Надежность технических систем и техногенный риск

 

 

Кафедра «Автомобили, тракторы и технический сервис» 

 

 

 

 

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 

И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК 

 

 

 

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ  

для практических занятий  

для обучающихся по направлению подготовки 20.03.01  

Техносферная безопасность (очная форма обучения) 

 

 

 

 

 

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 

2017 

 

УДК 629.1.05 

Белинская И.В., Сковородин В.Я. Надежность технических 

систем и техногенный риск: учебное пособие для практических 
занятий для обучающихся по направлению подготовки 20.03.01 
Техносферная 
безопасность 
(очная 
форма 
обучения).–СПб.: 

СПбГАУ.– 2017. – 82с. 

 

 

 
Рецензенты: доктор технических наук, профессор Санкт
Петербургского государственного аграрного университета Керимов 
М.А., доктор технических наук, профессор Санкт-Петербургского 
государственного аграрного университета Попов А.А.  

 

 

 

Учебное пособие для практических занятий по дисциплине 

«Надежность технических систем и техногенный риск» составлены 
на основании требований ФГОС ВО по направлению подготовки 
20.03.01 «Техносферная безопасность (уровень бакалавриата) и др. 
нормативных 
документов, 
направлено 
на 
формирование 

профессиональных компетенций ПК-3, ПК-4, ПК-7. 

 
 
 

Рекомендованы к изданию и публикации на электронном 

носителе Учебно-методическим советом СПбГАУ протокол № 4 
от «30» марта  2017 года. 

 

 
 
 
 
 

 

© Белинская И.В.,Сковородин В.Я., 2017 

                                         © ФГБОУ ВО  СПбГАУ,  2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ  

 
с. 

1 .Методические указания по выполнению самостоятельной работы……….……… 
2 

1.1. Практическая работа 1.  Статистические характеристики и эмпирические 

распределения показателей  надёжности…………………………….......................... 

 
2 

1.1.1. Теоретические пояснения…………………………………………………………. 
2 

1.1.2. Методика выполнения расчётов…………………………………………………. 
3 

1.1.3. Пример статистической обработки данных 

 о надёжности…..……………….…………………………………………………………. 

7 

1.2. Практическая работа 2.  Статистические модели надёжности технических 

систем…………………………………………………………………………………… 

17 

1.2.1. Теоретические пояснения……………………………………………………….. 
17 

1.2.2. Методика выполнения расчётов………………………………………………… 
25 

1.3.Практическая работа 3.  Определение точности оценок показателей 

надёжности……………………………………………………………………………….. 

29 

1.3.1. Теоретические пояснения………………………………………………………… 
29 

1.3.2. Методика выполнения расчётов……………..…………………………………. 
34 

1.4. Практическая работа 4.  Оценка показателей надёжности невосстанавливаемых  

объектов………………………………………………………………………………… 

37 

1.4.1. Теоретические пояснения………………………………………………………. 
37 

1.4.2. Методика выполнения расчётов………..………………………………………. 
39 

1.5. Практическая работа 5.   Оценка показателей надёжности восстанавливаемых 

объектов…………………………………………………………………………………. 

43 

1.5.1. Теоретические пояснения………………………………………………………… 
43 

1.5.2. Методика выполнения расчетов………………………………………………… 
46 

1.6. Практическая работа 6. Изучение основных положений теории риска………… 
53 

1.6.1.  Теоретические пояснения………………………………………………………. 
53 

1.6.2. Методика выполнения расчетов………………………………………………… 
54 

2. Отчёт о выполнении индивидуального задания…………………………………… 
57 

Приложение А. Справочные таблицы………………………………….……………… 
59 

Приложение Б. Задания для самостоятельной  работы………………………………. 
61 

 

 

1. Методические указания по выполнению практических работ 
1.1. Практическая работа 1.  Статистические характеристики и 
эмпирические распределения показателей надёжности 

1.1.1. Теоретические пояснения 

Оценка надёжности технических объектах (отдельных сборочных 

единиц, входящих в техническую систему) производится на основе анализа 
данных о надёжности по большому числу однотипных объектов.  Показатели 
надёжности одного экземпляра объекта не могут являться оценкой для 
совокупности однотипных объектов в связи с  тем, что значение показателя 
будет иметь рассеивание. Это объясняется тем, что характеристики однотипных 
объектов уже на стадии изготовления отличаются друг от друга (химический 
состав материалов, рассеивание размеров деталей в пределах поля допуска, 
рассевание зазоров в сопряжениях и др.). Эти отличия усугубляются 
различными условиями эксплуатации (разное качество смазочных материалов, 
периодичность и качество обслуживания, квалификация пользователей и др.). 

