Геометрия недр. Основы геометрического анализа геохимического поля

А. В. Гальянов 
ГЕОМЕТРИЯ НЕДР 
ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
ГЕОХИМИЧЕСКОГО ПОЛЯ 
Учебное пособие 
Второе издание, исправленное и дополненное  
Москва      Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2022 

УДК 622.1 
ББК 33.12 
Г17 
Рецензенты: 
старший преподаватель В. А. Патко; 
доктор технических наук (Уральский государственный 
горный университет) Ю. В. Лаптев 
Гальянов А. В. 
Г17  
Геометрия недр. Основы геометрического анализа геохимического 
поля : учебное пособие / А. В. Гальянов. – 2-е изд., испр. и доп. – Москва ; 
Вологда : Инфра-Инженерия, 2022. – 248 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-0805-9 
Изложены основы теории геохимического поля в его классической 
и современной трактовке применительно к решению широкого круга задач, связанных с анализом данных геологоразведочных работ, материалов 
эксплуатации, управления технологическим процессом добычи и первичной переработки полезного ископаемого. Объем и содержание учебного 
пособия соответствуют программе учебной дисциплины «Геометрия 
недр». 
Для студентов горных вузов специализации «Маркшейдерское 
дело». 
УДК 622.1 
ББК 33.12 
ISBN 978-5-9729-0805-9 
© Гальянов А. В., 2022 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022 
2 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
............................................................................................... 
6 
ВВЕДЕНИЕ 
....................................................................................................... 
7 
Часть 1. ТЕОРИЯ ГЕОХИМИЧЕСКОГО ПОЛЯ 
............... 
10 
1. ВВОДНЫЕ СВЕДЕНИЯ В ТЕОРИЮ ПОЛЯ ................................................. 
10 
1.1. Понятие вектора .................................................................................. 
10 
1.2. Сложение и вычитание векторов 
........................................................ 
11 
1.3. Умножение и деление векторов ......................................................... 
13 
1.4. Дифференцирование векторов 
............................................................ 
15 
1.5. Интегрирование векторов ................................................................... 
19 
1.6. Понятие потока вектора ...................................................................... 
20 
1.7. Корреляция векторов .......................................................................... 
22 
1.8. Поле как физическая субстанция ....................................................... 
24 
1.9. Скалярное поле 
.................................................................................... 
27 
1.10. Векторное поле .................................................................................. 
30 
2. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГЕОХИМИЧЕСКОГО ПОЛЯ 
..... 
32 
2.1. Соболевский П. К. Страницы жизни 
.................................................. 
32 
2.2. Геохимическое поле как геологический объект 
................................ 
37 
2.3. Математические действия над поверхностями 
с числовыми отметками ..................................................................... 
52 
3. УЧЕНИЕ ОБ ИЗМЕНЧИВОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ГЕОХИМИЧЕСКОГО ПОЛЯ ........................................................................ 
66 
3.1. Принципы относительности и соответствия в геометрии недр ....... 
66 
3.2. Представительность информационной единицы,  
используемой при подсчете запасов месторождений  
полезных ископаемых ........................................................................ 
74 
3.3. Точность геометрической интерпретации поверхности, 
построенной по точечной информации 
............................................. 
88 
3.4. Эвристические методы оценки изменчивости показателей 
геохимического поля .......................................................................... 
95 
3.5. Геометрическая модель минерализации массива  
горных пород .................................................................................... 103 
3 

Часть 2. ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА  
ДАННЫХ РАЗВЕДКИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ  
ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ 
............................. 107 
 
4. ПРИНЦИПЫ КЛАССИФИЦИРОВАНИЯ МЕСТОРОЖДЕНИЙ 
ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ .................................................................... 107 
 
4.1. Генезис и морфологические особенности рудообразования .......... 107 
4.2. Классифицирование месторождений по степени сложности 
геологического строения 
.................................................................. 111 
4.3. Классифицирование месторождений полезных ископаемых 
по степени разведанности (изученности) 
........................................ 113 
4.4. Классифицирование запасов по степени их подготовленности 
к добыче ............................................................................................ 116 
 
5. ИНЖЕНЕРНЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА МАТЕРИАЛОВ 
ПОДСЧЕТА ЗАПАСОВ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ ........................... 120 
 
5.1. Способы геометрического моделирования геохимического поля ..... 120 
5.2. Подсчет запасов на этапе геологоразведочных работ 
..................... 125 
5.3. Метод взвешенных оценок ............................................................... 133 
5.4. Подсчет запасов при подготовке отработанных участков 
к списанию ........................................................................................ 135 
5.5. Горно-геометрические графики ....................................................... 136 
5.6. Оценка точности подсчета запасов .................................................. 140 
5.7. Определение геометрических элементов залегания 
пластообразных тел .......................................................................... 142 
5.8. Оценка достоверности оконтуривания рудных площадей ............. 146 
5.9. Зависимость плотности горных пород от содержания 
доминирующих химических соединений 
........................................ 150 
5.10. Обоснование кондиций при подсчете запасов .............................. 152 
5.11. Оценка значимости расхождения статистических характеристик 
при сравнении вариантов подсчета запасов полезных  
ископаемых ..................................................................................... 162 
5.12. Проблема ураганных проб .............................................................. 165 
5.13. Окно сглаживания исходных данных разведки 
............................. 170 
 
6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВНУТРЕННЕЙ 
СТРУКТУРЫ ТЕХНОГЕННЫХ ОБЪЕКТОВ ............................................ 173 
 
6.1. Характеристика гранулометрического состава дробленых 
горных пород .................................................................................... 173 
6.2. Коэффициент разрыхления дробленых горных пород 
.................... 179 
 
4 
 

6.3. Принципиальные геометрические закономерности внутренней 
структуры развала горных пород после взрыва 
.............................. 183 
6.4. Принципиальные геометрические закономерности внутренней 
структуры насыпных отвалов горных пород .................................. 188 
7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПОЛНОТЫ
И КАЧЕСТВА ИЗВЛЕЧЕНИЯ ЗАПАСОВ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ
ПРИ ИХ ДОБЫЧЕ 
........................................................................................ 195 
7.1. Концептуальные положения стратегии освоения минерально- 
сырьевых ресурсов ........................................................................... 195 
7.2. Термины и понятия ........................................................................... 203 
7.3. Уравнение материального баланса 
................................................... 207 
7.4. Методы учета показателей полноты и качества извлечения 
запасов при добыче 
........................................................................... 211 
7.5. Принципы классифицирования потерь полезного ископаемого .... 213 
7.6. Оценка точности методов учета потерь и разубоживания 
полезного ископаемого при добыче ................................................ 215 
7.7. Нормирование показателей полноты и качества извлечения 
запасов полезных ископаемых 
......................................................... 219 
7.8. Планирование потерь полезного ископаемого при добыче 
............ 228 
8. ПРИЛОЖЕНИЕ ОСНОВ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
К РЕШЕНИЮ ГОРНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ .............................. 232 
8.1. Понятие случайной функции и ее геометрическая 
интерпретация 
................................................................................... 232 
8.2. Свойства и характеристики случайных функций 
............................ 235 
8.3. Связь между геометрическими и аналитическими параметрами 
случайной функции .......................................................................... 237 
8.4. Корреляционная функция как основная характеристика 
случайных процессов ....................................................................... 238 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................... 
240 
ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ МАТЕРИАЛА 
........................................... 
242 
ЛИТЕРАТУРА 
...................................................................................................... 
244 
5 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Первое издание учебного пособия вышло пробным, небольшим тиражом 
и быстро разошлось. Потребность учебного процесса в современном изложении основ геометрии недр очевидна. Как показал опыт прямого общения с 
аудиторией, наибольшая трудность в освоении курса обусловлена формированием образа геохимического поля, его геометрии и структуры.  
Вся практика горно-геометрических работ убедительно демонстрирует 
несоответствие реального строения геохимического поля его слоисто-струйчатому классическому представлению. Отсутствие ясного определения самого 
термина «геохимическое поле» не позволяет в полной мере раскрыть содержательную сущность теоретических основ этого природного феномена. 
Геометризация как морфологических, так и качественных показателей 
рудных образований показывает, что геометрия свойств геохимического поля 
корреспондируется с генезисом горных пород, а следовательно, и с их структурными особенностями, но лишь как отражение прошедших процессов, как 
эскиз, как набросок. Естественно, что приближение к реальному отображению 
действительности обеспечивает и объём информационных сведений, и исходные предпосылки, и целенаправленность наших знаний. 
Пересматривая книгу под этим углом зрения, я увидел несовершенство 
изложения некоторых её разделов и счёл целесообразным внести определённые коррективы в текст. Но эти коррективы не затронули главной направленности изложения: просто, доступно и образно о сложном. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 

