Основы теоретической механики

С. Г. Прасолов, Д. А. Болдырев 
ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 
Учебное пособие 
Москва    Вологда  
«Инфра-Инженерия» 
2022

УДК 531.8 
ББК 
22.21 
П70 
 
 
Рецензент: 
кандидат педагогических наук, доцент кафедры механики и инженерной защиты 
окружающей среды, проректор по научной и учебной работе Института  
менеджмента, маркетинга и права г. Тольятти  
Шендерей Павел Эдуардович 
 
 
Прасолов, С. Г.  
П70  
Основы теоретической механики : учебное пособие / С. Г. Прасолов, 
Д. А. Болдырев.  Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022.  264 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-0940-7 
 
Отражены основные вопросы теоретической механики. Большое внимание 
уделено теоретическим вопросам основных разделов теоретической механики – 
статики, кинематики и динамики. Рассмотрены условия равновесия абсолютно 
твёрдых тел и их систем. Дана теория для различных способов решения задач по 
теме плоскопараллельного движения абсолютно твёрдого тела. Приведена авторская теорема о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твёрдого 
тела, совершающего плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, соединяющей эти точки на определённый угол, по представленной формуле. Рассмотрены основные теоремы динамики материальной точки 
и системы материальных точек.  
Для студентов СПО и ВПО, преподавателей и научных работников, интересующихся вопросами теоретической механики. 
 
УДК 531.8 
ББК 22.21 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-0940-7 
” Прасолов С. Г., Болдырев Д. А., 2022 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ  
.......................................................................................................... 4 
1. СТАТИКА  ........................................................................................................ 5 
1.1. Связи и реакции связей  
............................................................................. 5 
1.2. Произвольная плоская система сил  
....................................................... 26 
1.3. Равновесие с учётом сил трения  
............................................................ 37 
1.4. Произвольная пространственная система сил  ..................................... 47 
1.5. Центр тяжести .......................................................................................... 57 
Вопросы для самоконтроля  
........................................................................... 66 
2. КИНЕМАТИКА  
............................................................................................ 67 
2.1. Кинематика точки  ................................................................................... 67 
2.2. Простейшие движения твёрдого тела  ................................................... 78 
2.3. Плоское движение твёрдого тела  .......................................................... 88 
2.4. Сферическое движение твёрдого тела  ................................................ 106 
2.5. Сложное движение точки и твёрдого тела  ......................................... 122 
Вопросы для самоконтроля  
......................................................................... 135 
3. ДИНАМИКА  ............................................................................................... 136 
3.1. Динамика материальной точки  
............................................................ 136 
3.2. Основные теоремы динамики материальной точки  .......................... 152 
3.3. Основные теоремы динамики механической системы  ..................... 173 
3.4. Колебания материальной точки  
........................................................... 194 
3.5. Динамика твёрдого тела и принцип Даламбера  
................................. 209 
3.6. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики  
. 223 
3.7. Уравнение Лагранжа второго рода  ..................................................... 241 
3.8. Элементарная теория удара  ................................................................. 249 
Вопросы для самоконтроля  
......................................................................... 260 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ  
.................................. 261 
 