Таким 
образом, 
показатели 
надёжности 
являются 
случайными 

величинами и для их  оценки необходимо знать значения показателей для 
большого числа однотипных объектов. 

Полученный в результате испытаний набор значений показателя  для 

нескольких испытанных однотипных объектов называется статистическим 
рядом или массивом исходных данных. Эти данные получили название 
эмпирических данных.  

Показатели надёжности, как случайные величины, могут быть двух 

типов: 

а)  непрерывные величины – показатель может принимать любое 

значение в диапазоне рассеивания (наработка до отказа, ресурс, время 
восстановления работоспособности и др.); 

б) дискретные величины – показатель может принимать только целые  

значения (число отказов, число заявок на обслуживание и ремонт и др.). 

Каждое значение какого либо показателя, обозначенное буквой, имеет 

индекс, указывающий порядковый номер:
nt
t
t
,
, 2
1

, где n - объём массива 

исходных данных  (число объектов, число измерений, число наблюдений и др.). 

Поскольку испытуемые объекты взяты из общей большой совокупности 

однотипных объектов,  данные в массиве называются выборочными данными, а 
сам массив - выборкой объёма  n. 

 Для обработки исходных массивов данных применяются методы 

математической статистики. При обработке данных о надёжности чаще всего 
используют следующие числовые характеристики параметров: 

а) средние значения (среднее арифметическое, среднее геометрическое); 
б) характеристики рассеивания (дисперсия, среднее квадратическое 

отклонение, коэффициент вариации); 

в) выборочные функции распределения (функция распределения, 

распределение плотности вероятности). 

Среднее арифметическое ряда измерений определяется по формуле 





n

i
it
n
t

1

1
,                                                          (1) 

 где  n - число значений в выборке. 
Дисперсия ряда измерений определяется по формуле 

 
2

1
)
(
1

1
t
t
n
D

n

i

i 





 
 (2)  

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле 








n

i
i t
t
n
D
S

1

2)
(
1

1
                                (3) 

Коэффициент вариации определяется по формуле 

min
t
t

S
V
t

t


                                               (4) 

Коэффициент асимметрии определяется по формуле 
 

 









n

i
t
t
S

t
it

n
n

n
A

1

3
)
(
)
2
(
)1
(

 
(5) 

Если
tA > 0  - асимметрия правосторонняя, если 
tA < 0 – асимметрия 

левосторонняя. 

Выборочные функции распределения определяют построением таблиц и 

графиков распределения частот (гистограммы и полигона). 

 
Вопросы для самостоятельной работы 
Для освоения материала по теме необходимо изучить следующие 

вопросы: 

– понятия случайных событий и величин; 
– понятие относительной частоты и вероятности; 
– непрерывные и дискретные величины случайные величины; 
– показатели надёжности -  случайные величины; 
– причины рассеивания показателей надёжности; 
– функции распределения случайных величин; 
– функции распределения непрерывных и  дискретных величин; 
– исходные наблюдения и понятие выборочных данных; 
– числовые характеристики выборочных данных; 
– эмпирические распределения; 
– графическое представление распределений. 
 

1.1.2.  Методика выполнения расчётов 

В 
настоящее 
время 
имеется 
много 
компьютерных 
программ, 

позволяющих проводить анализ, расчёты и прогнозирование надёжности 
технических систем. Однако они очень дороги и используются в основном в 

научных учреждениях  и конструкторских отделах предприятий. В связи с этим, 
расчёты в заданиях и построение графиков рекомендуется выполнять в 
программе Excel, имеющейся в обычном пакете MicrosoftOffice, возможностей  
которой вполне достаточно для решения заданий.  

