Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Расчет деталей, механизмов и систем двигателей внутреннего сгорания математическими методами с применением программы Mathcad

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 791446.01.99
Приведены основы дифференциального и интегрального исчисления функции одной действительной переменной. Рассмотрены дифференциальные уравнения и показано их практическое применение при решении технических задач. Даны примеры расчёта систем двигателей с применением интегральных и дифференциальных уравнений. Вывод формул, определение производных, интегралов, построение графиков даётся как обычными математическими методами, так и с применением системы Mathcad. Дан расчёт цикла тепловозного дизельного двигателя с автоматическим построением индикаторной диаграммы в системе Mathcad. Для студентов технических специальностей при изучении как математики, так и прикладных дисциплин. Может быть полезно инженерам и аспирантам.
Расчет деталей, механизмов и систем двигателей внутреннего сгорания математическими методами с применением программы Mathcad : учебное пособие / Ю. П. Макушев, Т. А. Полякова, В. В. Рындин, Т. Т. Токтаганов ; под. ред. Ю. П. Макушева. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. - 320 с. - ISBN 978-5-9729-0987-2. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1902590 (дата обращения: 23.07.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
РАСЧЕТ ДЕТАЛЕЙ, МЕХАНИЗМОВ И СИСТЕМ ДВИГАТЕЛЕЙ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОГРАММЫ MATHCAD



Учебное пособие


Под редакцией Ю. П. Макушева











Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022


�ДК 621.43:51-7
ББК 31.365+22.1
      Р24

Авторы:
Макушев Ю. П., Полякова Т. А., Рындин В. В., Токтаганов Т. Т.

Рецензенты:
доктор технических наук, профессор Омского государственного технического университета В. В. Шалай;
доктор технических наук, академик Академии транспорта РФ, профессор Омского государственного университета путей сообщения А. И. Володин;
доктор технических наук, профессор Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова А. Н. Нуржауов

Р24 Расчет деталей, механизмов и систем двигателей внутреннего сгорания математическими методами с применением программы Mathcad : учебное пособие / [Макушев Ю. П. и др.] ; под ред. Ю. П. Макушева. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. - 320 с. : ил., табл.
           ISBN 978-5-9729-0987-2

      Приведены основы дифференциального и интегрального исчисления функции одной действительной переменной. Рассмотрены дифференциальные уравнения и показано их практическое применение при решении технических задач. Даны примеры расчёта систем двигателей с применением интегральных и дифференциальных уравнений. Вывод формул, определение производных, интегралов, построение графиков даётся как обычными математическими методами, так и с применением системы Mathcad. Дан расчёт цикла тепловозного дизельного двигателя с автоматическим построением индикаторной диаграммы в системе Mathcad.
      Для студентов технических специальностей при изучении как математики, так и прикладных дисциплин. Может быть полезно инженерам и аспирантам.

                                                      УДК 621.43:51-7
                                                      ББК 31.365+22.1




ISBN 978-5-9729-0987-2

      © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
      © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022


За достоверность материалов, грамматические и орфографические ошибки ответственность несут авторы и со

ставители


�ОДЕРЖАНИЕ



ВВЕДЕНИЕ........................................................7

1. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.................................9
   1.1. Понятие производной функции.............................9
      1.1.1. Физический и геометрический смысл производной.....17
      1.1.2. Основные правила дифференцирования................30
      1.1.3. Производная сложной функции.......................30
      1.1.4. Производная обратной функции......................31
      1.1.5. Производная неявно заданной функции...............35
      1.1.6. Производные функций, заданных параметрически......36
   1.2. Производные высших порядков............................37
      1.2.1. Производные высших порядков явно заданной функции...37
      1.2.2. Производные высших порядков неявно заданной функции.40
      1.2.3. Производные высших порядков функций, заданных параметрически.........................................41
   1.3. Дифференциал.............................................43
      1.3.1. Геометрический и механический смысл дифференциала.47
      1.3.2. Свойства дифференциала............................50
      1.3.3. Дифференциал сложной функции......................50
      1.3.4. Дифференциалы высших порядков.....................51

2. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ................................53
   2.1. Неопределенный интеграл................................53
   2.2. Определенный интеграл..................................60
      2.2.1. Свойства определенного интеграла..................61
      2.2.2. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона - Лейбница.....................................62
   2.3. Приложения определенного интеграла.....................64
      2.3.1. Физические приложения определенного интеграла.....65
      2.3.2. Геометрические приложения определенного интеграла.71

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ..................................87
   3.1. Понятие дифференциального уравнения....................87
   3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.............90
      3.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными............................................90
      3.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.92

3


  3.3. Дифференциальные уравнения высших порядков (линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами)...........................................96
      3.3.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами...........97
      3.3.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами..............100

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ПОРШНЯ
С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ...........................................107
   4.1. Определение пути поршня.................................108
   4.2. Определение скорости поршня.............................110
   4.3. Определение ускорения поршня............................111
   4.4. Приближенные вычисления пути, скорости и ускорения поршня.115

5. РАСЧЕТНОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ В ЦИЛИНДРЕ И ДИАГНОСТИКА ДВИГАТЕЛЯ
ПО ИНДИКАТОРНОЙ ДИАГРАММЕ.......................................118
   5.1. Основные термины и определения..........................118
   5.2. Общее устройство и принцип работы двигателя внутреннего сгорания.................................................119
      5.2.1. Четырехтактный рабочий цикл........................121
      5.2.2. Индикаторная диаграмма двигателя...................122
   5.3. Методика построения индикаторной диаграммы и определение положительной работы при помощи интегрирования...........123
   5.4. Экспериментальное определение давления газов в цилиндре двигателя................................................131
   5.5. Диагностика двигателя по анализу индикаторной диаграммы.132
   5.6. Расчет процесса сгорания топлива........................133

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА..................................................137
   6.1. Расчетно-экспериментальное определение момента инерции части коленчатого вала....................................138
   6.2. Расчетное определение момента инерции элементов коленчатого вала.....................................................139

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА.........................143
   7.1. Расчетно-экспериментальное определение момента инерции
      маховика..................................................144
   7.2. Расчетное определение момента инерции маховика..........145

4


. РАСЧЕТ МАХОВИКА.........................................147
   8.1. Определение момента инерции маховика по результатам динамического расчета двигателя........................147
   8.2. Пример расчета маховика............................152

9. РАСЧЕТ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА ДВИГАТЕЛЯ НА КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ....................................154
   9.1. Свободные крутильные колебания вала с одной массой.154
   9.2. Вынужденные крутильные колебания вала с одной массой........157
   9.3. Последовательность расчета коленчатого вала на крутильные колебания..............................................160
      9.3.1. Приведение крутильной системы вала............160
      9.3.2. Определение частоты собственных крутильных колебаний приведенной системы..................................161
      9.3.3. Определение резонансной критической частоты вращения...162
      9.3.4. Выработка рекомендаций, устраняющих крутильные колебания............................................163

10. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
И ИНТЕГРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИК ПОДАЧИ ТОПЛИВА................166
   10.1. Расчет цикловой подачи топлива и выбор эффективного проходного сечения распылителя.........................166
   10.2. Методика построения дифференциальной характеристики подачи топлива.........................................168
   10.3. Расчет при помощи современной вычислительной техники дифференциальной характеристики впрыскивания...........172
   10.4. Формы дифференциальной характеристики впрыскивания.........173
   10.5. Построение интегральной характеристики впрыскивания........176

11. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ СТРУИДИЗЕЛЬНОГО ТОПЛИВА..............178
   11.1. Расчет мелкости распыливания жидкого топлива......178
   11.2. Определение формы распыленного топливного факела при впрыске в неподвижную среду........................184

12. РАСЧЕТ ЦЕНТРОБЕЖНОГО КОМПРЕССОРА
И ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЙ ТУРБИНЫ..............................188
   12.1. Методика расчета центробежного компрессора с радиальными лопатками..............................................188
   12.2. Расчетрадиально-осевойтурбины.....................196

13. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ.................203
   13.1. Основные формулы теории теплообмена...............203
      13.1.1. Основные понятия.............................203
      13.1.2. Основные величины теории теплообмена и их обозначение.204
      13.1.3. Основные уравнения теплообмена...............207

