Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Высшая математика для физиков. Линейная алгебра

Покупка
Артикул: 789771.01.99
Доступ онлайн
1 000 ₽
В корзину
Пособие охватывает все разделы дисциплины «Линейная алгебра», предусмотренные государственным стандартом направления подготовки бакалавров 14.03.02 «Ядерные физика и технологии». В каждой главе пособия подробно излагаются теоретические сведения и приводятся необходимые примеры решения типовых задач. Предназначено для студентов направления подготовки 14.03.02 «Ядерные физика и технологии», а также для других направлений подготовки и специальностей физического профиля высших учебных заведений.
Сурнев, В. Б. Высшая математика для физиков. Линейная алгебра : учебное пособие / В. Б. Сурнев. - 2-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА ; Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2022. - 436 с. - ISBN 978-5-9765-5065-0 (ФЛИНТА) ; ISBN978-5-7996-3356-1 (Изд-во Урал. ун-та). - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1900027 (дата обращения: 23.07.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации

Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

В. Б. Сурнев

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ФИЗИКОВ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебное пособие

2-е издание, стереотипное

Москва                                                         Екатеринбург
Издательство «ФЛИНТА»             Издательство Уральского университета
2022                                                                    2022

УДК 512.64(075.8) 
ББК 22.14я73
          С90

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра информатики ФГБОУ ВО УГГУ,

завкафедрой канд. техн. наук, доцент А. В. Дружинин;

д‑р физ.‑мат. наук, вед. науч. сотр. института геофизики 

им. Ю. П. Булашевича УрО РАН А. Ф. Шестаков

Н а у ч н ы й  р е д а к т о р

проф., д‑р физ.‑мат. наук В. К. Першин

Сурнев В. Б.

С90       Высшая математика для физиков. Линейная алгебра : учебное пособие / 
В. Б. Сурнев. — 2‑е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА ; Екатеринбург : Изд‑во 
Урал. ун‑та, 2022. — 436 с. — ISBN 978‑5‑9765-5065-0 (ФЛИНТА) ; ISBN 
978‑5‑7996‑3356‑1 (Изд‑во Урал. ун‑та). — Текст : электронный.

Пособие охватывает все разделы дисциплины «Линейная алгебра», предусмотренные государственным стандартом направления подготовки бакалавров 14.03.02 
«Ядерные физика и технологии». В каждой главе пособия подробно излагаются 
теоретические сведения и приводятся необходимые примеры решения типовых 
задач.

Предназначено для студентов направления подготовки 14.03.02 «Ядерные физика и технологии», а также для других направлений подготовки и специальностей 
физического профиля высших учебных заведений.

УДК 512.64(075.8) 
ББК 22.14я73

Учебное издание

Сурнев Виктор Борисович

ВыСшая математика для физикоВ. линейная алгеБра

Учебное пособие

Подписано к выпуску 25.05.2022. Формат 70×100/16.
Уч.-изд. л. 23,61. 
Электронное издание для распространения через Интернет.

ООО «ФЛИНТА», 117342, Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, офис 324.
Тел.: (495) 334-82-65; 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru

ISBN 978‑5‑9765-5065-0 (ФЛИНТА)
ISBN 978‑5‑7996‑3356‑1 (Изд‑во Урал. ун‑та)

© Уральский федеральный университет,
 2022
© Сурнев В. Б., 2022

Оглавление

Предисловие ......................................................................................... 9

глава 1. некоторые сведения из общей алгебры ................................ 17

1.1. Элементы теории множеств ...................................................... 17
Числовая прямая ........................................................................ 17
Понятие множества ................................................................... 18
Отношения между элементами и множествами ....................... 19
Операции над множествами. Закон тождества ......................... 23
Высказывания, предикаты и кванторы ..................................... 26
Бинарная алгебраическая операция ......................................... 27
Понятие бинарного отношения ................................................ 30
Отношение эквивалентности .................................................... 32
Отношение порядка ................................................................... 34
1.2. Алгебраические системы ........................................................... 35
Множества с одной алгебраической операцией, 
понятие группы .......................................................................... 35
Множества с двумя алгебраическими операциями, 
понятие кольца и поля ............................................................... 38
Абстрактные векторные пространства и алгебры..................... 40
Алгебраические системы, подсистемы, изоморфизм .............. 42
1.3. Числовые поля ........................................................................... 44
Поле действительных чисел. Аксиомы сложения .................... 44
Поле действительных чисел. Аксиомы умножения ................. 45
Поле действительных чисел. Дистрибутивные законы ............ 46
Поле действительных чисел. Аксиомы порядка ....................... 46
Аксиома полноты множества действительных чисел ............... 47
Абсолютная величина действительного числа ......................... 48
Поле комплексных чисел. Аксиоматическое 
построение и теорема существования ....................................... 49
Алгебраическая форма комплексного числа ............................ 54
Геометрическая интерпретация и тригонометрическая 
форма комплексного числа ....................................................... 55

