Расчеты на прочность - это просто!

В. Б. Порошин 
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ – ЭТО ПРОСТО 
Учебное пособие 
4-е издание, переработанное и дополненное
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2022 

УДК 539.4(075.8) 
ББК 22.251 
П59 
Р е ц е н з е н  т ы : 
главный научный сотрудник ФГУП «РФЯЦ-ВНИИТФ»  
доктор технических наук А. П. Журавлев; 
заведующий  кафедрой прикладной механики ЮУрГАУ доцент,  
кандидат технических наук М. А. Гутров 
Порошин, В. Б. 
П59 
Расчеты на прочность – это просто : учебное пособие / В. Б. Порошин. – 4-е изд., перераб. и доп. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 
2022. – 76 с. : ил., табл.  
ISBN 978-5-9729-0871-4 
Рассмотрены анализ внутренних силовых факторов в стержневых системах 
и подход к расчетам на прочность по допускаемым напряжениям. Приведены 
примеры построения эпюр внутренних силовых факторов и расчетов на прочность при простых видах нагружения: растяжении-сжатии, поперечном изгибе 
(для пластичного и хрупкого материалов), кручении. Особое внимание уделено 
условным расчетам на прочность элементов узлов и соединений. Представлены 
расчетные зависимости для определения нормальных и касательных напряжений 
при простых видах нагружения и объемные эпюры их распределения по сечению; справочные данные, касающиеся механических характеристик некоторых 
марок сталей, сплавов цветных и легких металлов, серых чугунов, а также необходимые при решении задач геометрические характеристики простейших сечений. 
Для студентов, изучающих сопротивление материалов в курсах прикладной и технической механики. 
УДК 539.4(075.8) 
ББК 22.251 
ISBN 978-5-9729-0871-4 
© Порошин В. Б., 2022 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
2 

СОДЕРЖАНИЕ 
ОТ АВТОРА 
................................................................................................................. 4 
1. ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ПРОЧНОСТИ ПО ДОПУСКАЕМЫМ  
НАПРЯЖЕНИЯМ ................................................................................................... 5 
2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЕЧЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ВНУТРЕННИХ  
СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ 
................................ 6 
2.1. Простые виды нагружения .................................................................................. 8 
2.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов 
с помощью метода сечений 
................................................................................. 9 
3. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПО ДОПУСКАЕМЫМ 
НАПРЯЖЕНИЯМ ................................................................................................. 22 
3.1. Опасные и допускаемые напряжения .............................................................. 22 
3.2. Коэффициент запаса прочности – фактический и нормативный  
................. 23 
3.3. Типы расчета на прочность ............................................................................... 26 
3.4. Примеры расчетов на прочность по допускаемому напряжению 
................. 27 
4. УСЛОВНЫЕ РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ………………………… 
.............. 43 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………... ............. 68 
ПРИЛОЖЕНИЯ 
Приложение 1. ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ  
И ХАРАКТЕР ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО СЕЧЕНИЮ  
ПРИ ПРОСТЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ .... ............................. 69 
Приложение 2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ И СОПРОТИВЛЕНИЯ 
НЕКОТОРЫХ СЕЧЕНИЙ  
............................................................. 71 
Приложение 3. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ  
МАРОК СТАЛЕЙ, СЕРЫХ ЧУГУНОВ  
И СПЛАВОВ ЦВЕТНЫХ И ЛЕГКИХ МЕТАЛЛОВ 
.................. 72 
Приложение 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА  
ПРОЧНОСТИ ПРИ СДВИГЕ ........................................................ 73 
3 

