Нерелятивистская квантовая механика

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

А. Н. Кислов

НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ 
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Учебник

2-е издание, стереотипное

＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠  ＠ﾫﾻ＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠ＲＰＲ2＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠     ＲＰＲ2

УДК 530.145.6(075.8)
ББК 22.314я73
          К44

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра физики факультета геологии и геофизики 

ФГБОУ ВО «Уральский государственный горный университет» 
(завкафедрой д‑р физ.‑мат. наук, проф. И. Г. Коршунов);

ст. науч. сотр., канд. физ.‑мат. наук Д. Ю. Новоселов 

(Институт физики металлов УрО РАН)

Н а у ч н ы й  р е д а к т о р

доц., д‑р физ.‑мат. наук В. В. Зверев

Кислов А. Н.

К44    Нерелятивистская квантовая механика : учебник / А. Н. Кис
лов. — 2-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА ; Екатеринбург : Изд‑во Урал. ун‑та, 2022. — 256 с. — ISBN 
978-5-9765-5062-9 (ФЛИНТА) ; ISBN 978-5-7996-3353-0 
(Изд-во Урал. ун-та). — Текст : электронный.

Данный учебник предназначен для студентов, изучающих дис
циплину «Квантовая механика». Он состоит из восьми глав и
написан в соответствии с программой преподавания дисциплины. 
Изложение ведется с учетом знаний, полученных студентами на
этапе изучения общей физики и высшей математики. В нем особое 
внимание уделяется базовым понятиям квантовой механики.

УДК 530.145.6(075.8)
ББК 22.314я73

ISBN 978-5-9765-5062-9 (ФЛИНТА)
© Уральский федеральный

университет, 2022

ISBN 978-5-7996-3353-0 (Изд-во Урал. ун-та) © Кислов А. Н., 2022

Оглавление

Предисловие..................................................................................................... 5

Введение ........................................................................................................... 7

1. Математический аппарат квантовой механики .......................................... 13

1.1. Абстрактное гильбертово пространство ............................................ 13
1.2. Линейные однородные операторы ..................................................... 17
1.3. Собственные векторы и собственные значения оператора .............. 21
1.4. Представление векторов и операторов .............................................. 24
1.5. Изменение представления ................................................................. 32
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 34

2. Основные принципы и понятия квантовой механики ................................. 36

2.1. Постулаты квантовой механики ........................................................ 36
2.2. Условия квантования ......................................................................... 44
2.3. Соотношение неопределенностей для физических величин ........... 48
2.4. Координатное представление ............................................................ 52
2.5. Импульсное представление ............................................................... 65
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 71

3. Квантовая динамика ................................................................................... 72

3.1. Изменение квантовых состояний во времени .................................. 73
3.2. Зависимость физических величин от времени ................................. 76
3.3. Уравнение Шредингера в координатном представлении ................ 80
3.4. Стационарные состояния .................................................................. 83
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 88

4. Элементарное применение квантовой механики
(одномерное движение частицы) .................................................................... 90

4.1. Свободное движение частицы ........................................................... 91
4.2. Частица в потенциальном поле прямоугольной формы................... 94
4.3. Гармонический осциллятор ..............................................................101
4.4. Движение частицы в периодическом поле .......................................111
Задачи для самостоятельного решения ...................................................116

5. Механические моменты ............................................................................118

5.1. Общие свойства оператора углового момента .................................118
5.2. Векторное сложение двух моментов. Коэффициенты 
        Клебша — Гордана ............................................................................124
5.3. Орбитальный момент и сферические функции ...............................131

Оглавление

5.4. Собственный момент и матрицы Паули ..........................................139
5.5. Полный угловой момент ...................................................................146
Задачи для самостоятельного решения ...................................................149

6. Движение в центральном потенциальном поле ..........................................151

6.1. Особенности движения частиц в сферически‑симметричном поле ...151
6.2. Свободное вращательное движение частицы ..................................154
6.3. Движение электрона в кулоновском поле притяжения ...................157
6.4. Энергетический спектр и волновые функции стационарных 
        состояний водородоподобного атома ..............................................164
Задачи для самостоятельного решения ...................................................168

