Высшая математика для физиков. Линейная алгебра
Покупка
Издательство:
ФЛИНТА
Автор:
Сурнев Виктор Борисович
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 436
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9765-5065-0
Артикул: 789771.01.99
Доступ онлайн
1 000 ₽
В корзину
Пособие охватывает все разделы дисциплины «Линейная алгебра», предусмотренные государственным стандартом направления подготовки бакалавров 14.03.02 «Ядерные физика и технологии». В каждой главе пособия подробно излагаются теоретические сведения и приводятся необходимые примеры решения типовых задач. Предназначено для студентов направления подготовки 14.03.02 «Ядерные физика и технологии», а также для других направлений подготовки и специальностей физического профиля высших учебных заведений.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина В. Б. Сурнев ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ФИЗИКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебное пособие 2-е издание, стереотипное Москва Екатеринбург Издательство «ФЛИНТА» Издательство Уральского университета 2022 2022
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.14я73
С90
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра информатики ФГБОУ ВО УГГУ,
завкафедрой канд. техн. наук, доцент А. В. Дружинин;
д‑р физ.‑мат. наук, вед. науч. сотр. института геофизики
им. Ю. П. Булашевича УрО РАН А. Ф. Шестаков
Н а у ч н ы й р е д а к т о р
проф., д‑р физ.‑мат. наук В. К. Першин
Сурнев В. Б.
С90 Высшая математика для физиков. Линейная алгебра : учебное пособие /
В. Б. Сурнев. — 2‑е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА ; Екатеринбург : Изд‑во
Урал. ун‑та, 2022. — 436 с. — ISBN 978‑5‑9765-5065-0 (ФЛИНТА) ; ISBN
978‑5‑7996‑3356‑1 (Изд‑во Урал. ун‑та). — Текст : электронный.
Пособие охватывает все разделы дисциплины «Линейная алгебра», предусмотренные государственным стандартом направления подготовки бакалавров 14.03.02
«Ядерные физика и технологии». В каждой главе пособия подробно излагаются
теоретические сведения и приводятся необходимые примеры решения типовых
задач.
Предназначено для студентов направления подготовки 14.03.02 «Ядерные физика и технологии», а также для других направлений подготовки и специальностей
физического профиля высших учебных заведений.
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.14я73
Учебное издание
Сурнев Виктор Борисович
ВыСшая математика для физикоВ. линейная алгеБра
Учебное пособие
Подписано к выпуску 25.05.2022. Формат 70×100/16.
Уч.-изд. л. 23,61.
Электронное издание для распространения через Интернет.
ООО «ФЛИНТА», 117342, Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, офис 324.
Тел.: (495) 334-82-65; 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru
ISBN 978‑5‑9765-5065-0 (ФЛИНТА)
ISBN 978‑5‑7996‑3356‑1 (Изд‑во Урал. ун‑та)
© Уральский федеральный университет,
2022
© Сурнев В. Б., 2022
Оглавление Предисловие ......................................................................................... 9 глава 1. некоторые сведения из общей алгебры ................................ 17 1.1. Элементы теории множеств ...................................................... 17 Числовая прямая ........................................................................ 17 Понятие множества ................................................................... 18 Отношения между элементами и множествами ....................... 19 Операции над множествами. Закон тождества ......................... 23 Высказывания, предикаты и кванторы ..................................... 26 Бинарная алгебраическая операция ......................................... 27 Понятие бинарного отношения ................................................ 30 Отношение эквивалентности .................................................... 32 Отношение порядка ................................................................... 34 1.2. Алгебраические системы ........................................................... 35 Множества с одной алгебраической операцией, понятие группы .......................................................................... 35 Множества с двумя алгебраическими операциями, понятие кольца и поля ............................................................... 38 Абстрактные векторные пространства и алгебры..................... 40 Алгебраические системы, подсистемы, изоморфизм .............. 42 1.3. Числовые поля ........................................................................... 44 Поле действительных чисел. Аксиомы сложения .................... 44 Поле действительных чисел. Аксиомы умножения ................. 45 Поле действительных чисел. Дистрибутивные законы ............ 46 Поле действительных чисел. Аксиомы порядка ....................... 46 Аксиома полноты множества действительных чисел ............... 47 Абсолютная величина действительного числа ......................... 48 Поле комплексных чисел. Аксиоматическое построение и теорема существования ....................................... 49 Алгебраическая форма комплексного числа ............................ 54 Геометрическая интерпретация и тригонометрическая форма комплексного числа ....................................................... 55
Оглавление
глава 2. Векторные пространства ...................................................... 62
2.1. Трёхмерное евклидово пространство ....................................... 62
Понятие вектора ........................................................................ 62
Декартова система координат. Координаты точек
и векторов ................................................................................... 65
Представление радиус‑вектора в виде разложения
по базисным векторам ............................................................... 67
Выражение операций над векторами через