 

Определение числовых характеристик 

 
Числовые характеристики выборочных данных можно вычислить 

непосредственно по формулам (1)–(5) или воспользоваться специальными 
функциями при работе в пакете Excel: 

- для среднего значения – функцияСРЗНАЧ; 
- для дисперсии – функцияДИСП; 
- 
для 
среднего 
квадратического 
отклонения 
– 
функция 

СТАНДОТКЛОН; 

- для коэффициента асимметрии – функция СКОС. 
Функция для определения коэффициента вариации в Excel отсутствует. 
Коэффициент вариации определяется по формуле (4) 
Все статистические характеристики (кроме коэффициента вариации) 

также можно определить,пользуясь вкладкой «Анализ данных» в надстройке 
«Пакет анализа», входящего в Excel. 

 

Построение выборочного распределения 

 
 Построение выборочного распределения для непрерывных величин 

производится в следующем порядке. 

Определяется интервал варьирования показателя по формуле 
 

min
max
t
t
R


 
     (6) 

 
Интервал варьирования разбивается наk  интервалов. Количество  

интервалов рассчитывается по какой либо из формул: 

 

n
k 
,          
)
lg(
5
n
k 
,      
)
lg(
3.3
1
n
k


                           (7) 

 

Полученное значение округляется до целого числа. 
Определяют величину одного интервала по формуле 
 

k
R
h
  или      
k

t
t
h
min
max 

                     (8) 

 
Определяют границы интервалов.Для этого устанавливают нижнюю 

границу первого интервала ( нt1 ) по формуле: 

(9) 

 

Значение показателя  округляется до разрядности интервала. Верхняя 

граница первого интервала и его середина определяются по формулам: 

 

h
t
t
н
в

 1
1
h
t
t
н
c
5,0
1
1


                          (10) 

 
Определяют границы всех остальных интервалов последовательным 

суммированием величины интервала к соответствующим границам. 

Определяют абсолютные частоты (
k
m ) попадания значений показателя 

в каждый интервал. Затем определяют  накопленную частоту суммированием 
абсолютной частоты в интервале  и абсолютных частот предыдущих 
интервалов. 






k

k
k
m
k
F

1

                                                 (11) 

Для последнего интервала накопленная частота должна быть равна 

объёму выборки n.   

Определяют вероятность 
k
P  попадания показателя в каждый интервал  

по формуле: 

n
m
P
k

k 
                                                   (12) 

Накопленная вероятность определяется суммированием вероятности в 

интервале и вероятностей предыдущих интервалов. Для последнего интервала 
накопленная вероятность должна быть равна единице.  

Данные заносят в таблицу частот по следующей форме. 

Таблица 1. Таблица частот для непрерывных величин 

№ 

интервала 

Границы интервалов 
Середина       
интервала 
Частота 

Накоплен

ная 

частота 

Относите

льная 
частота 

Накоплен
ная отн. 
частота 
нижняя 
верхняя 

1 
нt1  
вt1  
сt1  
1
m  



k

k
k
m
1

 
1P  



k

k
kP

1

 

∙∙∙ 
∙∙∙ 
∙∙∙ 
∙∙∙ 
∙∙∙ 
∙∙∙ 
∙∙∙ 
∙∙∙ 

k  
н
kt  
в
kt  
с
kt  
k
m  



k

k
k
m
1

 
k
P  



k

k
kP

1

 

Таблица частот даёт распределение частот и вероятностей по 

интервалам -  это есть эмпирическое распределение показателя как случайной 
величины. 

h
t
tн
5,0
min
1



Таблица частот показателя, как дискретной случайной величины, 

отличается от таблицы частот непрерывной случайной  величины отсутствием 
интервалов. Вместо интервалов используется абсолютные значения величины, 
встречающиеся в диапазоне рассеивания. Для её построения необходимо 
упорядочить данные наблюдений в порядке возрастания и каждому значению 
присвоить номер. 

Таблица 2. Таблица частот для дискретных величин 

Значение 
показателя 

Абсолютная 

частота 

Накопленная 

частота 

Относительная 

частота 

Накопленная отн. 

частота 

1t  
1
m  
1
m  
1P  
1P  

∙∙∙ 
∙∙∙ 
∙∙∙ 
∙∙∙ 
∙∙∙ 

kt  
k
m  



k

k
k
m
1

 
k
P  



k

k
kP

1

 

 

Построение графиков эмпирических распределений 

 
Графическое представление распределений может быть оформлено в 

разных вариантах. Если на оси абсцисс отложить границы интервалов, а по оси 
ординат соответствующие абсолютные или относительные частоты и построить 
для 
каждого 
интервала 
прямоугольник, 
то 
полученный 
ступенчатый 

многоугольник называется гистограммой. 

