Основные разделы сопротивления материалов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования 
«Казанский национальный исследовательский 
технологический университет» 

М. Н. Серазутдинов 

ОСНОВНЫЕ РАЗДЕЛЫ 
СОПРОТИВЛЕНИЯ  
МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие 

Казань 
Издательство КНИТУ 
2019 

УДК 539.3/.6 (075) 
ББК 30.121я7

С32

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. Р. А. Каюмов 
д-р физ.-мат. наук, проф. И. Н. Сидоров 

С32 

Серазутдинов М. Н. 
Основные разделы сопротивления материалов : учебное пособие / 
М. Н. Серазутдинов; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. 
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 264 с. 

ISBN 978-5-7882-2706-1

         Представлен материал по основным разделам сопротивления материа-
лов. Изложены основы теории, рассмотрены методы расчетов деформи-
руемых элементов конструкций.  
        Предназначено для студентов механических специальностей, изучаю-
щих дисциплины «Сопротивление материалов» и «Техническая механика».  
      Подготовлено на кафедре теоретической механики и сопротивления 
материалов. 

ISBN 978-5-7882-2706-1
© Серазутдинов М. Н., 2019
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 539.3/.6 (075) 
ББК 30.121я7

ВВЕДЕНИЕ

Если разбивается бутылка шампанского о борт спускаемого на 

воду корабля или закладывается первый камень в фундамент какой-то 
постройки, то это означает, что совершено действие, являющееся от-
голоском языческих обрядов жертвоприношения. Как известно, эти 
обряды исходят от тех времен, когда люди свое незнание и страх пе-
ред природой заменяли верой в силу обряда. Однако, как показывает 
опыт, знание всегда предпочтительнее веры. Ведь только на основе 
знаний законов природы можно создавать современные машины, кон-
струкции и сооружения, которые не разрушаются и безопасны при 
эксплуатации.

В настоящее время основой при создании любого объекта явля-

ются знание и опыт. На что же прежде всего обращают внимание со-
здатели новейших конструкций машин и аппаратов, а также инжене-
ры, создающие различные объекты. Прежде всего решаются вопросы 
прочности и долговечности объекта, т. е. вопросы, без правильного 
решения которых невозможно использование сооружений.

Все современные конструкции, машины, приборы и сооружения

изготавливают или строят по заранее разработанным проектам. Про-
ект – это документ, в котором, в частности, указываются размеры эле-
ментов и деталей конструкции, а также необходимые для их изготов-
ления материалы. Таким образом, еще в процессе проектирования
необходимо определять размеры элементов конструкции в зависимо-
сти от их назначения, условий эксплуатации, внешних воздействий и 
используемых материалов. 

При проведении ремонтных работ, устранении последствий ава-

рий, изменениях проекта элементы конструкций должны выбираться 
определенных размеров и форм, обладать заданными свойствами. 
Прежде всего необходимо, чтобы любая создаваемая конструкция бы-
ла экономичной и надежной при эксплуатации. Экономичность в зна-
чительной мере определяется расходом материала, применением не-
дорогих конструкционных материалов, возможностью изготовления 
деталей с учетом наиболее прогрессивных технологий. Надежность 
конструкции обеспечивается, если она сохраняет прочность, жест-
кость и устойчивость при гарантированной долговечности.

Прочность – это свойство конструкции сопротивляться разру-

шению при действии на нее внешних сил (нагрузок).

Жесткость – способность конструкции сопротивляться дефор-

мированию. Конструкция считается жесткой, если при действии 
внешних сил изменения ее размеров и формы сравнительно малы.

Устойчивость – свойство системы сохранять свое начальное 

равновесное положение при малых внешних воздействиях, не учиты-
ваемых в расчете.

Долговечность конструкции состоит в ее способности сохранять 

необходимые для эксплуатации свойства в течение определенного от-
резка времени.

Требования надежности и экономичности связаны противопо-

ложными тенденциями. Желая сделать конструкцию более надежной, 
приходится назначать большие размеры поперечных сечений ее эле-
ментов. Стремление же сделать конструкцию как можно более эконо-
мичной связано с необходимостью уменьшить размеры поперечных 
сечений элементов. В определенной степени удовлетворить требова-
ниям надежности и экономичности можно, используя знания, накоп-
ленные в науке о прочности тел.

