Основные разделы сопротивления материалов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования 
«Казанский национальный исследовательский 
технологический университет» 

М. Н. Серазутдинов 

ОСНОВНЫЕ РАЗДЕЛЫ 
СОПРОТИВЛЕНИЯ  
МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие 

Казань 
Издательство КНИТУ 
2019 

УДК 539.3/.6 (075) 
ББК 30.121я7

С32

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. Р. А. Каюмов 
д-р физ.-мат. наук, проф. И. Н. Сидоров 

С32 

Серазутдинов М. Н. 
Основные разделы сопротивления материалов : учебное пособие / 
М. Н. Серазутдинов; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. 
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 264 с. 

ISBN 978-5-7882-2706-1

         Представлен материал по основным разделам сопротивления материалов. Изложены основы теории, рассмотрены методы расчетов деформируемых элементов конструкций.  
        Предназначено для студентов механических специальностей, изучающих дисциплины «Сопротивление материалов» и «Техническая механика».  
      Подготовлено на кафедре теоретической механики и сопротивления 
материалов. 

ISBN 978-5-7882-2706-1
© Серазутдинов М. Н., 2019
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 539.3/.6 (075) 
ББК 30.121я7

ВВЕДЕНИЕ

Если разбивается бутылка шампанского о борт спускаемого на 

воду корабля или закладывается первый камень в фундамент какой-то 
постройки, то это означает, что совершено действие, являющееся отголоском языческих обрядов жертвоприношения. Как известно, эти 
обряды исходят от тех времен, когда люди свое незнание и страх перед природой заменяли верой в силу обряда. Однако, как показывает 
опыт, знание всегда предпочтительнее веры. Ведь только на основе 
знаний законов природы можно создавать современные машины, конструкции и сооружения, которые не разрушаются и безопасны при 
эксплуатации.

В настоящее время основой при создании любого объекта явля
ются знание и опыт. На что же прежде всего обращают внимание создатели новейших конструкций машин и аппаратов, а также инженеры, создающие различные объекты. Прежде всего решаются вопросы 
прочности и долговечности объекта, т. е. вопросы, без правильного 
решения которых невозможно использование сооружений.

Все современные конструкции, машины, приборы и сооружения

изготавливают или строят по заранее разработанным проектам. Проект – это документ, в котором, в частности, указываются размеры элементов и деталей конструкции, а также необходимые для их изготовления материалы. Таким образом, еще в процессе проектирования
необходимо определять размеры элементов конструкции в зависимости от их назначения, условий эксплуатации, внешних воздействий и 
используемых материалов. 

При проведении ремонтных работ, устранении последствий ава
рий, изменениях проекта элементы конструкций должны выбираться 
определенных размеров и форм, обладать заданными свойствами. 
Прежде всего необходимо, чтобы любая создаваемая конструкция была экономичной и надежной при эксплуатации. Экономичность в значительной мере определяется расходом материала, применением недорогих конструкционных материалов, возможностью изготовления 
деталей с учетом наиболее прогрессивных технологий. Надежность 
конструкции обеспечивается, если она сохраняет прочность, жесткость и устойчивость при гарантированной долговечности.

Прочность – это свойство конструкции сопротивляться разру
шению при действии на нее внешних сил (нагрузок).

Жесткость – способность конструкции сопротивляться дефор
мированию. Конструкция считается жесткой, если при действии 
внешних сил изменения ее размеров и формы сравнительно малы.

Устойчивость – свойство системы сохранять свое начальное 

равновесное положение при малых внешних воздействиях, не учитываемых в расчете.

Долговечность конструкции состоит в ее способности сохранять 

необходимые для эксплуатации свойства в течение определенного отрезка времени.

Требования надежности и экономичности связаны противопо
ложными тенденциями. Желая сделать конструкцию более надежной, 
приходится назначать большие размеры поперечных сечений ее элементов. Стремление же сделать конструкцию как можно более экономичной связано с необходимостью уменьшить размеры поперечных 
сечений элементов. В определенной степени удовлетворить требованиям надежности и экономичности можно, используя знания, накопленные в науке о прочности тел.

Сопротивление материалов является одним из разделов науки о 

прочности, в котором излагаются закономерности деформирования и 
разрушения тел, основанные на теоретических исследованиях и данных экспериментов.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

1.1. Основные гипотезы сопротивления материалов

В твердом теле под действием приложенных к нему сил проис
ходит изменение взаимного расположения частиц, при этом изменяются его размеры и форма. Тело деформируется. Например, при растяжении стержня меняется его длина, а при изгибе изменяется форма.

Деформацией называется изменение взаимного расположения 

частиц тела, вызывающее изменение его размеров и формы. Если силы, вызывающие деформацию, постепенно уменьшать и затем полностью снять, то тело будет стремиться приобрести свою первоначальную форму. Деформации полностью или частично исчезнут.

Свойство тел деформироваться под нагрузкой и затем после 

устранения сил восстанавливать свою первоначальную форму, называется упругостью. Часть деформации, которая исчезает после снятия 
нагрузки, называется упругой деформацией, а та часть, которая остается, называется остаточной деформацией. Возникновение остаточной 
деформации связано с так называемой пластичностью тела. Если деформации после снятия нагрузки полностью исчезли, то тело называют абсолютно упругим.

