Математическая обработка результатов измерений в горном деле

А. В. Гальянов 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА  
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
 В ГОРНОМ ДЕЛЕ 
2-е изд., исправленное и дополненное
Допущено учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации 
по образованию в области горного дела в качестве учебного пособия 
для студентов вузов, обучающихся по специальности 
«Маркшейдерское дело» направления подготовки «Горное дело» 
Москва 
Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2022

УДК 622.1:519.21 
ББК 33.12 
Г17 
Печатается по решению редакционноиздательского совета Уральского 
государственного горного 
университета 
Рецензенты: 
зав. лабораторией ИГД УрО РАН д-р техн. наук Лаптев Ю. В.; 
зав. лабораторией ИММ УрО РАН д-р ф.-м. наук, профессор Ким А. В. 
Г17 
Гальянов, А. В. 
Математическая обработка результатов измерений в горном 
деле : учебное пособие / А. В. Гальянов. - 2-е изд., испр. и доп. – 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. – 292 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-0815-8 
Приводятся основные приемы и методы сбора, систематизации и 
обработки информации массовых явлений, процессов, множеств сведений. На примерах из практики горного производства иллюстрируется 
возможность использования классических вероятностных схем при статистическом анализе процессов горного производства, результатов массовых измерений, наблюдений, опробования и оценки качества минерального сырья. 
Для студентов, обучающихся по направлению «Горное дело». 
Может быть полезно горным инженерам предприятий, академических 
институтов и проектных организаций. 
УДК 622.1:519.21 
ББК 33.12 
ISBN 978-5-9729-0815-8 
” Гальянов А. В., 2022 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ 
...................................................................................... 7 
1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НАУЧНОГО  
ИССЛЕДОВАНИЯ .........................................................................10 
1.1. Алгоритм научно-познавательной деятельности ............10 
1.2. Структура теоретического знания ....................................17 
1.3. Основы организации и проведения эксперимента ..........22 
2. СТАТИСТИКА КАК ОБЛАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ  
ЗНАНИЙ 
..........................................................................................28 
2.1. Краткая историческая справка становления  
статистики ..................................................................................28 
2.2. Объект, предмет, цель и задачи математической 
статистики ..................................................................................47 
2.3. Основные термины и понятия 
...........................................50 
2.4. Виды случайных величин и формы  
их представления 
.......................................................................53 
2.5. Связь математической статистики с теорией  
вероятностей ..............................................................................60 
2.6. Понятие о статистической совокупности. 
Генеральная совокупность. Выборка ......................................62 
2.7. Основные положения Закона больших чисел 
..................65 
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 
....................................67 
3.1. Задача Бюффона .................................................................67 
3.2. Оценка гранулометрического состава взорванной  
горной массы .............................................................................76 
3.3. Оценка степени разведанности контуров  
рудных тел..................................................................................81 
3.4. Оценка горно-геометрических графиков .........................86 
3 

4. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 
.........94 
4.1. Оценка точности результатов измерений  
при малом количестве наблюдений 
.........................................95 
4.2. Обработка совокупности статистических сведений. 
Метод моментов ........................................................................96 
4.3. Оценка погрешности среднего значения и дисперсии  
выборки ....................................................................................104 
4.4. Значимость расхождения средних значений двух  
независимых выборок .............................................................107 
4.5. Значимость расхождения дисперсий двух  
независимых выборок .............................................................110 
4.6. Требования к объему выборки ........................................115 
4.7. Оценка устойчивости статистической функции  
распределения совокупности .................................................118 
4.8. Непараметрический критерий проверки  
статистических гипотез ..........................................................121 
4.9. Методический подход к обоснованию 
представительности массы пробоотбора при оценке 
качественных характеристик рудной массы 
.........................129 
4.10. Полная обработка статистических распределений 
случайных величин .................................................................131 
5. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА .....................141 
5.1. Термины и понятия ..........................................................141 
5.2. Задачи корреляционного анализа ...................................143 
5.3. Корреляционное поле ......................................................147 
5.4. Корреляционная таблица и ее обработка методом  
моментов ..................................................................................152 
5.5. Оценка тесноты корреляционной зависимости 
.............163 
5.6. Элементы статистики качественных признаков 
............171 
5.7. Корреляционное отношение как мера тесноты  
связи нелинейных зависимостей между случайными  
величинами ..............................................................................175 
5.8. Ранговая корреляция ........................................................180 
4 