5


  13.2. Расчет рекуперативного теплообменника............210
   13.3. Пример расчета теплообменного аппарата типа «труба в трубе» 214

14. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ И НАСОСНОЙ УСТАНОВКИ......................................219
   14.1. Основные расчетные формулы.......................219
   14.2. Насосная установка...............................224
   14.3. Совмещенная характеристика насоса и трубопровода.228
   14.4. Регулирование режимов работы насоса..............229
   14.5. Выбор основных параметров центробежного насоса...230
   14.6. Пример расчета колеса центробежного насоса.......234

15. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ....................................239
   15.1. Истечение жидкости через отверстия...............239
   15.2. Истечение жидкости через насадки.................241
   15.3. Истечение жидкости при переменном напоре.........242
   15.4. Принцип работы простейшего карбюратора...........246
   15.5. Расчет простейшего карбюратора...................247

16. УСТРОЙСТВО, ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ И ОСНОВЫ РАСЧЕТА ДВИГАТЕЛЯ ВНЕШНЕГО СГОРАНИЯ...............................251
   16.1. Идеальный цикл Стирлинга.........................251
   16.2. Основные формулы, описывающие протекание процессов цикла двигателя Стирлинга.............................253
   16.3. Принцип действия двигателя Стирлинга.............255
   16.4. Схема работы двигателя Стирлинга с кривошипно-шатунным механизмом и его расчет...............................257

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ТАБЛИЦЫ ПРОИЗВОДНЫХ, ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ И ИНТЕГРАЛОВ..............................................264
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
ИЛОГАРИФМЫ................................................267
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ НЕКОТОРЫХ ФИГУР...........................................273
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РАБОТЫ В СРЕДЕ MATHCAD................................274
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. РАСЧЕТ ЦИКЛА ЧЕТЫРЕХТАКТНОГО ТЕПЛОВОЗНОГО ДВИГАТЕЛЯ ТИПА ЧН 26/26
В СИСТЕМЕ MATHCAD.........................................292

ЛИТЕРАТУРА................................................317

6


�ВЕДЕНИЕ



     Двигатели внутреннего сгорания вырабатывают более 60 % энергии, используемой человеком (транспорт, сельское хозяйство, строительство, энергетика, добыча нефти, газа). Любая машина (транспортная, воздушная, морская, строительная, дорожная) в своем составе имеет двигатель. В данном учебном пособии предложена методика расчета некоторых систем и механизмов двигателей внутреннего сгорания при помощи интегрального и дифференциального исчисления. Пособие может быть полезно студентам любой технической специальности, которые изучают дисциплину «Высшая математика».
     Первые три главы пособия посвящены основным вопросам дифференциального и интегрального исчисления функции одной действительной переменной.
     Дифференциальное исчисление - раздел математики, в котором изучаются способы вычисления производных, дифференциалов и их применение к исследованию свойств функций.
     Интегральное исчисление - раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения (определения работы, площади, объемов). Именно с созданием дифференциального и интегрального исчисления связывают возникновение «высшей математики». С их появлением получен аппарат, позволяющий анализировать различные процессы, что важно для объяснения физических явлений и построения научной картины мира.
     Без помощи производных и интегралов практически невозможно исследовать функции, характеризующие зависимость одних величин от других. Законы природы и техники можно описать с использованием производных и интегралов. Например, соотношения между пройденным расстоянием и скоростью движения, уравнением кривой и площадью под этой кривой представляют собой те конкретные вопросы, на основе которых сложились дифференциальное и интегральное исчисления. Понятия производной и интеграла применимы не только к перечисленным вопросам, но и к самым различным областям науки и техники. В качестве примера следует назвать исследование горения топлива в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, колебательные процессы в механических, гидравлических и электрических системах.
     Производная, интеграл, теорема Ньютона - Лейбница связаны между собой и представляют определённый язык, приспособленный для описания различных законов природы и техники.
     Для преобразования поступательного движения поршня в цилиндре во вращательное движение коленчатого вала служит кривошипно-шатунный механизм (КШМ). Этот механизм является главным для двигателя.