Сопротивление материалов является одним из разделов науки о 

прочности, в котором излагаются закономерности деформирования и 
разрушения тел, основанные на теоретических исследованиях и дан-
ных экспериментов.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

1.1. Основные гипотезы сопротивления материалов

В твердом теле под действием приложенных к нему сил проис-

ходит изменение взаимного расположения частиц, при этом изменя-
ются его размеры и форма. Тело деформируется. Например, при рас-
тяжении стержня меняется его длина, а при изгибе изменяется форма.

Деформацией называется изменение взаимного расположения 

частиц тела, вызывающее изменение его размеров и формы. Если си-
лы, вызывающие деформацию, постепенно уменьшать и затем полно-
стью снять, то тело будет стремиться приобрести свою первоначаль-
ную форму. Деформации полностью или частично исчезнут.

Свойство тел деформироваться под нагрузкой и затем после 

устранения сил восстанавливать свою первоначальную форму, назы-
вается упругостью. Часть деформации, которая исчезает после снятия 
нагрузки, называется упругой деформацией, а та часть, которая остает-
ся, называется остаточной деформацией. Возникновение остаточной 
деформации связано с так называемой пластичностью тела. Если де-
формации после снятия нагрузки полностью исчезли, то тело называ-
ют абсолютно упругим.

У некоторых материалов упругие свойства одинаковы во всех 

направлениях. Такие тела называются изотропными. Анизотропным
называется тело, у которого упругие свойства различны в разных 
направлениях. Всякое реальное тело весьма неоднородно. Так, напри-
мер, неоднородность стали обусловлена неоднородностью кристалли-
ческой решетки, а также наличием отдельных включений. Еще более 
сложна структура строительных материалов, в частности бетона. При 
построении теории расчета невозможно отразить все многообразие 
свойств реальных объектов, поэтому приходится делать целый ряд 
допущений. 

В сопротивлении материалов рассматривается идеализирован-

ное тело, обладающее рядом свойств. Предполагается, что все мате-
риалы являются:

− деформируемыми – изменяют свои начальные размеры и

форму под действием внешних сил;

− однородными – имеют одинаковые свойства во всех точках;

− сплошными – не имеющими трещин и пустот;
− изотропными – механические свойства материала одинаковы 

во всех направлениях.

В большинстве случаев предполагается, что деформации явля-

ются упругими, т. е. после снятия нагрузки восстанавливаются перво-
начальные форма и размеры тела. Если деформации являются упру-
гими, то используется принцип независимости действия сил (принцип 
суперпозиции). В соответствии с этим принципом результат сов-
местного действия нескольких сил равен сумме результатов от дей-
ствия каждой из сил в отдельности.

Полагается, что возникающие в теле деформации и перемещения 

являются малыми. Кроме того, принимаются предположения, позво-
ляющие значительно упростить расчеты:

− принцип Сен-Венана (принцип локальности) – на достаточ-

ном удалении от места приложения силы, особенности способа при-
ложения этой силы можно не учитывать;

− гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений) – поперечные 

сечения стержня, плоские и нормальные к оси стержня до деформации, 
остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации.

1.2. Реальный объект и расчетная схема

Реальные сооружения, конструкции и машины, имеют, как пра-

вило, множество особенностей. Производить расчеты на надежность 
с учетом всех особенностей элементов конструкций достаточно слож-
но, а в ряде случаев – невозможно. Вместе с тем нет никакой необхо-
димости учитывать все особенности конструкции. Важно учесть толь-
ко те факторы, которые оказывают существенное влияние на надеж-
ность сооружения. Поэтому при расчете реальную конструкцию все-
гда заменяют расчетной схемой. Расчетная схема должна отражать ос-
новные, характерные свойства реальной конструкции, устраняя несу-
щественные второстепенные факторы, не оказывающие существенно-
го влияния на деформирование конструкции.

Идеализированная схема реального
объекта, отражающая 

наиболее существенные свойства конструкции, называется расчетной 
схемой. К основным факторам, определяющим расчетную схему, от-
носятся элементы конструкции, внешние силы, условия закрепления.

В сопротивлении материалов все элементы конструкций, условно де-
лятся на четыре типа: стержень, пластина, оболочка, массивное тело.

Стержнем называется тело, длина которого значительно боль-

ше его поперечных размеров. На рис. 1.1а показаны прямолинейный и 
криволинейный стержни. Геометрическое место точек, совпадающих 
с центрами тяжести поперечных сечений стержня, называется про-
дольной осью.