ВВЕДЕНИЕ 
В программе учебного процесса подготовки горных инженеров-маркшейдеров специальным курсом преподается дисциплина «Геометрия недр». 
Что такое геометрия недр, что составляет объект и предмет этой дисциплины, 
решение каких задач при этом предусматривается? Ответы на все эти вопросы 
содержатся в определении, которое дал основатель этой дисциплины Петр 
Константинович Соболевский в известной работе «Современная горная геометрия»: «Геометрия недр есть строгая физико-математическая методика промышленной оценки и характеристики разведуемых недр» [6]. Таким образом, 
объектом изучения являются промышленные концентрации полезного ископаемого в недрах, которые формализуются в виде геохимического поля, прототипом и аналогом которому служит физическое поле. Предметом изучения 
в этом случае выступают особенности и закономерности размещения физикохимических характеристик полезного ископаемого в пределах изучаемого 
объекта, морфологические особенности оруденения и процессы, происходящие в недрах под влиянием горных работ. Установление этих особенностей 
составляет цель, которая реализуется путем геометризации месторождений по 
данным геологоразведочных работ и эксплуатационного опробования горных 
пород.  
Что означает словосочетание «геометризация месторождения», или «выполнить геометризацию месторождения»? В самом широком смысле под геометризацией месторождения понимают комплекс камеральных (аналитических и графических) работ по обработке и анализу геологоразведочной информации и её геометрической интерпретации в системе пространственных координат. Таким образом, геометризация месторождения есть метод графического моделирования форм и свойств геологических объектов, залегающих в 
недрах, и физических процессов, происходящих в слоях горных пород в районах интенсивных горных работ. 
Отображение формы залегания тел полезных ископаемых на специальных информационных носителях (маркшейдерская графическая основа  
или объёмные компьютерные графики), дополненное горно-геометрическими 
качественными графиками, составляет графическую основу горного предп7 

риятия, своеобразный наглядный «банк данных», который подлежит хранению с грифом «вечно». 
В 60-х годах ХХ века в практике геологических исследований стали широко использоваться методы вероятностно-статистического анализа и обработки информации, которые дополнили геометрические представления особенностей оруденения статистическими характеристиками и оценками, эмпирическими сведениями о форме распределения показателей, характеризующих внутренние особенности геохимического поля. Так зародились предпосылки для более широкого использования этих методов применительно к решению технологических задач управления горным производством, что, в свою 
очередь, предопределило использование элементов теории надежности, случайных функций, массового обслуживания и других разделов математики. Методической и аналитической основой решения всего комплекса задач горного 
производства стал горно-геометрический анализ, методика которого базируется на теориях геохимического поля, материального баланса и поточной 
формы организации горного производства.  
Таким образом, геометризация месторождений и геометризация технологических процессов составляют основу горно-геометрического анализа как 
строгой физико-математической методики изучения особенностей форм и 
свойств концентрации полезного ископаемого в недрах, и процессов, происходящих в массиве горных пород в районе ведения горных работ, а также всего 
комплекса технологических процессов горного производства. Опираясь на 
аналитические и геометрические методы и используя возможности компьютерных технологий, горно-геометрический анализ является методикой моделирования объекта исследования и основой создания автоматизированных систем управления горным производством.  
Настоящий курс опирается на учебную программу, с одной стороны, 
учебные пособия по данной дисциплине, получившие статус классической литературы, – с другой, а также многочисленные публикации в периодических 
специальных изданиях и результаты собственных исследований автора, прошедших проверку временем. Мы сочли целесообразным сократить раздел 
«Методы подсчета запасов полезных ископаемых», ограничившись теми, которые закрепились в практике геологоразведочных работ и составляют 
8 
 