5.9. Ложная корреляция ..........................................................184 
6. ПОДБОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ  
ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ЭМПИРИЧЕСКИХ 
ЗАВИСИМОСТЕЙ .......................................................................191 
6.1. Линейная функция y
ax
b
 

 .........................................191 
n
n
n
y
a x
 ¦
..............................196 
6.2. Параболическая функция 
0
6.3. Степенная функция 
n
y
ax
 
 ............................................199 
6.4. Показательная функция 
n
bx
y
aе
 
 ...................................203 
7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ ............207 
7.1. Корреляция между тремя совместными событиями 
.....208 
7.2. Схема экспертной оценки 
................................................219 
7.3. Линейная модель многофакторного анализа .................225 
7.4. Модель поверхности второго порядка ...........................228 
8. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ  
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..........................................................229 
8.1. Испытания Бернулли.  
Биномиальное распределение ................................................229 
8.2. Геометрическое распределение  
(Распределение Фарри) 
...........................................................234 
8.3. Распределение Паскаля 
....................................................236 
8.4. Гипергеометрическое распределение 
.............................238 
8.5. Распределение Пуассона 
..................................................240 
9. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СХЕМЫ НЕПРЕРЫВНЫХ  
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..........................................................245 
9.1. Закон равномерной плотности ........................................245 
9.2. Распределение Симпсона  
(треугольное распределение) .................................................247 
9.3. Экспоненциальное (показательное) распределение 
......249 
9.4. Нормальное (гауссово) распределение 
...........................250 
9.5. Двумерное нормальное распределение ..........................253 
5 

9.6. Вероятность попадания случайной точки на плоскости 
 в заданную область. Распределение Рэлея 
...........................259 
9.7. Многомерное нормальное  
распределение Максвелла ......................................................263 
9.8. Распределение модуля нормально распределенной  
случайной величины ...............................................................265 
9.9. Логарифмически нормальное (логнормальное)  
распределение 
..........................................................................266 
9.10. Распределение монотонной функции одного 
 случайного аргумента ............................................................268 
9.11. Распределение Вейбулла ...............................................270 
9.12. Гамма-распределение 
.....................................................272 
9.13. Обобщенная модель распределения  
случайных величин .................................................................273 
9.14. Распределение качественно однородных случайных  
величин при их объединении .................................................277 
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ  
ПО РАЗДЕЛАМ 
............................................................................284 
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА .........................................288 
6 

ВВЕДЕНИЕ  
Настоящее второе издание представляет собой значительно 
расширенный и переработанный курс лекций по дисциплине 
«Математическая обработка результатов измерений», читаемый 
студентам по программе подготовки специалистов горного профиля. При этом мы ставили перед собой задачу проиллюстрировать на ярких примерах из практики горного инженера приемы 
обработки информации, ее осмысление и графическое представление. И сегодня, когда существуют прекрасные программы для 
компьютерной обработки информации, совершенно не исключен диалог «Пользователь í ЭВМ». Напротив, компьютерные 
технологии предполагают, что пользователь программного 
обеспечения в первую очередь выступает в диалоге с компьютером как специалист-технолог и только потом уже í как оператор, обслуживающий программу. Компьютер í механизм быстрого счета, а не «панацея от всех зол». Он никогда не исключит 
необходимости присутствия рядом вдумчивого и грамотного 
человека. 
Мы сочли возможным включить в это издание раздел, излагающий основные методологические аспекты научно-познавательной деятельности, предполагая при этом, что курс этой 
дисциплины ориентирован не только на студенческую аудиторию, но и на соискателей ученых степеней, инженеров и научных работников. 
Бурное развитие горного производства в ХХ в способствовало становлению горной науки как области естественнонаучных знаний о рациональной и эффективной отработке месторождений полезных ископаемых. Определяющую роль в этом 
процессе сыграли использование и развитие математических 
методов при решении широкого круга задач, выдвигаемых горным производством. Одна из особенностей горной науки состоит в том, что освоение месторождения сопровождается таким 
7 