их координаты ............................................................................ 69
2.2. Скалярное произведение. Векторное и смешанное
произведения ............................................................................. 72
Скалярное произведение векторов и его свойства,
ортогональность ......................................................................... 72
Измерения в пространстве ........................................................ 77
Векторное и смешанное произведения векторов ..................... 78
Формулы для вычисления векторного и смешанного
произведений ............................................................................. 84
2.3. Прямая линия и плоскость в евклидовых
пространствах R2 и R3, уравнения и свойства ........................... 85
Уравнения прямой линии на плоскости R2 .............................. 85
Уравнение прямой линии в трёхмерном пространстве R3 ....... 89
Уравнения плоскости в трёхмерном пространстве R3 .............. 90
Взаимное расположение прямой линии и плоскости
в пространстве R3 ....................................................................... 93
2.4. Абстрактные векторные пространства и системы
линейных алгебраических уравнений ....................................... 98
Абстрактные векторные пространства n измерений ................ 98
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ........104
Эквивалентные СЛАУ. Метод Гаусса ......................................106
2.5. Аффинное и евклидово пространства ......................................109
Аффинное и евклидово пространства n измерений ................109
Ортонормированный базис в собственно евклидовом
пространстве Еп .........................................................................113
Два типа координат в евклидовом пространстве .....................120
2.6. Координатное пространство Rп ................................................122
Пространство вектор‑столбцов ................................................122
Скалярное произведение в координатном
пространстве .............................................................................124
Линейная зависимость и линейная независимость
системы вектор‑столбцов, базис ..............................................125
Норма вектор‑столбца в координатном пространстве ............128
Расстояние, угол и проекция в координатном пространстве .............................................................................130 2.7. Комплексное евклидово пространство ....................................130 Унитарное пространство ..........................................................130 Комплексное координатное пространство ..............................132 2.8. Строение векторных пространств. Изоморфизм ....................134 Подпространства векторного пространства ............................134 Прямая сумма подпространств ................................................142 Изоморфизм векторных пространств ......................................146 Ортогональная сумма подпространств евклидова пространства .............................................................................149 глава 3. линейные операторы в абстрактных векторных пространствах ....................................................................................153 3.1. Линейные операторы и матрицы. Алгебра линейных операторов .................................................................................153 Линейные операторы ................................................................153 Конструкция линейного оператора .........................................158 Действия с линейными операторами и матрицами .................163 Векторное пространство линейных операторов ......................168 Кольцо операторов ...................................................................169 Группа невырожденных операторов ........................................170 Алгебра операторов ...................................................................171 3.2. Определитель как функция ......................................................171 Определители ............................................................................171 Обратная матрица и формулы Крамера ...................................175 Критерий невырожденности линейного оператора ................178 3.3. Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при изменении базиса ..........................180 Преобразование базисных векторов ........................................180 Преобразование координат вектора ........................................183 Преобразование матрицы оператора .......................................185 Вывод формулы преобразования матрицы оператора в матричных обозначениях .....................................187 3.4. Ранг матрицы и ранг оператора. Совместность СЛАУ общего вида ....................................................................188 Понятие ранга матрицы ...........................................................188 Теорема о базисном миноре .....................................................189 Критерии совместности СЛАУ ................................................192 Решение СЛАУ общего вида ....................................................195