Можно представить распределение частот в виде многоугольника, линия 

которого соединяет точки на пересечении осей середин интервалов и 
соответствующих им частот. Этот многоугольник называется полигоном 
распределения.  

Если 
показатель 
является 
дискретной 
величиной, 
графическое 

представление распределения частот в виде гистограммы не имеет смысла. В 
этом случае нужно пользоваться графическим представлением в виде графика, 
на котором показываются точки, соответствующие значениям показателя (ось 
абсцисс) и количеству каждого значения  (ось ординат). Для наглядности часто 
и для графического представления распределения дискретных величин 
используют график в виде полигона распределения. 

Гистограмма и полигон являются эмпирическими характеристиками 

функции распределения плотности вероятности. 

Если при построении графиков использовать не частоты, а накопленные 

абсолютные или относительные частоты, то распределение будет выглядеть в 
виде ступенчатой линии, которая является эмпирической характеристикой 
функции распределения.  

 
 
 
 

1.1.3. Пример статистической обработки данных о надёжности 

 
Провести статистическую обработку выборочных данных о наработке 

зерноуборочных комбайнов до отказа(вариант задания приведён в таблице 3).  

 
Таблица 3. Наработка зерноуборочных комбайнов к моментам отказов 

№ 

отказа 

Наработка испытуемых комбайнов(в часах) 

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 

 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 

1 
51 
12 
13 
5 
21 
13 
30 
18 
12 
4 

2 
59 
36 
39 
14 
59 
22 
38 
30 
39 
19 

3 
67 
56 
54 
53 
73 
52 
65 
39 
57 
23 

4 
81 
110 
57 
66 
78 
88 
73 
54 
71 
55 

5 
84 
119 
75 
81 
108 
90 
79 
85 
79 
60 

6 
85 
126 
79 
100 153 108 100 121 102 
62 

7 
99 
128 121 103 199 115 106 128 111 
80 

8 
118 
  
129 134 
  
124 138 136 150 
139 

9 
128 
  
147 136 
  
150 
  
142 172 
  

10 
147 
  
171 
  
  
155 
  
168 
  
  

11 
194 
  
  
  
  
  
  
207 
  
  

Для 
анализа 
безотказности 
комбайнов 
необходимо 
произвести 

первичную обработку данных наблюдений (таблица 3) – вычислить наработку 
комбайнов между отказами ( it  ) по формуле:   

 
 
j
j
i
t
t
t



1
,                                    
(12) 

где   
1

jt
  - наработка к моменту ( j+1) - го отказа; 

jt  - наработка к моменту ( j ) - го (предыдущего ) отказа; 

j– номер отказа. 
Результаты заносят в таблицу 4, представляющую исходные данные 

наработки  от отказа до отказа за период наблюдений для каждого комбайна. 

Для статистической обработки данных о наработке комбайнов до отказа 

данные по всем комбайнам необходимо объединить в один массив и разместить 
в одном столбце. 

Таблица 4.  Наработка зерноуборочных комбайнов между отказами 

Наработка комбайнов между отказами (в часах) 

№1 
№2 
№3 
№4 
№5 
№6 
№7 
№8 
№9 
№10 

51 
12 
13 
5 
21 
13 
30 
18 
12 
4 

8 
24 
26 
9 
38 
9 
8 
12 
27 
15 

8 
20 
15 
39 
14 
30 
27 
9 
18 
4 

14 
54 
3 
13 
5 
36 
8 
15 
14 
32 

3 
9 
18 
15 
30 
2 
6 
31 
8 
5 

1 
7 
4 
19 
45 
18 
21 
36 
23 
2 

14 
2 
42 
3 
46 
7 
6 
7 
9 
18 

19 
 
8 
31 
 
9 
32 
8 
39 
59 

10 
 
18 
2 
 
26 
 
6 
22 
 

19 
 
24 
 
 
5 
 
26 
 
 

47 
 
 
 
 
 
 
39