7


    Все процессы в работающем двигателе переменны. При движении поршня в цилиндре изменяется во времени его скорость и ускорение. Изменение скорости и ускорения поршня по времени определялось при помощи производных.
     По данным теплового расчета двигателя построена индикаторная диаграмма. Линии сжатия и расширения на ней определялись при использовании «текущей» величины сжатия и степени расширения. Расчет индикаторной работы цикла осуществлялся с использованием определенного интеграла.
     Качество процесса подачи топлива оценивалось дифференциальной и интегральной характеристиками. В работе приведена методика их построения и показан расчет на электронных вычислительных машинах (ЭВМ).
     Для расчета коленчатого вала приведены дифференциальные уравнения свободных и вынужденных крутильных колебаний с одной массой, дано их решение.
     При определении времени вытекания жидкости через отверстие из резервуара при переменном напоре использовалось интегральное исчисление.
     Вывод формул, определение производных, интегралов, построение графиков, расчёт систем и механизмов тепловых двигателей даётся как обычными математическими методами, так и с применением системы Mathcad. Дан расчёт цикла тепловозного дизельного двигателя с автоматическим построением индикаторной диаграммы в системе Mathcad. Приведены начальные сведения, достаточные для работы в среде Mathcad.
     Целью данного учебного пособия является формирование теоретических и практических знаний у студентов технических специальностей при изучении дисциплины «Высшая математика», а также при изучении прикладных дисциплин, связанных с математическими расчётами.

8


. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ



1.1. Понятие производной функции


     В процессе решения задач, возникающих в физике, химии, технике, достаточно часто приходится сталкиваться с зависимостями одних величин от других, с так называемыми функциональными зависимостями (функциями). Функциональная зависимость одной величины у от другой величины х означает, что каждому значению х соответствует определенное значениеу. Величина х при этом называется независимой переменной (аргументом), а у - зависимой переменной (функцией). В переводе с латинского функция означает «исполнение». Функция является одним из основных математических понятий.
     Обозначается функция следующим образом: y = y(x); y = f (x).
     Пусть функция y = f (x) определена в некотором интервале (a;b) (рисунок 1.1). Возьмем произвольную точку x₀ е(a; b). Для любого x е(a; b) разность x - x₀ называется конечным приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается Ax (читается как «дельта икс»)
Ax = x - x₀.                       (1.1)
     Следовательно, x = x₀ + Ax (см.рисунок 1.1). Обозначение x₀ е(a;b) означает, что точка х₀ принадлежит интервалу (a;b).


а)

Рисунок 1.1 - Приращение аргумента и приращение функции

(х=х₀ +&х)

б)

9


    Разность соответствующих значений функции f (x) — f (x₀) называется приращением функции f (x) в точке x₀ и обозначается Ду (см. рисунок 1.1):

                 ЛУ = f (x) — f (x0) или Ду = f (xо +Дт) — f (x0).                (1.2)

     Необходимо понимать, что Д - это не множитель, а символ, и Дт - не произведение Д на x. Символ Д - это прописная греческая буква «дельта», заменяющая слово «приращение».
     Заметим, что приращения Ax и Ду могут быть как положительными, так и отрицательными числами (см.рис.1.1). Так, например, на рисунке1.1,а Ax > 0 (x > x₀) и Ду > 0 (f (x)> f (x₀)), а на рисунке 1.1, б Ax > 0 (x > x₀), но ДУ < 0 (f (x)< f (x0 )).
     Задачи, приводящие к понятию производной. Классическими задачами, приводящими к понятию производной, считаются задача о нахождении скорости прямолинейного движения материальной точки и задача о касательной к кривой.
     Скорость прямолинейного движения. Задачи о движении тел с постоянной скоростью О приводят к простым арифметическим и алгебраическим расчетам, основанным на том, что путь равен произведению скорости на время, то есть по элементарной формуле S = и • t, где S - путь, t - время, О - скорость. Однако в природе мы, как правило, имеем дело с движением, скорость которого меняется с течением времени. Исследование таких движений приводит к важным физическим понятиям пути и скорости как функций времени. Здесь возникают основные понятия высшей математики - понятия производной и интеграла .
     Итак, пусть материальная точка М (например, автомобиль) движется неравномерно по прямой линии (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Движение материальной точки

