части бруса в сечении 1–1 
необходимо приложить только силу 
1
N , направленную вдоль оси, т. е. продольную силу. 
Продольная сила есть равнодействующая внутренних нормальных 
сил, возникающих в поперечном сечении бруса. Нетрудно понять, что  
в сечении 2–2 на втором участке продольная сила будет иметь другое значение: 
2
2
N
F
 
. Таким образом, продольная сила в поперечном сечении 
бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных 
по одну сторону сечения (имеется в виду, что все силы направлены вдоль 
оси бруса). 
Очевидно, что в пределах одного участка продольная сила будет 
иметь постоянное значение. Следует помнить, что, рассматривая равновесие части бруса, расположенной не справа, а слева от сечения, мы должны 
были ввести в уравнение равновесия реакцию защемленного конца, определенную путем рассмотрения равновесия всего бруса [2-6]. 
Далее, растягивающие (направленные от сечения) продольные силы, 
будем считать положительными, а сжимающие (направленные к сечению) - отрицательными. Значит, если равнодействующая внешних сил, 
приложенных к левой части бруса, направлена влево, а приложенные  
к правой части - вправо, то продольная сила в этом сечении будет 
положительной, и наоборот. 
При изучении ряда деформаций мы будем мысленно представлять 
себе брусья состоящими из бесчисленного количества волокон, параллельных оси, и предполагать, что при деформации растяжения и сжатия 
волокна не надавливают друг на друга (это предположение называется 
гипотезой о ненадавливании волокон). 
Если изготовить прямой брус из резины (для большей наглядности), 
нанести на его поверхности сетку продольных и поперечных линий и подвергнуть брус деформации растяжения, то можно отметить следующее:  
1) поперечные линии останутся в плоскостях, перпендикулярных оси,  
а расстояния между ними увеличатся; 2) продольные линии останутся 
прямыми, а расстояния между ними уменьшатся. 
Из этого опыта можно сделать вывод, что при растяжении справедлива гипотеза плоских сечений, следовательно, все волокна бруса удлиняются на одну и ту же величину, т. е. фактически подтверждается гипотеза 
Бернулли: поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси 
до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации.  
Все сказанное выше позволяет сделать вывод, что при растяжении и 
сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные 
10