Оглавление

глава 2. Векторные пространства  ...................................................... 62

2.1. Трёхмерное евклидово пространство  ....................................... 62
Понятие вектора ........................................................................ 62
Декартова система координат. Координаты точек 
и векторов ................................................................................... 65
Представление радиус‑вектора в виде разложения 
по базисным векторам ............................................................... 67
Выражение операций над векторами через 
их координаты ............................................................................ 69
2.2. Скалярное произведение. Векторное и смешанное 
         произведения ............................................................................. 72
Скалярное произведение векторов и его свойства, 
ортогональность ......................................................................... 72
Измерения в пространстве ........................................................ 77
Векторное и смешанное произведения векторов ..................... 78
Формулы для вычисления векторного и смешанного 
произведений ............................................................................. 84
2.3. Прямая линия и плоскость в евклидовых 
пространствах R2 и R3, уравнения и свойства ........................... 85
Уравнения прямой линии на плоскости R2 .............................. 85
Уравнение прямой линии в трёхмерном пространстве R3 ....... 89
Уравнения плоскости в трёхмерном пространстве R3 .............. 90
Взаимное расположение прямой линии и плоскости 
в пространстве R3 ....................................................................... 93
2.4. Абстрактные векторные пространства и системы 
линейных алгебраических уравнений ....................................... 98
Абстрактные векторные пространства n измерений ................ 98
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ........104
Эквивалентные СЛАУ. Метод Гаусса ......................................106
2.5. Аффинное и евклидово пространства ......................................109
Аффинное и евклидово пространства n измерений ................109
Ортонормированный базис в собственно евклидовом 
пространстве Еп .........................................................................113
Два типа координат в евклидовом пространстве .....................120
2.6. Координатное пространство Rп ................................................122
Пространство вектор‑столбцов ................................................122
Скалярное произведение в координатном 
пространстве .............................................................................124
Линейная зависимость и линейная независимость 
системы вектор‑столбцов, базис ..............................................125
Норма вектор‑столбца в координатном пространстве ............128



Расстояние, угол и проекция в координатном 
пространстве .............................................................................130
2.7. Комплексное евклидово пространство ....................................130
Унитарное пространство ..........................................................130
Комплексное координатное пространство ..............................132
2.8. Строение векторных пространств. Изоморфизм ....................134
Подпространства векторного пространства ............................134
Прямая сумма подпространств ................................................142
Изоморфизм векторных пространств ......................................146
Ортогональная сумма подпространств евклидова 
пространства .............................................................................149

глава 3. линейные операторы в абстрактных векторных 
пространствах ....................................................................................153

3.1. Линейные операторы и матрицы. Алгебра линейных 
операторов .................................................................................153
Линейные операторы ................................................................153
Конструкция линейного оператора .........................................158
Действия с линейными операторами и матрицами .................163
Векторное пространство линейных операторов ......................168
Кольцо операторов ...................................................................169
Группа невырожденных операторов ........................................170
Алгебра операторов ...................................................................171
3.2. Определитель как функция ......................................................171
Определители ............................................................................171
Обратная матрица и формулы Крамера ...................................175
Критерий невырожденности линейного оператора ................178
3.3. Преобразование координат вектора и матрицы 
линейного оператора при изменении базиса ..........................180
Преобразование базисных векторов ........................................180
Преобразование координат вектора ........................................183
Преобразование матрицы оператора .......................................185
Вывод формулы преобразования матрицы 
оператора в матричных обозначениях .....................................187
3.4. Ранг матрицы и ранг оператора. Совместность 
СЛАУ общего вида ....................................................................188
Понятие ранга матрицы ...........................................................188
Теорема о базисном миноре .....................................................189
Критерии совместности СЛАУ ................................................192
Решение СЛАУ общего вида ....................................................195