     Каждому значению времени t соответствует некоторое расстояние ОМ = S от фиксированной точки О. В нашем примере точка М движется вправо от точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, поэтому мы имеем дело с функциональной зависимостью пути S от времени t. Закон движения материальной точки М выражается функцией S = S (t). Найдем скорость движения материальной точки. В общем случае неравномерного движения скорость не остается постоянной. С течением времени она меняется, а потому скорость О так же, как и путь S , является функцией времени t, и = и (t).

10


�аша задача заключается в том, чтобы выразить эту неизвестную функцию и(t) черезизвестную функцию S(t).
     Если в некоторый момент времени t точка займет положение М, то в момент времени t + At (At - приращение времени, некоторый малый промежуток времени) точка займет положение М j (см.рисунок 1.2). При этом ОМ1 = S + AS, то есть за время At точка М переместится на расстояние AS = S(t + At)-S(t), (AS- приращение расстояния). При этом средняя скорость движения материальной точки М за время At будет определяться отно-....         AS
шением и„ = —.
         ср A t
     Заметим, что средняя скорость зависит от значения At и с уменьшением At средняя скорость точнее выражает скорость движения точки в данный момент времени t. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю (малому значению) промежутка времени At называется скоростью движения материальной точки в данный момент времени, или мгновенной скоростью. Обозначив эту скорость через и, получим
S (t + A t)-S (t)  A S
                    и = lim -i----=---= iiₘ-------.                (1.3)
At >0    A t       At >0 A t


     Буквы lim (начальные буквы латинского слова «limes» - «предел») обозначают предел; под ним записано, о каком именно пределе идет речь - при At > 0 (> заменяет слово «стремящимся»). Чтобы понять, что означает выражение «предел» («стремление к пределу»), обратим внимание на следующее. При вычислении скорости вся суть расчета заключалась в том, чтобы «брать» малые At и соответствующие им малые AS . При этом получается каждый раз
  ... _______ ...... A S _ . _              .  .......      .
вполне определенное отношение---. Когда At уменьшается (стремится к нуA t

лю), то величина AS уменьшается пропорционально At, а потому отношение AS остается приблизительно постоянным. Отношение стремится к опре

деленному пределу при стремлении At к нулю, но не достигая нуля. Величина этого предела и есть мгновенная скорость и(t) в случае, когда S - путь, а t 
время.
      Задача 1.1. При движении материальной точки М по прямой наблюда
                         1
лась зависимость S =------~
                       1 +11
проходимого пути S от времени t

(рисунок 1.3).

Чему равна средняя скорость движения иср на интервале от момента t до t + At ? Чему равна мгновенная скорость имгн в момент времени t ?
     Рассмотрим правую часть графика при t >0, так как согласно условию задачи 1.1 t - время. При t =0 значение S =1. При t, стремящемся к 0, предел данной функции также равен 1, поскольку функция непрерывна в точке t = 0.

11


�ри увеличении t значение пути уменьшается согласно зависимости S =


1
1 +1²

и

стремится к нулю. По подобной зависимости движется по прямой клапан, например, механизма газораспределения, приводимый в действие кулачком вогнутой формы.

Рисунок 1.3 - График функции S = 1 / (1+t²)

      Решение. Согласно изложенному выше средняя скорость движения материальной точки может быть найдена как отношение A S кА t, где A t - приращение времени (некоторый малый промежуток времени), A S - приращение расстояния (расстояние, на которое переместится материальная точка за время At), а мгновенная скорость есть предел средней скорости при At ^ 0:

Цср

Цср

  AS. „           AS
=----; цмгн = lim---. Следовательно, используя данные задачи, найдем
  At         at>o At
и Цмгш

Цср

₁        ₁ ¹ ⁺ t²⁻(¹ ⁺ ( t⁺ А t )²)
A S = S (t + А t)-S (t) = 1 + ( t + A t )² 1 +1² = (¹ ⁺ ⁽ t⁺ A t⁾² )'(¹ ⁺ t²) A t A t                  A t                  A t