 
3 
 

ВВЕДЕНИЕ 
Развитие современного машиностроения и технологических процессов невозможно без знания и использования законов и теорем теоретической механики. 
Впервые теоретическую механику стали изучать в древней Греции. Первоначально в неё вошли знания Архимеда о теории рычага, положении центра тяжести некоторых тел, равновесии и устойчивости тел. Перелом в теоретической механике наступил в 17 веке. В это время первое место в изучении заняла механика 
земных и небесных тел, были открыты главные законы абсолютно твёрдых тел. 
В последние столетия были опубликованы обширные научные труды по теоретической механике в области динамики тел переменной массы, о движении ракет 
и др. научные открытия. Сотрудниками Тольяттинского государственного университета (ТГУ) при изучении темы «Плоскопараллельное движение абсолютно 
твёрдого тела» в дисциплине «Теоретическая механика» была предложена теорема о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твёрдого тела, совершающего плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, соединяющей эти точки на определённый угол, по представленной ими формуле. Данная авторская теорема излагается в этом учебном пособии. 
В предлагаемом учебном пособии первая глава посвящена пяти главным темам 
раздела «Статика» дисциплины «Теоретическая механика». Даны методические 
рекомендации по решению задач по этим пяти главным темам. Вторая глава посвящена пяти главным темам раздела «Кинематика». Даны методические рекомендации по решению задач по этим пяти главным темам. Третья глава посвящена восьми главным темам раздела «Динамика». Даны методические рекомендации по решению задач по этим восьми главным темам. 
В целом учебное пособие посвящено изучению теории теоретической механики – законов и теорем с прилагаемыми методическими рекомендациями по решению задач по восемнадцати главным темам теоретической механики для 
успешного решения задач на практических занятиях. Освоение материала учебного пособия позволит сформировать группу универсальных компетенций  системное и критическое мышление, группу общепрофессиональных компетенций 
 применение фундаментальных знаний и профессиональные компетенции для 
технических направлений подготовки ФГОС. 
Учебное пособие может быть использовано как самостоятельное учебное издание для рассмотрения отдельных вопросов дисциплины «Теоретическая механика», так и дополнительным материалом при изучении курса «Техническая механика», а также оно может быть использовано при изучении дисциплин вариативной части учебного плана технических направлений подготовки бакалавриата. 
В конце каждой главы предложены вопросы для самоконтроля с целью закрепления изученного материала. 
 
4 
 

1. СТАТИКА
В главе рассмотрены вопросы связей и их реакций, равновесия абсолютно 
твёрдых тел под действием произвольной плоской и пространственной систем 
сил, равновесия тел с учётом трения, а также вопросы по определению центра 
тяжести тел и конструкций.
1.1. Связи и реакции связей
Тема «Связи и реакции связей» необходима для решения задач по темам: 
«Произвольная плоская система сил», «Равновесие с учетом сил трения», «Произвольная пространственная система сил». Данная тема также необходима для 
изучения тем раздела «Динамика» и общеинженерной дисциплины «Сопротивление материалов». Развитие современного мира ставит перед инженерами разнообразные задачи, связанные с расчётом конструкций различных сооружений 
зданий, мостов, каналов, плотин и т.д. Будущий инженер должен справляться с 
конструированием, изготовлением, использованием и утилизацией различных 
машин, приборов и механизмов. В перечисленных задачах основную роль играют вопросы, на которые можно ответить только при изучении законов движения или теории равновесия материальных тел. В теме «Связи и реакции связей» 
будут показаны различные виды связей. По типу рассматриваемых задач «Теоретическую механику» решено разделять на три раздела: первый  статика, второй  кинематика и третий  динамика.
В первом разделе 
 статике – излагается теория о векторах сил и принципах 
равновесия абсолютно твёрдых тел под воздействием приложенных сил.
Статикой называется первый раздел механики, в котором изучаются условия 
равновесия материальных тел, находящихся под действием сил и преобразования систем сил.
5

Под равновесием понимается покой тела по отношению к другим материальным телам.
Под движением в механике принимается механическое движение, то есть 
происходящее со временем изменение местоположения материальных тел в системе координат.
Механическим взаимодействием между телами называется тот вид взаимодействия, в результате которого наблюдается смена движения этих тел или 
корректировка формы.
Деформацией называется изменение у тел их геометрической формы и размеров.
Существует девять основных понятий, на которых построена статика.
Основные понятия дисциплины «Теоретическая механика» отличают её от 
других курсов.
Механикой называется наука, посвящённая нахождению ответов на задачи, 
в которых рассматриваются движение или равновесие тел.
Механика также изучает происходящие между телами взаимодействия.
Основные понятия данной дисциплины необходимы для формулирования аксиом, свойств, принципов, законов и теорем данного курса.
Также эти основные понятия необходимы для описания условий задач и их 
решения.
Предметом изучения темы «Связи и реакции связей» являются наиболее общие законы равновесия материальных тел и, возникающие при этом взаимодействия между ними.
6