Оглавление 3.5. Плоскость и прямая линия в n‑мерном аффинном пространстве .............................................................................197 Определение плоскости в аффинном пространстве ...............197 Параметрические и неявные уравнения m‑мерной плоскости в n‑мерном аффинном пространстве .....................197 Частные случаи задания m‑мерной плоскости в n‑мерном аффинном пространстве .......................................200 глава 4. некоторые специальные виды линейных операторов .........................................................................204 4.1. Собственные подпространства и характеристический многочлен линейного оператора ..............................................204 Собственные векторы линейного оператора и их свойства .............................................................................204 Характеристический многочлен линейного оператора и его свойства ..........................................................208 Понятие спектра линейного оператора ...................................212 Инвариантные подпространства линейного оператора ...................................................................................215 Треугольная форма матрицы оператора ..................................223 4.2. Линейные операторы в евклидовых пространствах ................227 Линейные функционалы и сопряжённое пространство .........228 Сопряжённый оператор............................................................230 Самосопряжённые операторы и их свойства...........................235 Ортогональные операторы и их свойства ................................243 Унитарные операторы ..............................................................252 Общие свойства операторов в евклидовых пространствах ............................................................................256 4.3. Операторы проектирования .....................................................262 Прямая сумма линейных операторов.......................................262 Оператор проектирования на подпространство ......................268 Оператор ортогонального проектирования .............................270 глава 5. геометрия векторных пространств .....................................273 5.1. Некоторые задачи геометрии в n‑мерном собственно евклидовом пространстве ........................................................273 Критерий Грама линейной зависимости системы векторов .....................................................................................273
Наклонная, перпендикуляр и проекция в n‑мерном евклидовом пространстве .........................................................276 Объём параллелепипеда в n‑мерном собственно евклидовом пространстве .........................................................278 5.2. Квадратичные формы в пространстве Rп .................................285 Понятие квадратичной формы .................................................285 Преобразование матрицы квадратичной формы при изменении базиса ..............................................................287 Знакоопределённые квадратичные формы .............................290 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием ....................................298 Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом выделения полного квадрата .............................299 5.3. Кривые и поверхности второго порядка ..................................302 Определение и общее уравнение поверхности второго порядка ......................................................................................302 Эллипс и гипербола ..................................................................307 Парабола ...................................................................................310 Эллипсоид и гиперболоиды .....................................................311 Конус .........................................................................................312 Параболоиды .............................................................................313 Цилиндры ..................................................................................314 глава 6. некоторые вопросы алгебры, не вошедшие в основной курс ..................................................................................316 6.1. Кольцо многочленов от одного неизвестного .........................316 Определение многочлена .........................................................316 Равенство, сумма и произведение многочленов ......................318 Делимость многочленов ...........................................................322 Корни многочленов ..................................................................329 Основная теорема алгебры многочленов и следствия из неё ..332 Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители ..............................................337 Рациональные дроби ................................................................339 6.2. Общая теория определителей ...................................................344 Понятие определителя ..............................................................344 Свойства определителей ...........................................................347 6.3. Билинейные и квадратичные формы .......................................352 Определение билинейных и квадратичных форм ...................352 Матрицы билинейных и квадратичных форм .........................355
Оглавление Симметрические билинейные формы .....................................357 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ............................................................................................360 Канонический базис билинейной формы, метод Якоби .........................................................................................363 Билинейные и квадратичные формы в вещественном пространстве .............................................................................372 Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве .............................................................................374 6.4. Жорданова форма матрицы линейного оператора ..................377 Корневые векторы и корневые подпространства линейного оператора ................................................................377 Нильпотентные операторы и циклические подпространства .......................................................................380 Жорданов