Оглавление

3.5. Плоскость и прямая линия в n‑мерном аффинном 
пространстве .............................................................................197
Определение плоскости в аффинном пространстве ...............197
Параметрические и неявные уравнения m‑мерной 
плоскости в n‑мерном аффинном пространстве .....................197
Частные случаи задания m‑мерной плоскости 
в n‑мерном аффинном пространстве .......................................200

глава 4. некоторые специальные виды 
линейных операторов .........................................................................204

4.1. Собственные подпространства и характеристический 
многочлен линейного оператора ..............................................204
Собственные векторы линейного оператора 
и их свойства .............................................................................204
Характеристический многочлен линейного 
оператора и его свойства ..........................................................208
Понятие спектра линейного оператора ...................................212
Инвариантные подпространства линейного 
оператора ...................................................................................215
Треугольная форма матрицы оператора ..................................223
4.2. Линейные операторы в евклидовых пространствах ................227
Линейные функционалы и сопряжённое пространство .........228
Сопряжённый оператор............................................................230
Самосопряжённые операторы и их свойства...........................235
Ортогональные операторы и их свойства ................................243
Унитарные операторы ..............................................................252
Общие свойства операторов в евклидовых 
пространствах ............................................................................256
4.3. Операторы проектирования .....................................................262
Прямая сумма линейных операторов.......................................262
Оператор проектирования на подпространство ......................268
Оператор ортогонального проектирования .............................270

глава 5. геометрия векторных пространств  .....................................273

5.1. Некоторые задачи геометрии в n‑мерном собственно 
евклидовом пространстве  ........................................................273
Критерий Грама линейной зависимости системы 
векторов .....................................................................................273



Наклонная, перпендикуляр и проекция в n‑мерном 
евклидовом пространстве .........................................................276
Объём параллелепипеда в n‑мерном собственно 
евклидовом пространстве .........................................................278
5.2. Квадратичные формы в пространстве Rп .................................285
Понятие квадратичной формы .................................................285
Преобразование матрицы квадратичной формы 
при изменении базиса ..............................................................287
Знакоопределённые квадратичные формы .............................290
Приведение квадратичной формы к каноническому 
виду ортогональным преобразованием ....................................298
Приведение квадратичной формы к каноническому 
виду методом выделения полного квадрата .............................299
5.3. Кривые и поверхности второго порядка ..................................302
Определение и общее уравнение поверхности второго 
порядка ......................................................................................302
Эллипс и гипербола ..................................................................307
Парабола ...................................................................................310
Эллипсоид и гиперболоиды .....................................................311
Конус .........................................................................................312
Параболоиды .............................................................................313
Цилиндры ..................................................................................314

глава 6. некоторые вопросы алгебры, не вошедшие 
в основной курс ..................................................................................316

6.1. Кольцо многочленов от одного неизвестного .........................316
Определение многочлена .........................................................316
Равенство, сумма и произведение многочленов ......................318
Делимость многочленов ...........................................................322
Корни многочленов ..................................................................329
Основная теорема алгебры многочленов и следствия из неё ..332
Разложение многочлена с действительными 
коэффициентами на множители ..............................................337
Рациональные дроби ................................................................339
6.2. Общая теория определителей ...................................................344
Понятие определителя ..............................................................344
Свойства определителей ...........................................................347
6.3. Билинейные и квадратичные формы .......................................352
Определение билинейных и квадратичных форм ...................352
Матрицы билинейных и квадратичных форм .........................355

Оглавление

Симметрические билинейные формы .....................................357
Приведение квадратичной формы к каноническому 
виду ............................................................................................360
Канонический базис билинейной формы, метод 
Якоби .........................................................................................363
Билинейные и квадратичные формы в вещественном 
пространстве .............................................................................372
Билинейные и квадратичные формы в евклидовом 
пространстве .............................................................................374
6.4. Жорданова форма матрицы линейного оператора ..................377
Корневые векторы и корневые подпространства 
линейного оператора ................................................................377
Нильпотентные операторы и циклические 
подпространства .......................................................................380
Жорданов базис и жордановы клетки ......................................383
6.5. Метрика в евклидовых пространствах .....................................385
Плоскости в n‑мерном евклидовом пространстве ..................385
Ортонормированный репер в собственно евклидовом 
пространстве, ортогонализация Шмидта ................................392
Ортонормированный репер в комплексном 
евклидовом пространстве .........................................................395
Ортонормированный репер в вещественном 
евклидовом пространстве .........................................................397