Первое основное понятие – это сила. 
Силой в теоретической механике называется величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел.
Сила 
 векторная величина, имеющая модуль – численное значение, направление действия и точку приложения. 
Сила в международной системе единиц СИ измеряется в Ньютонах [Н]. 
Встречается в теории и задачах сокращение – кН. 
Это килоньютон. 
«1 кН» – это один килоньютон. 
Один килоньютон равен тысяче Ньютонов. 
Линией действия силы называется ось, вдоль которой направлен вектор 
силы.
Второе основное понятие – это система сил. 
Системой сил называется любая совокупность сил, действующих на какоенибудь твёрдое тело.
Третье основное понятие – это свободное тело.
Свободным телом называется тело, не скрепленное и не связанное с другими 
телами и которое из существующего положения, может совершить безразличное 
перемещение в системе координат.
Четвёртое основное понятие – это эквивалентные системы сил.
Эквивалентными системами сил называются такие системы сил, действующих на свободное абсолютно твёрдое тело, если при замене одной системы сил 
другой при этом не изменяется состояние покоя или движения данного тела.
7 

Пятое основное понятие – это уравновешенная система сил.
Уравновешенной называется такая система сил, под действием которой свободное твёрдое тело находится в покое.
Шестое основное понятие – это равнодействующая сила.
Равнодействующей силой для данной системы сил называется сила, эквивалентная данной системе сил. 
Таким образом, равнодействующая – это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твёрдое тело.
Седьмое основное понятие – это уравновешивающая сила.
Уравновешивающей силой называется сила, равная равнодействующей по 
модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той 
же прямой.
Восьмое основное понятие – это внешние и внутренние силы, действующие 
на твёрдые тела.
Силы, действующие на твёрдое тело, бывают внешними или внутренними. 
Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. 
Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.
Девятое основное понятие – это сосредоточенные и распределённые силы.
Сила, приложенная к телу в какой-либо одной его точке, называется сосредоточенной. 
8

Силы, действующие на все точки данного объёма, или данной части поверхности твёрдого тела, или части линии тела, называются распределёнными. 
Силы, которые даются как сосредоточенные, это равнодействующие нескольких систем сил.
Так, рассматриваемая в теоретической механике сила тяжести, действующая 
на конструкцию, то есть на систему абсолютно твёрдых тел, представляет собой 
равнодействующую сил тяжести всех частей данной конструкции. 
Вектор силы тяжести приложен в точке твёрдого тела, называемой центром 
тяжести тела. 
Теоремы и уравнения статики получаются из ряда начальных утверждений, 
которые математически не доказываются и называются аксиомами или принципами статики.
Аксиомы статики – это ряд обобщений большого числа опытов и экспериментов при изучении равновесия и движения твёрдых тел, неоднократно подтвержденные практикой.
Существуют следующие основные аксиомы или принципы раздела «Статика».
Аксиома 1. Если к находящемуся в равновесии свободному абсолютно твёрдому телу приложены две силы, то они равны по модулю и направлены вдоль 
одной прямой в противоположные стороны.
9 

Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную произвольную систему 
сил, так как опыт показывает, что свободное абсолютно твёрдое тело, на которое 
действует только одна сила, находиться в равновесии не может.
Аксиома 2. Действие какой-либо системы сил на абсолютно твёрдое тело не 
изменится, если к ней присоединить или от неё отсоединить уравновешенную 
систему сил.
Аксиома 2 показывает, что две произвольные системы сил, отличающиеся
друг от друга на одну уравновешенную произвольную систему сил, эквивалентны друг другу.
Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Воздействие вектора силы на абсолютно 
твёрдое тело не изменится, если эту силу как угодно перенести вдоль линии её
действия на данное твёрдое тело из одной точки в другую точку.
Данное следствие разрешает вектор, изображающий силу, прикладывать в 
любой точке на линии её действия. 
Поэтому вектор силы называется скользящим вектором.
Вектор силы при решении задач можно смещать по линии действия силы в 
нужную точку, для того чтобы решение задачи было более простым и удобным, 
а также для большей наглядности рисунка.
10