7. Приближенные методы решения уравнения Шредингера .........................170

7.1. Стационарная теория возмущений ..................................................170
7.2. Простейшие применения стационарной теории возмущений .......177
7.3. Нестационарная теория возмущений и элементы теории 
        квантовых переходов ........................................................................186
7.4. Вариационный метод ........................................................................193
Задачи для самостоятельного решения ...................................................197

8. Многоэлектронные системы .....................................................................199

8.1. Принцип тождественности частиц: бозоны и фермионы ...............199
8.2. Многочастичные функции для систем бозонов и фермионов ........204
8.3. Элементарная теория атомов с двумя электронами ........................208
8.4. Методы самосогласованного поля Хартри и Хартри — Фока 
        для атомов со многими электронами ...............................................218
8.5. Двухатомная молекула ......................................................................226
Задачи для самостоятельного решения ...................................................246

Приложение ..................................................................................................248

Библиографический список ...........................................................................250

Алфавитно-предметный указатель ................................................................251

ПРЕДИСЛОВИЕ

В 

книге сделана попытка систематического изложения в малом 
объеме достаточно большого учебного материала, касающегося только нерелятивистской квантовой механики. Изложение 
материала ведется с учетом имеющихся у студентов знаний, полученных на раннем этапе обучения — при изучении курсов общей физики и высшей математики1.
Предлагаемое издание ориентировано на студентов, которые изучают квантовую механику в течение одного семестра. Большое внимание уделяется тому, чтобы дать обучаемому правильное и полное 
понимание математического аппарата квантовой механики, ее физических основ. В конце каждой главы представлен список задач с ответами, самостоятельное решение которых в ряде случаев может помочь глубже понять часть вопросов, затрагиваемых в основном тексте.
Учебник начинается с введения и последующего рассмотрения математического аппарата квантовой механики. При этом дается понятие 
гильбертова пространства, вспоминается алгебра линейных операторов и кратко затрагиваются элементарные основы теории представлений. Затем вводятся физические постулаты и принципы, а также рассматриваются другие базовые положения квантовой механики. Далее 
обсуждаются способы описания эволюции квантовой системы.
После изложения аксиоматики квантовой теории в первых трех 
главах, в четвертой главе в рамках квантово‑механического подхода решается ряд типичных задач об одномерном движении частицы, 
на примере которых представлена методика и способы решения подобного рода простых задач. Оставшаяся часть книги, включающая 
четыре главы, посвящена обсуждению разнообразных вопросов, ко1 Данный учебник написан на основе курса лекций (в объеме 68 ч) по дисциплине «Квантовая механика», который автор читал в УрФУ имени первого Президента 
России Б. Н. Ельцина студентам физико‑технологического института. 

ПРЕДИСЛОВИЕ

торые относятся к таким важным темам, как момент импульса, движение в центральном поле, приближенные методы решения уравнения Шредингера и многоэлектронные системы.
Учебник представляет собой самодостаточное законченное целое. 
Он позволяет сформировать у студентов современной взгляд на квантовую механику и дает возможность, во‑первых, овладеть системой ее 
понятий, положений и принципов, во‑вторых, получить знания, которые необходимо использовать при решении уравнений, записанных 
на основе квантово‑механического подхода для конкретных микросистем, в‑третьих, научиться на практике применять соответствующий 
математический аппарат при решении задач, в которых рассматриваются микрообъекты.