глава 7. физические приложения теории конечномерных 
векторных пространств, линейных операторов и матриц ...................402

7.1. Инерциальные системы координат в классической 
механике .....................................................................................402
7.2. Структура кинетической энергии системы материальных 
точек в обобщённых координатах .............................................409
7.3. Движение по орбитам. Конические сечения ............................413
7.4. Законы Кирхгофа для электрических цепей ............................421
7.5. Представление чистых состояний в квантовой механике 
векторами в унитарном пространстве .......................................426
7.6. Наблюдаемые величины в квантовой механике .......................431

Библиографический список ...............................................................434

Предисловие

Ни одна отрасль знания не может претендовать на право называться «научной», 
пока не сформулирует свои базовые понятия на языке математики.

И

звестно высказывание И. Канта: «В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики». Что касается связи физики и математики, то бытует 
мнение, что эти две науки неразрывно связаны и являются частями 
одной и той же физико‑математической науки. Вынесенная в эпиграф 
сентенция является некоторым расширением приведённых мнений 
на другие науки и отражает личный взгляд автора на роль математики 
в научном прогрессе и её связь с другими науками.
Многолетний опыт работы в области теоретической геофизики и последующие более чем 25 лет преподавательской деятельности убедили 
автора в том, что многие понятия и выводы физики и техники становятся намного более понятными, если их преподавание основано на математике. Более того, в процессе преподавания физики некоторые её 
понятия и вовсе невозможно чётко сформулировать без применения 
математического языка. В качестве примера достаточно привести понятие сплошной гетерогенной среды, которое на словах можно сформулировать, например, так: «Гетерогенная среда — это среда, содержащая хаотически распределённые неоднородности с гладкими и резкими 
границами, заключённые в определённом объёме, …». Однако, такое 
«определение» ни в коей мере не раскрывает физическое содержание понятия «гетерогенная среда», а только затуманивает и так довольно сложное понятие. Если же использовать математический язык, то определение гетерогенной среды можно выразить краткой и прозрачной фразой: 
«Гетерогенная среда — это сплошная среда, материальные параметры 
которой являются кусочно‑непрерывными функциями, определёнными на подмножествах трёхмерного евклидова пространства».
Конечно, это определение понятно человеку, изучившему в достаточной мере математику. Кроме этого, требуются предварительное 
разъяснение других понятий, например, что такое материальный па
Предисловие

раметр среды. Тем не менее, можно утверждать, что определение физического понятия на языке математики резко упрощает понимание 
его сути. Таких примеров можно привести многие десятки и сотни. Таким образом, следует сделать вывод о том, что вынесенная в эпиграф 
сентенция отражает суть проблемы, а достаточно глубокое изучение 
математики совершенно необходимо студентам‑физикам.
Вниманию читателя предлагается первая часть давно задуманного 
автором издания серии книг под общим названием «Высшая математика для физиков». Предполагается, что книги серии будут включать 
в себя материал лекций и практических занятий, которые автор проводил в течение 10 лет студентам специальности «Прикладная математика» Уральского государственного горного университета (УГГУ), 
а в последние несколько лет проводит для студентов направления подготовки «Ядерные физика и технологии» физико‑технологического института (ФТИ) Уральского федерального университета (УрФУ), 
а также студентам направления подготовки «Технология геологической разведки» и специальности «Горное дело» УГГУ.
Путь к реализации задуманного был достаточно долгим и нелёгким. 
На этом пути автором за последние 20 лет было подготовлено и издано восемь учебных пособий [31–38], из которых три издания получили 
гриф УМО по образованию в области прикладной математики и управления качеством, а также несколько более мелких брошюр. Последним изданием на этом нелёгком пути стала книга автора «Математическое моделирование. Непрерывные детерминированные модели», 
получившая гриф УМО и изданная в 2013 году издательством Уральского государственного горного университета [38]. Последовавший 
за этим изданием пятилетний перерыв позволил автору восстановить 
силы, переосмыслить подходы к преподаванию математики для математиков‑прикладников, физиков и инженеров‑исследователей и подготовиться к написанию задуманной серии.
Несколько слов о целесообразности и своевременности такого издания. Если физик‑экспериментатор или инженер‑эксплуатационщик 
могут довольствоваться не слишком обширными и достаточно формальными познаниями в математике, то физик‑теоретик, инженерконструктор, инженер‑исследователь и тем более специалист по математическому моделированию в области физики и техники должны 
не только обладать достаточно обширными познаниями в области математики, но и уметь творчески применять их для решения различных 