ОТ АВТОРА 
Пособие, которое Вы держите в руках, адресовано студентам немеханических специальностей всех факультетов, изучающих Сопротивление материалов или Прикладную (Техническую) механику в течение одного семестра. 
Пособие, конечно, лишь дополняет лекционный курс, ни в коем случае 
не заменяя его, поскольку в нем обсуждаются всего два раздела: анализ внутренних силовых факторов в стержневых системах и принципы расчетов на 
прочность по допускаемым напряжениям. Именно с ними приходится особенно часто иметь дело при выполнении курсовой работы или расчетно-графических заданий и, конечно, на экзамене. Не случайно бyльшую часть пособия занимают примеры, что позволяет рекомендовать его, в первую очередь, для самостоятельной работы. 
Многолетний опыт свидетельствует, что первый из этих разделов вызывает затруднение, в основном, потому, что он первый и закладывает основы 
понимания (или непонимания) всего курса. Что же касается второго, то ни  
с каким другим вопросом не возникает большей путаницы, чем с расчетами 
на прочность; попытки вычислить нормативный коэффициент запаса прочности стали уже притчей во языцех и караются беспощадно – потому, что 
«вычислитель» просто не понимает смысла того, что он делает. К тому же на 
эти обстоятельства накладываются осложнения субъективного характера: на 
некоторых специальностях курс изучается в весеннем семестре, когда солнышко сияет, птички чирикают, студенты гуляют парами – по три пары  
в день, а при всем при этом сдача сопромата, как известно, есть непременное 
условие будущей благополучной семейной жизни. 
Все сказанное и побудило автора рассказать об этом предмете пусть не 
очень строго, зато просто и понятно, в форме разговора с авторитетным в 
данной области человеком, назовем его Наставником. 
Кстати, вот он, прошу любить и жаловать. 
Вопросы ему мы будем задавать 
, а уж отвечать он будет по-русски, иначе понять что-либо будет очень 
трудно: представьте себе – сопромат по-древнегречески 
Термины, понятия и определения в тексте набраны 
курсивом, а моменты, на которые необходимо обратить 
особое внимание – жирным шрифтом. 
Ну, кажется, все, о чем следовало бы договориться 
предварительно, сказано. А теперь к делу Первый вопрос. 
4 

1. ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ПРОЧНОСТИ 
ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ 
Под прочностью в широком смысле понимают способность конструкции или отдельных ее частей выдерживать заданную нагрузку не разрушаясь и без проявления остаточных деформаций, нарушающих работоспособность изделия. 
В курсе сопротивления материалов получают зависимости (приложение 1), с помощью которых можно рассчитать напряжения в конструкции. 
Определение этого понятия посмотрите в своем конспекте лекций или учебнике. Однако сама по себе величина напряжения еще мало о чем говорит. 
Пусть в некоторой области детали напряжение оказалось равным, например, 
250 МПа (мегапаскалям). Много это или мало" Будет деталь работать или 
нет" Все зависит от механических свойств материала; для малоуглеродистой 
стали Ст.3 такое напряжение приведет к чрезмерной деформации и, как следствие, потере работоспособности. Деталь же из легированной стали, скажем, 
40ХН при таких напряжениях вполне работоспособна. 
Таким образом, оценка прочности 
обязательно включает две стороны: 
– определение действующих в конструкции напряжений, зависящих от 
внешней нагрузки и геометрических 
параметров системы; 
– назначение максимально возможного, допустимого (из соображений 
надежности) напряжения, зависящего от 
прочностных свойств материала и ответственности конструкции, 
– и, наконец, сопоставление действующего и максимально допустимого напряжений. 
Первый этап – определение действующих напряжений – начинается  
с анализа нагруженности объекта. Под нагруженностью понимается распределение внутренних усилий вдоль оси стержня (именно с такими, пожалуй, самыми простыми телами, будем иметь дело в нашем курсе). С этой 
целью в сопротивлении материалов применяется так называемый метод  
сечений. 
5 

 
 
2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СЕЧЕНИЙ  
ДЛЯ АНАЛИЗА ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ 
В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ 
 
Рис. 2. Внутренние силовые 
факторы в поперечном  
сечении тела (k<n) 
Рис. 1. Твердое тело находится в 
равновесии под действием системы 
обобщенных нагрузок {Fi }n 
 
Пусть твердое тело (рис. 1) находится в равновесии под действием 
приложенных к нему n внешних нагрузок (активных и реактивных – 
реакций отброшенных связей). Роль нагрузки может играть любое воздействие – сосредоточенная (приложенная в точке) сила, сила, распределенная 
вдоль линии, по поверхности или объему тела, или же пара сил – сосредоточенная или распределенная. К слову, если вид воздействия – сила ли, момент – не имеет значения, будем использовать термин «усилие». Чтобы 
освежить в памяти эти и некоторые другие основные понятия, загляните  
в учебник, например, [1] или пособие [2]. 
Проведем произвольное поперечное сечение тела и рассмотрим любую 
из двух получившихся частей, например, правую (рис. 2), на которую действует ствует система нагрузок { }
i k
F
 (k<n). В общем случае она окажется 
неуравновешенной. 
 