специальную дисциплину в курсе подготовки специалистов геологического 
профиля. 
Материал курса подразделяется на две части. В первой приводятся теоретические основы геохимического поля. Принципиально новым дополнением здесь является, во-первых, обоснование и рассмотрение принципов относительности и соответствия в геометрической интерпретации информационных сведений геологоразведочных работ и, во-вторых, впервые поставлен 
вопрос об оценке представительности этой информации и достоверности геометрических построений на её основе. Здесь же даётся систематизированное 
изложение учения об изменчивости показателей и ее количественной оценке. 
Во второй дается приложение теоретических основ анализа данных разведки 
к решению практических задач, с которыми сталкивается горный инженер в 
своей повседневной работе, и умение решать которые есть потребность сегодняшнего дня. Впервые приводятся установленные закономерности формирования внутренней структуры техногенных объектов, что является важным нововведением в область исследований геометрии недр. 
В заключение следует подчеркнуть, что данное учебное пособие не исключает необходимости пользоваться рекомендуемой литературой для более 
полного ознакомления с некоторыми специальными задачами структурной 
геологии, геомеханики, технологии добычи и первичной переработки минерального сырья и закрепления этих знаний. 
9 

Часть 1 
ТЕОРИЯ ГЕОХИМИЧЕСКОГО ПОЛЯ 
 
 
1. 
 ВВОДНЫЕ СВЕДЕНИЯ В ТЕОРИЮ ПОЛЯ 
1.1. Понятие вектора 
Понятие «вектор» в физике закрепилось практически одновременно 
с формированием теории поля в середине XIX века. Первоначальные представления о векторе опирались на два его совершенно очевидных параметра: 
численное значение и направление. В математике это объект, характеризующийся величиной и направлением (направленный отрезок прямой). Понятие 
вектора применяется при изучении силы, скорости, смещения. Простые и 
наглядные примеры, которые в достаточном количестве находятся в окружающем нас мире, свидетельствуют об удивительном свойстве подобных величин – они взаимодействуют между собой не как привычные скалярные величины. Математика разработала достаточно строгую и стройную теорию векторной алгебры и векторного анализа. В качестве исторической справки укажем на то, что известный в России юрист второй половины XIX века  
Кони, весьма профессионально увлекавшийся различными областями естествознания, подобно И. Гёте, так определил понятие вектора (не дословно, 
а в нашей интерпретации): величина, которая определяется числом, имеет 
направление и которая складывается геометрически. Сегодняшнее определение вектора представлено следующим образом: векторами называются такие 
величины, которые при выбранной единице измерения определяются числом 
и направлением и которые складываются геометрически. 
Единого обозначения векторов на сегодняшний день не выработано. Это 
допускает использовать в настоящем изложении следующие обозначения: вектор – A
G
, модуль вектора (скаляр) – а. Иными словами, латинские прописные 
буквы со стрелкой будут обозначать вектор, а строчные аналогичные буквы – 
модуль вектора. Итак, понятие «скаляр» алгебраическое, а «вектор» –  
геометрическое. Как и в алгебре, математические действия с векторами  
10