задач. Поэтому изучение достаточно полного курса высшей математики совершенно необходимо для будущих физиков‑теоретиков и специалистов в области математического моделирования.
В недалёком прошлом было издано несколько математических 
курсов для подготовки студентов‑физиков, например книги [7, 10, 
24–29, 41]. Некоторые из этих книг написаны физиками «на физическом уровне строгости» [10] и вряд ли доставят читателю, нацеленному на работу в области теоретической физики и математического 
моделирования, необходимый объём математических знаний на соответствующем уровне строгости. Другие книги, например [40, 42], 
написаны математиками‑теоретиками на уровне строгости, по моему 
мнению, избыточном для вчерашнего школьника, в силу чего малодоступны для регулярного изучения современному российскому студенту первого и второго курсов.
Наиболее близко по уровню строгости и доступности для специалистов по математическому моделированию и физике вообще написан известный курс высшей математики академика В. И. Смирнова 
[24–29]. Однако слишком большой объём, недостаточное количество 
или даже отсутствие физических примеров, архаичность изложения 
и терминологии в определённой степени осложняет использование 
данного издания для регулярного изучения математики названной категорией студентов и молодых специалистов. К тому же за прошедшие 
почти 60 лет со времени первого издания курса В. И. Смирнова значительно изменились подходы к преподаванию математических дисциплин, терминология и даже обозначения [16, 17].
К сказанному выше следует добавить, что за последние примерно 20 лет по объективным и субъективным причинам в арсенал специалиста по теоретической физике и математическому моделированию кроме общих разделов высшей математики, таких как «Линейная 
алгебра», «Математический анализ», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Уравнения математической физики», «Теория 
функций комплексной переменной», «Теория вероятностей и математическая статистика», добавился и ряд других разделов, которые 
раньше преподавались в качестве специальных курсов. Назовём только такие разделы, как «Теория обобщённых функций», «Дифференциальная геометрия», «Интегральные уравнения и системы», «Функциональный анализ», «Вариационное исчисление» и некоторые другие 
разделы математики.

Предисловие

Кроме этого, вследствие далеко не самых лучших изменений ФГОС, 
выразившихся в разделении уровней подготовки (бакалавры и магистры), весьма нечётком понятии «компетенция», фактическом исключении из ФГОС понятия дисциплины и цикла дисциплин, произошло 
резкое сокращение времени, отпущенного на изучение математических и естественно‑научных дисциплин бакалаврами.
Естественно, что подобные изменения в структуре образовательного 
процесса влекут за собой существенные изменения в структуре собственно курса математики, выражающиеся в компоновке материала, а именно: 
в последовательности изложения тем, в уровне математической строгости изложения и, наконец, в переработке порядка и уровня изложения 
внутри самих тем. Цель таких изменений — не теряя в строгости и полноте изложения, максимально сократить время на нужный объём подаваемых на аудиторных занятиях сведений. В качестве примера можно 
привести упор на теорию линейных операторов в линейной алгебре или 
совместное изложение дифференциального исчисления функций одной и нескольких независимых переменных в математическом анализе.
Кроме этого, в общий курс математики для физиков совершенно 
необходимо ввести дополнения, позволяющие студенту воочию увидеть необходимость изучения математических методов с точки зрения 
их применения в физике и показать, что физика и математика являются двумя сторонами одной физико‑математической науки. Иными 
словами, студент должен проникнуться мыслью о том, что изучать физику без математики невозможно.
Стоит отметить, что введение физических дополнений в общий 
курс математики наталкивается на ряд существенных трудностей, связанных в первую очередь с тем, что во многих вузах и на факультетах 
физического профиля общая физика на первом семестре не преподаётся. С одной стороны, такая организация учебного процесса может быть обоснована как раз недостаточной математической подготовкой вчерашнего школьника, а с другой стороны, такое положение 
дел приводит к тому, что на первом семестре студент лишён «физической поддержки» при изучении математики. Если при изложении математического анализа, преподавание которого может быть основано 
на физических понятиях, отчасти известных ещё из школы, указанную 
трудность можно как‑то нивелировать, то при изложении линейной 
алгебры вводимые понятия настолько новы для вчерашнего школьника, что указанная трудность «встаёт в полный рост». Например, про