ВВЕДЕНИЕ

К

вантовая механика является одним из основных разделов теоретической физики и играет фундаментальную роль в современной физике и химии. Ее можно подразделить на нерелятивистскую и релятивистскую механику. Становление первой связано 
с именами таких великих ученых, как Л. де Бройль, Э. Шредингер 
и В. Гейзенберг, второй — В. Гейзенберг, П. Дирак и В. Паули. Квантовая механика включает в себя как предельный случай классическую 
механику и классическую теорию поля.
С помощью квантовой механики удается по‑новому взглянуть 
на многие явления ядерной, атомной и молекулярной физики, а также оптики и физики твердого тела. Ее применение дает возможность 
понять различные природные процессы, при объяснении которых 
прежние теории (ньютоновская механика и максвелловская электродинамика) приводили к результатам, находящимся в противоречии 
с экспериментом. Особенно это касается процессов, протекающих 
в физических системах атомных и субатомных масштабов (имеют размеры меньшие 10–9 м), другими словами, в микромире. В связи с этим 
к предмету изучения квантовой механики относится движение микроскопических объектов (микрочастиц), например, элементарных частиц, атомов, молекул.
Начнем с перечисления некоторых явлений, обнаруженных в конце XIX в. и начале XX в., при интерпретации которых исследователи 
столкнулись с непреодолимыми трудностями, что впоследствии привело к возникновению квантовой механики. Опираясь на принципы 
классической физики, невозможно было объяснить линейчатый характер атомных спектров (спектры одноатомных газов состоят из отдельных спектральных линий), форму спектрального распределения 
интенсивности высокочастотного равновесного теплового излучение 
абсолютно черного тела, закономерности внешнего фотоэффекта 
(процесс испускания электронов веществом под действием света), 

ВВЕДЕНИЕ

эффект Комптона (при рассеянии веществом монохроматического 
пучка рентгеновских лучей с длиной волны λ в спектре рассеянного 
излучения возникает дополнительная спектральная линия на длине 
волны ўl > l). Сюда же можно отнести попытки построения теории 
атома, которые принадлежат к задачам, нерешаемым в рамках классической физики.
Планетарная модель атома, предложенная Э. Резерфордом в 1911 г., 
была с точки зрения классической электродинамики динамически  
неустойчива. Согласно этой модели, отрицательно заряженный электрон должен совершать движение по замкнутой орбите вокруг небольшого, плотного, положительно заряженного ядра. Однако, поскольку 
движение электрона ускоренное, он излучает электромагнитные волны, что неизбежно приводит к потере им энергии. Расчеты показывали, что расстояние от электрона до ядра со временем уменьшается 
и, через время порядка 10–10 с, электрон, двигаясь по спиралевидной 
траектории, должен упасть на ядро. Следовательно, эта модель не объясняет стабильность атома. Кроме того, оказалось, что данная модель 
не способна объяснить и линейчатый характер атомного спектра.
Чтобы добиться согласия теории с экспериментом при описании 
распределения энергии в высокочастотной части спектра теплового 
излучения абсолютно черного тела, в 1900 г. М. Планк выдвинул гипотезу, противоречащую классическим волновым представлениям 
об излучении. Он предположил, что электромагнитное излучение с линейной частотой ν испускается (или поглощается) и распространяется не непрерывно, а дискретно, в виде отдельных порций с энергией Е 
кратной некоторой величине ∆Е: Е = n · ∆E, где n — целые числа. 
В свою очередь ∆Е пропорциональна частоте ν излучения (поглощения) D
= n
E
h , где коэффициентом пропорциональности h является 
фундаментальная физическая постоянная, называемая постоянной 
Планка, h = 6,626·10–34 Дж·с (в системе единиц СИ).
В 1905 г. А. Эйнштейн, при объяснении закономерностей внешнего фотоэффекта, развил идеи Планка и сделал предположение о том, 
что излучение испускается, распространяется и поглощается только 
порциями (квантами) с энергией 
= D
= n
E
E
h . Эти порции позднее назвали фотонами.
Обратимся теперь к эффекту Комптона, который был открыт 
в 1923 г. Попробуем объяснить его, основываясь на классических волновых представлениях об излучении. Согласно этим представлениям, 