потоком информации, с которым даже современная вычислительная техника не в состоянии справиться. Сюда входят весь 
спектр геологических сведений, материалы разведки и подсчета 
запасов, текущая информация о технологических процессах, 
состояние оборудования, экологический мониторинг, поток 
экономических сведений и операций и многие другие сведения. 
Естественно, что в этих условиях развитие и разработка методов 
обобщения информации, придания ей наглядности, объемности, 
концентрированности (сжатости) составляют важное направление исследований, которое неразрывной нитью связывает математические дисциплины с дисциплинами горной науки. Ярким 
примером тому служит создание проф. П. К. Соболевским нового (на момент начала ХХ в.) научного направления в горном деле – геометризации месторождений полезных ископаемых. 
Объектами изучения в «Геометрии недр» являются геохимическое поле, природные и технологические процессы, развивающиеся во времени. Геометрия форм и свойств геологических 
объектов, а также закономерности формирования качества минерального сырья в процессе отработки месторождений выступают предметом изучения. Поскольку все природные явления и 
процессы протекают в системе сложных и многообразных причинно-следственных соотношений, результирующие проявления 
содержат в себе как закономерную, так и «случайную» составляющие. Методы распознавания, разделения и оценки уровня 
значимости этих двух факторов в информационном потоке сведений о месторождении и технологических режимах добычи 
полезных ископаемых составляют главное содержание горногеометрического анализа. 
Ознакомление с вероятностными методами исследования 
позволяет овладеть современным комплексом вероятностностатистических знаний, необходимых для решения широкого 
круга горно-геометрических задач, выдвигаемых практикой гео8 

логоразведочных работ и отработки месторождений полезных 
ископаемых. 
Книга может оказаться полезной в решении широкого круга 
инженерных задач и потому не имеет ограничений в специальности исследователя. Изложение в ней ориентировано на владение математическими знаниями в объеме читаемого курса в 
технических высших учебных заведениях. 
Автор выражает искреннюю благодарность профессору, 
доктору техн. наук В. А. Гордееву за поддержку в работе над 
учебным пособием, а также Н. А. Барабошкиной и Ж. И. Пионтик за техническую помощь в подготовке рукописи к изданию. 
9 

1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НАУЧНОГО 
ИССЛЕДОВАНИЯ 
Научное исследование есть  
многогранный процесс получения  
нового знания через отражение 
окружающей действительности 
в сознании человека. 
1.1. Алгоритм научно-познавательной деятельности 
Тезис «наука – производительная сила» в системе общественных отношений получил статус стратегического направления развития цивилизации во второй половине ХХ века. Этому 
способствовало продуктивное развитие математики, физики, 
химии, электроники, биологии, с одной стороны, и металлургии, 
станко- и машиностроения, увеличения масштаба производства 
горно-добывающего 
комплекса, 
с 
другой. 
Научно-познавательная деятельность отдельных «фанатов» вышла за пределы 
скромных лабораторных помещений, переместив центр тяжести 
в специализированные лабораторные комплексы, академические 
институты, опытные промышленные производства – сформировалась индустрия научного знания. Весь ХХ век прошел под 
влиянием материалистической концепции в сфере науки и общественных отношений; приобрела четкие контуры гносеология 
не только как область философских знаний, а в большей степени 
как технология получения нового рационального знания. 
Знание связывается с умственной деятельностью человека и 
представляет собой информированность о некоторой совокупности сведений о чем-нибудь или о чем-либо. Из этого следует, 
что знание как категория гносеологии проявляется в двух формах – сохранение в памяти информационных сведений и продуцирование из этих сведений нового, неизвестного ранее знания. 
10