иллюстрировать первокурснику с точки зрения пока ещё неизвестной 
ему физики понятие квадратичной формы крайне затруднительно, так 
как впервые понятие квадратичной формы в полной мере проявится 
только при изучении механики, а именно при изучении кинетической 
энергии системы материальных точек в рамках механики Ньютона.
Предполагаемая серия книг является попыткой достаточно строгого, но не избыточно строгого, изложения общего курса высшей математики, ориентированного на подготовку специалистов в области 
физики и математического моделирования. Задуманная серия должна будет включать в себя книги, носящие следующие названия: «Линейная алгебра», «Дифференциальное и интегральное исчисление», 
«Дифференциальная геометрия и векторный анализ», «Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы», «Теория функций комплексной переменной и уравнения математической физики», «Интегральные уравнения и элементы математического моделирования». 
Следует отметить, что кроме первых двух все названия условные и могут измениться в процессе издания.
Открывающая предполагаемую серию первая книга «линейная алгебра» трактует входящую в учебный план физических и математических направлений подготовки одноимённую дисциплину. По своему 
содержанию и методике изложения данная книга опирается на учебное пособие автора [32], которое много лет использовалось для преподавания линейной алгебры студентам специальности «Прикладная математика» в Уральском государственном горном университете 
на факультете геологии и геофизики.
Естественно, что содержание книги подверглось значительной переработке и существенно дополнено. Во‑первых, изменены, часто 
с целью упрощения, доказательства некоторых утверждений и теорем. 
Во‑вторых, добавлено сравнительно большое число примеров с решением. В‑третьих, исправлены опечатки и вычислительные ошибки, закравшиеся в примеры в книге [32] в достаточно большом числе. В‑четвёртых, в книгу по возможности добавлено некоторое число 
сведений, иллюстрирующих применение теоретических положений 
линейной алгебры в физике. И наконец, самое существенное изменение состоит в том, что изменён формат книги, а именно, материал перегруппирован и размещён в семи главах в отличие от пяти глав 
книги [32]. По техническим причинам из книги пришлось исключить 
параграфы с практическими занятиями и заданиями для самостоятель
Предисловие

ной работы. Эти параграфы будут оформлены отдельно в виде практикума по линейной алгебре.
В силу описанных выше особенностей, сопровождающих преподавание высшей математики вообще и линейной алгебры в частности в вузе физического профиля, все имеющиеся в небольшом числе физические приложения и иллюстрации вынесены в конец книги, 
составляют содержание седьмой главы и доступны для освоения при 
параллельном изучении курса общей физики. Студентам, не изучающим общую физику в первом семестре, придётся отложить изучение 
физических приложений и до поры до времени довольствоваться изучением линейной алгебры в абстрактной форме. Впрочем, повторюсь, 
в данной книге таких приложений не слишком много.
В первой главе изложены самые начальные сведения из общей алгебры, которые являются своеобразным терминологическим фундаментом для всего дальнейшего изложения. В процессе изучения первой 
главы читатель получит достаточно полные сведения из наивной теории множеств и краткие сведения из теории алгебраических систем. 
Более подробно рассмотрены две алгебраические системы — поле действительных чисел и поле комплексных чисел.
Во второй главе подробно излагается теория конечномерных векторных пространств, которые являются как бы «ареной», на которой 
функционируют все вводимые далее объекты. Подробно изучается 
трёхмерное собственно евклидово пространство, являющееся основой 
аналитической геометрии. Понятие векторного пространства вводится в самом общем виде, достаточно полно изучается структура векторного пространства. В этой же главе изучаются аффинные и евклидовы пространства, имеющие основное значение для геометрических 
основ физики.
В третьей главе определяется понятие линейного оператора и подробно изучается структура линейных операторов в конечномерных 
пространствах. Рассматриваются элементы алгебры линейных операторов. Подробно изучаются достаточно сложные вопросы теории 
преобразования систем координат. Вводится понятие ранга оператора и его матрицы.
В четвёртой главе изучается задача на собственные значения линейного оператора и рассматриваются смежные вопросы теории собственных и инвариантных подпространств. Достаточно подробно изучаются сопряжённые, самосопряжённые и ортогональные операторы.