– А почему вообще твердое тело – твердое, почему оно не распадается 
на части" Всему «виной» взаимодействие отдельных его частиц – атомарного, молекулярного ли характера – сейчас это не важно. Важно лишь, что 
эти внутренние усилия – всегда распределенные, их-то мы и «потеряли», 
разделив части сечением. Понятно, что такая своеобразная реакция матери6 

ала на деформирование возникает только в том случае, когда к объекту прикладываются внешние нагрузки. В связи с этим в сопротивлении материалов принимается гипотеза о начальном ненапряженном состоянии тела. 
Заметим, что в действительности в конструкции могут существовать внутренние усилия и до приложения внешней нагрузки, скажем, после отливки 
заготовки, сварки отдельных частей, механической обработки или в результате неточности сборки. 
В соответствии с известной теоремой статики (теоремой Пуансо) любая система усилий может быть заменена ей эквивалентной – силой и парой 
сил. Силу определяет главный вектор сил ƒ, а момент – вектор главного 
момента Ì исходной системы (см. рис. 2). Представим их в виде составляющих, разложив по ортогональным осям x, y, z: 
,
ƒ  


x
y
N
Q
Q
        
;
 


x
y
T
M
M
Ì
 
x, y, z – главные оси, проведенные через центр тяжести фигуры, представляющей сечение.  
Величины N – нормальная сила; 
y
x Q
,
Q
– горизонтальная и вертикальная составляющие поперечной (или перерезывающей) силы; T – крутящий 
момент; 
y
x M
,
M
 – составляющие изгибающего момента в вертикальной и 
горизонтальной плоскостях, соответственно, носят название «внутренние 
силовые факторы». Внутренние силовые факторы можно рассматривать 
как результат действия левой (отброшенной) части на правую (вспомните: 
«сила есть мера взаимодействия тел»). Они могут быть определены из условия равновесия любой из отсеченных частей (главное, чтобы были известны все – активные и реактивные – действующие на нее внешние 
нагрузки) с помощью известных уравнений статики: 
k
k
l
F
N
M
F
M
M

 


 
0;
0;
 
¦
¦
¦
iz
x
i
jx
x
i
i
j
 
 
 
1
1
1
k
k
l
F
Q
M
F
M
M

 


 
0;
0;
(1) 
 
¦
¦
¦
ix
x
y
i
jy
y
i
i
i
j
 
 
 
1
1
1
k
k
l
F
Q
M
F
M
T

 


 
0;
0;
 
¦
¦
¦
iy
y
z
i
jz
i
i
i
j
 
 
 
1
1
1
 
M j – момент j-й внешней пары сил общим числом l штук, приложенных к 
рассматриваемой части; F, N, Q, M, T – величины скалярного характера.
7 

2.1. Простые виды нагружения 
Разумеется, в сечении могут присутствовать не все шесть внутренних 
силовых факторов одновременно – это зависит от вида внешней нагрузки и 
способа ее приложения. В зависимости от того, какие внутренние силовые 
факторы оказались отличны от нуля, различают несколько простых видов 
нагружения стержня. 
Если в сечении присутствует только нормальная сила N, в стержне реализуется растяжение или сжатие, при этом растягивающая сила считается положительной, а сжимающая – отрицательной (рис. 3). 
Рис. 3. Нормальная сила N в сечении стержня при растяжении–сжатии 
При наличии лишь крутящего момента T говорят о кручении стержня. 
Крутящий момент в сечении, направленный против часовой стрелки, считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным (рис. 4). 
Рис. 4. Образование крутящего момента T в сечении при кручении 
стержня и правило знаков 
Рис. 5. Изгибающий момент M и поперечная сила Q в сечении  
при чистом и поперечном изгибе стержня 
8