Элемент конструкции, ограниченный с двух сторон плоскостя-

ми, расстояние между которыми мало по сравнению с другими разме-
рами, называется пластиной (рис. 1.1б). Элемент конструкции, огра-
ниченный двумя поверхностями, отстоящими друг от друга на малом
расстоянии, называется оболочкой (рис. 1.1в). Элемент конструкции, 
размеры которого во всех направлениях сравнимы по величине, назы-
вается массивом (рис. 1.1г).

Выделение в расчетной схеме исследуемого объекта элементов

конструкций в виде стержней, пластин, оболочек и массивных тел 
позволяет значительно снизить трудоемкость расчетов конструкции 
на надежность. Это связано с тем, что для расчетов указанных элемен-
тов конструкций используются соответствующие формулы, получен-
ные с учетом особенностей этих элементов. Например, для расчета 
стержней используются соотношения сопротивления материалов, 

а
б

в
г

Рис. 1.1. Элементы конструкций: а – прямолинейный и криволинейный 

стержень; б – пластина; в – оболочка; г – массив

а для анализа деформирования массивных тел применяется теория 
упругости. Следовательно, сложный объект можно представить в виде 
совокупности взаимодействующих друг с другом элементов кон-
струкции, каждый из которых можно рассчитывать на надежность по 
отдельности. 

На рис. 1.2 представлен снимок части нефтехимического ком-

плекса, который является очень сложной конструкцией. В настоящее 
время невозможно и не целесообразно рассчитывать этот комплекс, не 
разделяя его на элементы. Если же представить его как совокупность 
элементов конструкций: стержней (трубопроводы и элементы карка-
са), пластин (междуэтажные перекрытия), оболочек (сосуды высокого 
давления) и массивных тел (фундаментные опоры), то расчет на 
надежность значительно упрощается. Упрощение в расчетах возника-
ет из-за того, что элементы конструкций можно рассчитывать по от-
дельности (с учетом их взаимодействия). 

Рис. 1.2. Нефтехимический комплекс

Внешние силы являются мерой взаимодействия рассматривае-

мого тела с окружающими телами и средой. Различают объемные и 
поверхностные силы. Объемные силы непрерывно распределены по 
всему объему тел. Отметим, что к поверхностным силам относятся вес
тела, силы инерции, магнитные силы. Поверхностные силы действуют 
на поверхности тела.

Соприкосновение тел всегда происходит по некоторой площад-

ке. Поэтому все поверхностные силы являются распределенными по 
площади. Если тела соприкасаются по узкой длинной области, то счи-
тается, что поверхностная сила действует по линии. Если размеры 
площадки, по которой происходит взаимодействие тел, малы по срав-
нению с размерами тела, то считается, что поверхностная сила прило-
жена в точке и называется сосредоточенной.

По характеру изменения во времени различают нагрузки стати-

ческие и динамические. 

Статические нагрузки являются постоянными либо медленно

изменяют свою величину или точку приложения (направление). Воз-
никающие при этом силы инерции тела можно не учитывать. 

Динамические нагрузки быстро изменяются во времени, при 

этом в деформируемой конструкции возникают силы инерции, кото-
рые необходимо учитывать при расчетах, так как они достигают зна-
чительных величин.

Условия закрепления и способы соединения друг с другом эле-

ментов конструкций оказывают существенное влияние на деформаци-
онные свойства конструкций. Закрепляющие тело элементы наклады-
вают ограничения на его перемещение и повороты. Отметим, что 
ограничение, наложенное на перемещение тела в пространстве други-
ми телами, называют связью. Следовательно, можно говорить, что за-
крепляющие тело элементы накладывают на него связи.

Сила, стремящаяся привести тело в движение, называется ак-

тивной (внешней). Сила, препятствующая перемещению, называется 
реакцией связи. Воздействие закрепляющего элемента на стержень 
можно заменить силой, которая называется реакцией опоры.

К наиболее распространенным видам закрепления стержней от-

носятся подвижный и неподвижный шарниры, а также заделка (за-
щемление). Примеры таких способов закрепления стержней, а также 
используемые в расчетной схеме обозначения различных опорных 
элементов приведены на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Способы закрепления стержней: а – шарнирно-

подвижная опора; б – шарнирно-неподвижная опора; 

в – заделка (защемление)

Сварные швы

Расчетная схема

в

Стержень

Расчетная схема
Стержень

Стержень
Стержень

Расчетная схема

б

а