В пятой главе излагаются некоторые сведения из геометрии векторных пространств, в частности, строится решение некоторых типичных задач из геометрии многомерных собственно евклидовых 
пространств, изучается теория квадратичных форм. Завершается глава теорией поверхностей второго порядка в трёхмерном собственно  
евклидовом пространстве. По существу, пятая глава является квинтэссенцией предыдущих трёх глав.
В шестой главе рассматриваются некоторые алгебраические построения, не вошедшие в основной курс: кольцо многочленов, общая теория определителей, билинейные формы и их связь с квадратичными 
формами, каноническая (жорданова) форма матрицы линейного оператора, метрика в евклидовых пространствах.
В седьмой главе приведены некоторые простейшие приложения линейной алгебры к физике. Примеры взяты из классической и небесной механики, из теории электрических цепей и из квантовой механики. К сожалению, пришлось опустить возможные приложения в космологии.
Автор остался верен системе обозначений, принятой в книге [32]. Для 
векторов использованы обычные обозначения со стрелкой, операторы обозначаются большой буквой со «шляпкой». Для вектор‑столбцов 
и вектор‑строк в координатном пространстве использованы «bracket» 
обозначения П. А. М. Дирака [8], например, ket‑вектор | y> и bra‑вектор 

<x  | соответственно. Символ «*» используется для обозначения абстрактной алгебраической операции. Для конкретной операции, например 
сложения или умножения, используются символы «+», «×», и так далее.
Для координат векторов и элементов матриц применены обозначения с верхними и нижними индексами, что, возможно, несколько 
непривычно. Дело в том, что векторы имеют координаты двух типов — 
контравариантные и ковариантные: контравариантные координаты являются первичными и появляются в аффинном пространстве — для них 
используются обозначения с верхними индексами; ковариантные координаты появляются только в евклидовых пространствах [28]. Кроме 
этого, оправданием использования обозначений с верхними и нижними индексами служит не очевидное сразу удобство таких обозначений. 
Для записи различных утверждений и выводов широко используются 
простейшие логические обозначения.
Как было сказано выше, материал книги разбит на семь глав, которые разбиты в свою очередь на параграфы, а последние на пункты, 
не имеющие нумерации: ссылку на параграф под номером 3.2 следу
Предисловие

ет понимать в том смысле, что имеется в виду параграф 2 главы 3. Нумерация определений, теорем и формул сквозная для каждого параграфа: ссылка на определение (теорему, формулу) 3.2.1 означает, что 
имеется в виду определение (теорема, формула) 1 из параграфа 2 главы 3. Символом «·» обозначается окончание определения; символом 
«··» обозначается окончание доказательства теоремы, леммы или утверждения; символом «» обозначается окончание примера.
Некоторые параграфы и пункты отмечены символом «*». Это означает, что при первом изучении материал главы, параграфа (пункта) 
без ущерба для понимания последующего материала можно опустить. 
Впрочем, таких случаев немного.
Доказательства некоторых теорем набраны мелким шрифтом. Как 
правило, это сделано в случае, когда автор не смог предоставить более простых доказательств и вынужденно привёл довольно громоздкие «стандартные доказательства», известные из литературы. Эти доказательства предлагаются для ознакомления.
Некоторые разделы линейной алгебры автором намеренно приведены в упрощённом изложении, например, теория определителей изложена в эвристической (делай как сказано) форме, а квадратичные 
формы рассматриваются только в собственно евклидовом пространстве. Общая теория определителей, теория билинейных и квадратичных форм в абстрактных векторных пространствах и теория вещественных евклидовых пространств вынесены в дополнения. В данной 
книге не нашлось места тензорной алгебре. По соображениям удобства и полноты решено перенести тензорную алгебру и изложить её 
как часть тензорного исчисления в более подходящем месте курса.
В начале педагогической деятельности при подготовке лекционных курсов и практических занятий автор пользовался большим числом учебников и задачников, отмеченных в списке литературы. Большинство методических приёмов из упомянутых изданий естественным 
образом использованы и в данном курсе. Как уже отмечалось выше, 
в целях приблизить содержание книги к нуждам студентов физических направлений подготовки переработана методика изложения материала. Разумеется, ответственность за форму изложения материала 
лежит полностью на авторе.
Автор надеется, что представляемая книга будет полезна для изучения высшей математики студентами физических направлений подготовки.

Доступ онлайн
1 000 ₽
В корзину