базис и жордановы клетки ......................................383 6.5. Метрика в евклидовых пространствах .....................................385 Плоскости в n‑мерном евклидовом пространстве ..................385 Ортонормированный репер в собственно евклидовом пространстве, ортогонализация Шмидта ................................392 Ортонормированный репер в комплексном евклидовом пространстве .........................................................395 Ортонормированный репер в вещественном евклидовом пространстве .........................................................397 глава 7. физические приложения теории конечномерных векторных пространств, линейных операторов и матриц ...................402 7.1. Инерциальные системы координат в классической механике .....................................................................................402 7.2. Структура кинетической энергии системы материальных точек в обобщённых координатах .............................................409 7.3. Движение по орбитам. Конические сечения ............................413 7.4. Законы Кирхгофа для электрических цепей ............................421 7.5. Представление чистых состояний в квантовой механике векторами в унитарном пространстве .......................................426 7.6. Наблюдаемые величины в квантовой механике .......................431 Библиографический список ...............................................................434
Предисловие Ни одна отрасль знания не может претендовать на право называться «научной», пока не сформулирует свои базовые понятия на языке математики. И звестно высказывание И. Канта: «В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики». Что касается связи физики и математики, то бытует мнение, что эти две науки неразрывно связаны и являются частями одной и той же физико‑математической науки. Вынесенная в эпиграф сентенция является некоторым расширением приведённых мнений на другие науки и отражает личный взгляд автора на роль математики в научном прогрессе и её связь с другими науками. Многолетний опыт работы в области теоретической геофизики и последующие более чем 25 лет преподавательской деятельности убедили автора в том, что многие понятия и выводы физики и техники становятся намного более понятными, если их преподавание основано на математике. Более того, в процессе преподавания физики некоторые её понятия и вовсе невозможно чётко сформулировать без применения математического языка. В качестве примера достаточно привести понятие сплошной гетерогенной среды, которое на словах можно сформулировать, например, так: «Гетерогенная среда — это среда, содержащая хаотически распределённые неоднородности с гладкими и резкими границами, заключённые в определённом объёме, …». Однако, такое «определение» ни в коей мере не раскрывает физическое содержание понятия «гетерогенная среда», а только затуманивает и так довольно сложное понятие. Если же использовать математический язык, то определение гетерогенной среды можно выразить краткой и прозрачной фразой: «Гетерогенная среда — это сплошная среда, материальные параметры которой являются кусочно‑непрерывными функциями, определёнными на подмножествах трёхмерного евклидова пространства». Конечно, это определение понятно человеку, изучившему в достаточной мере математику. Кроме этого, требуются предварительное разъяснение других понятий, например, что такое материальный па
Предисловие раметр среды. Тем не менее, можно утверждать, что определение физического понятия на языке математики резко упрощает понимание его сути. Таких примеров можно привести многие десятки и сотни. Таким образом, следует сделать вывод о том, что вынесенная в эпиграф сентенция отражает суть проблемы, а достаточно глубокое изучение математики совершенно необходимо студентам‑физикам. Вниманию читателя предлагается первая часть давно задуманного автором издания серии книг под общим названием «Высшая математика для физиков». Предполагается, что книги серии будут включать в себя материал лекций и практических занятий, которые автор проводил в течение 10 лет студентам специальности «Прикладная математика» Уральского государственного горного университета (УГГУ), а в последние несколько лет проводит для студентов направления подготовки «Ядерные физика и технологии» физико‑технологического института (ФТИ) Уральского федерального университета (УрФУ), а также студентам направления подготовки «Технология геологической разведки» и специальности «Горное дело» УГГУ. Путь к реализации задуманного был достаточно долгим и нелёгким. На этом пути автором за последние 20 лет было подготовлено и издано восемь учебных пособий [31–38], из которых три издания получили гриф УМО по образованию в области прикладной математики и управления качеством, а также несколько более мелких брошюр. Последним изданием на этом нелёгком пути стала книга автора «Математическое моделирование. Непрерывные детерминированные модели», получившая гриф УМО и изданная в 2013 году издательством Уральского государственного горного университета [38]. Последовавший за этим изданием пятилетний перерыв позволил автору восстановить силы, переосмыслить подходы к преподаванию математики для математиков‑прикладников, физиков и инженеров‑исследователей и подготовиться к написанию задуманной серии. Несколько слов о целесообразности и своевременности такого издания. Если физик‑экспериментатор или инженер‑эксплуатационщик могут довольствоваться не слишком обширными и достаточно формальными познаниями в математике, то физик‑теоретик, инженерконструктор, инженер‑исследователь и тем более специалист по математическому моделированию в области физики и техники должны не только обладать достаточно обширными познаниями в области математики, но и уметь творчески применять их для решения различных
Доступ онлайн
1 000 ₽
В корзину