¹ ⁺ t²⁻(¹ ⁺ t² ⁺ ²tAt⁺ ⁽At⁾²) = 1 +1² -1 -1² -21At-(At)² (1 + (t + A t )² )-(1 +1²) ■ A t  (1 + (t + A t )² )-(1 +1² )■ A t
-21A t -(A t )²                   A t (21+ A t)
(1 + (t + A t )² )■(]. +1² )■ A t (1 + (t + A t )² )■(! +1² ) ■ A t

12


1+ A t

(1 + (t + A t )² )-(1 +1² )

(

Омгн

  г   AS
= lim----= lim
  At ^0 A t At ^0

—

^
21+ A t
(¹ + (t + A t )² )-(¹ +1² ),

21
⁽¹⁺t² j !'

      График полученной функции мгновенной скорости (скорости в данной точке или в данный момент времени) представлен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - График функции о = -21/(1 +1²)²

      Использование математической системы Mathcad для определения скорости и её графического построения. В приложении Г описаны основные возможности системы Mathcad, а также приведены инструкции по применению этой системы. Здесь же отметим лишь, что как на смену счёт и логарифмических линеек пришёл калькулятор, так и на смену калькулятору приходит компьютерная математическая система Mathcad. Одной из задач данной книги как раз и является обучение студентов приёмам работы в системе Mathcad с целью дальнейшего использования этой системы при выполнении курсовых проектов и дипломных работ.
      Последние достижения компьютерной алгебры позволяют решать задачи в аналитическом виде. Для расчёта выражения для скорости по известной функции пути от времени S(t) = 1/(1 +1²) с помощью предела необходимо записать конечное приращение пути за конечный промежуток времени AS(t ) =S(t +At) - S(t); выбрать на панели Math (Математика) панель Calculus (Вычисления) и нажать кнопку liₘ, в открывшемся шаблоне заполнить зате-^a
нённые клеточки, а затем ввести знак символьного вычисления ^ (сочетание клавиш [Ctr+>] (больше), то сразу появится решение:
S(t): =     AS(t):=S(t +At)-S(t) o(t):= lim AS⁽t⁾^-.
1 +1²                          at^o At      (t² +1)²
      Для построения графиков пути и скорости необходимо вызвать панель Graph (График), выбрать шаблон для декартового графика и заполнить соответствующие ячейки, как это сделано на рисунке 1.5.

13


�исунок 1.5 - Графики функций S(t) и и(t)

     Примечание. Рассмотрим функцию S = —^. Согласно условию зада-1 +t²
чи1.1 функция S выражает путь, пройденный материальной точкой, а переменная t - время. Следовательно, S и t - размерные величины. Если путь S выражен в м, а время t - в с, то для соблюдения требования размерности (единиц величины) надо записать функцию пути S в виде S = —a-^r, где коэффициент а име-b +t²
ет единицу м • с²,а b имеет единицу с². В нашем примере а = 1м • с², b =1с².
    Если рассмотреть полученную нами в результате решения задачи функ
ЦиЮ Цмгн

    21
—-т—, выражающую скорость движения материальной точки в


момент времени t (мгновенную скорость или скорость в данной точке), то здесь также соблюдается требование размерности. Действительно, числитель полученной дроби имеет единицу м • с² • с = м • с³ (после преобразований коэффициент a = 1м • с² как множитель останется в числителе, а время t выражено в с). Знаменатель полученной дроби имеет единицу с⁴ [b = 1 с², время t выражено в с, следовательно, знаменатель имеет единицу (с²j²= с⁴]. После соответствую

[ сj.

щего сокращения единиц мы получим значение скорости в м/с (м • с³/с⁴ = м;

     При измерении приращения функции ЛS в м, а аргумента Лt в с отношение ЛS/Лt равное, например, 0,5, следует понимать как скорость, равную 0,5 м/с.
     Касательная к кривой. Рассмотрим график функции y = f (x), определенной и непрерывной на интервале (a;b) (рисунок 1.6) (например, речь может

14