Механизм рассеяния

механизм рассеяния состоит в том, что электроны в атомах вещества 
«раскачиваются» под воздействием электромагнитного поля падающей волны и совершают вынужденные колебания. Двигаясь с ускорением, они испускают во все стороны вторичное излучение с длиной 
волны, равной длине падающей волны. Следовательно, длины волн 
рассеянного и падающего излучения должны совпадать. Это противоречит опыту Комптона. Опираясь на корпускулярный (квантовый) 
подход к излучению и поглощению, предложенному А. Эйнштейном, 
ученые смогли понять природу эффекта Комптона.
Итак, наряду с многочисленными опытами по интерференции 
и дифракции света, проводимыми в XVII–XIX вв., которые приводили к выводу о волновой природе излучения, существовал ряд опытных 
фактов, противоречащих классическим представлениям об его волновой природе и для своего объяснения требующих квантового подхода 
к излучению. Указанные аспекты привели к созданию корпускулярноволнового дуализма в учении о природе света, из которого следовало, 
что свет может вести себя и как совокупность волн, т. е. колебаний 
электромагнитного поля, и как поток световых частиц (фотонов). При 
этом выяснилось, что волновой и квантовый подходы к излучению 
не исключают, а взаимно дополняют друг друга и позволяют описать 
подлинные закономерности распространения света и его взаимодействия с веществом. Соотношения между корпускулярными характеристиками (массой m, полной энергией E и импульсом p) и волновой 
характеристикой (частотой ν или длиной волны 
/
l =
n
c
, с — скорость 
света в вакууме) для фотонов следующие:

 

2
=
= n
E
mc
h  и 
/
= n
p
h
c.

В 1921 г. К. Рамзауэр, исследуя прохождение медленных электронов 
(с энергией 0,75–1,1 эВ) через газ из атомов аргона, обнаружил, что, 
при определенной энергии электронов, их рассеяние на атомах существенно уменьшается, в результате чего они проходят через газ практически беспрепятственно. Это явление, когда атомы инертного газа 
становятся «несуществующими» для электронов, обладающих определенной скоростью, и электроны пролетают сквозь них без столкновений (что противоречит классическим представлениям), носит название эффекта Рамзауэра.
В 1924 г. Л. де Бройль выдвинул смелую гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм не является особенностью только фото

ВВЕДЕНИЕ

нов, а обладает универсальностью и присущ частицам вещества. Им 
можно приписывать наряду с корпускулярными еще и волновые характеристики. Причем соотношения между корпускулярными и волновыми характеристиками частиц те же, что и для фотонов.
Согласно де Бройлю, любую частицу вещества массой m, двигающуюся со скоростью v, т. е. у которой модуль импульса будет p = mv, 
можно сопоставить с волной. В дальнейшем такую волну стали называть волной де Бройля. Ее длина λ вычисляется по формуле

 
l =
=
h
h
p
mv.

Например, волну де Бройля свободной частицы (на нее не действуют силы), двигающуюся вдоль положительного направления координатной оси X, рассматривают в виде плоской бегущей гармонической 
волны с круговой частотой ω = 2πν и постоянной амплитудой А. Уравнение для нее имеет вид

 
( , )
cos(
)
cos[(
) / ]
Y
=
w =

x
x t
A
t
kx
A
Et
p x
,

где t — время; k — волновое число, 
2 /
= p l
k
; 
= w

E
; 
= 
xp
k; 
/ 2
=
p

h
, 
а начальная фаза равна нулю.
Отметим, что волна де Бройля не является физической материальной волной, ее принято трактовать как «волну вероятности». 
Физический смысл этой волны заключается в том, что квадрат ее 
амплитуды в заданной точке пространства определяет плотность 
вероятности (см. п. 2.1) обнаружения соответствующей частицы 
в этом месте.
Гипотеза де Бройля получила экспериментальное подтверждение 
в 1927 г. в опытах К. Девиссона и Л. Джермера, которые изучали отражение электронов от пластинки никеля Ni. Ими обнаружено, что 
отражение происходит не по законам классической физики для частиц. Они наблюдали дифракционные и интерференционные явления. Позднее была экспериментально исследована дифракция протонов, нейтронов и даже молекул.
Кроме того, в 1913 г. Дж. Франком и Г. Герцем были проведены опыты, в которых изучалось прохождение через пары ртути пучка электронов, ускоренных электрическим полем. Экспериментально было 
установлено, что при столкновении электронов с атомами, кинетическая энергия электронов изменяется непроизвольным образом, при