У некоторых материалов упругие свойства одинаковы во всех 

направлениях. Такие тела называются изотропными. Анизотропным
называется тело, у которого упругие свойства различны в разных 
направлениях. Всякое реальное тело весьма неоднородно. Так, например, неоднородность стали обусловлена неоднородностью кристаллической решетки, а также наличием отдельных включений. Еще более 
сложна структура строительных материалов, в частности бетона. При 
построении теории расчета невозможно отразить все многообразие 
свойств реальных объектов, поэтому приходится делать целый ряд 
допущений. 

В сопротивлении материалов рассматривается идеализирован
ное тело, обладающее рядом свойств. Предполагается, что все материалы являются:

− деформируемыми – изменяют свои начальные размеры и

форму под действием внешних сил;

− однородными – имеют одинаковые свойства во всех точках;

− сплошными – не имеющими трещин и пустот;
− изотропными – механические свойства материала одинаковы 

во всех направлениях.

В большинстве случаев предполагается, что деформации явля
ются упругими, т. е. после снятия нагрузки восстанавливаются первоначальные форма и размеры тела. Если деформации являются упругими, то используется принцип независимости действия сил (принцип 
суперпозиции). В соответствии с этим принципом результат совместного действия нескольких сил равен сумме результатов от действия каждой из сил в отдельности.

Полагается, что возникающие в теле деформации и перемещения 

являются малыми. Кроме того, принимаются предположения, позволяющие значительно упростить расчеты:

− принцип Сен-Венана (принцип локальности) – на достаточ
ном удалении от места приложения силы, особенности способа приложения этой силы можно не учитывать;

− гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений) – поперечные 

сечения стержня, плоские и нормальные к оси стержня до деформации, 
остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации.

1.2. Реальный объект и расчетная схема

Реальные сооружения, конструкции и машины, имеют, как пра
вило, множество особенностей. Производить расчеты на надежность 
с учетом всех особенностей элементов конструкций достаточно сложно, а в ряде случаев – невозможно. Вместе с тем нет никакой необходимости учитывать все особенности конструкции. Важно учесть только те факторы, которые оказывают существенное влияние на надежность сооружения. Поэтому при расчете реальную конструкцию всегда заменяют расчетной схемой. Расчетная схема должна отражать основные, характерные свойства реальной конструкции, устраняя несущественные второстепенные факторы, не оказывающие существенного влияния на деформирование конструкции.

Идеализированная схема реального
объекта, отражающая 

наиболее существенные свойства конструкции, называется расчетной 
схемой. К основным факторам, определяющим расчетную схему, относятся элементы конструкции, внешние силы, условия закрепления.

В сопротивлении материалов все элементы конструкций, условно делятся на четыре типа: стержень, пластина, оболочка, массивное тело.

Стержнем называется тело, длина которого значительно боль
ше его поперечных размеров. На рис. 1.1а показаны прямолинейный и 
криволинейный стержни. Геометрическое место точек, совпадающих 
с центрами тяжести поперечных сечений стержня, называется продольной осью.

Элемент конструкции, ограниченный с двух сторон плоскостя
ми, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами, называется пластиной (рис. 1.1б). Элемент конструкции, ограниченный двумя поверхностями, отстоящими друг от друга на малом
расстоянии, называется оболочкой (рис. 1.1в). Элемент конструкции, 
размеры которого во всех направлениях сравнимы по величине, называется массивом (рис. 1.1г).

Выделение в расчетной схеме исследуемого объекта элементов

конструкций в виде стержней, пластин, оболочек и массивных тел 
позволяет значительно снизить трудоемкость расчетов конструкции 
на надежность. Это связано с тем, что для расчетов указанных элементов конструкций используются соответствующие формулы, полученные с учетом особенностей этих элементов. Например, для расчета 
стержней используются соотношения сопротивления материалов, 

а
б

в
г

Рис. 1.1. Элементы конструкций: а – прямолинейный и криволинейный 

стержень; б – пластина; в – оболочка; г – массив

а для анализа деформирования массивных тел применяется теория 
упругости. Следовательно, сложный объект можно представить в виде 
совокупности взаимодействующих друг с другом элементов конструкции, каждый из которых можно рассчитывать на надежность по 
отдельности. 

На рис. 1.2 представлен снимок части нефтехимического ком
плекса, который является очень сложной конструкцией. В настоящее 
время невозможно и не целесообразно рассчитывать этот комплекс, не 
разделяя его на элементы. Если же представить его как совокупность 
элементов конструкций: стержней (трубопроводы и элементы каркаса), пластин (междуэтажные перекрытия), оболочек (сосуды высокого 
давления) и массивных тел (фундаментные опоры), то расчет на 
надежность значительно упрощается. Упрощение в расчетах возникает из-за того, что элементы конструкций можно рассчитывать по отдельности (с учетом их взаимодействия). 

Рис. 1.2. Нефтехимический комплекс

Внешние силы являются мерой взаимодействия рассматривае
мого тела с окружающими телами и средой. Различают объемные и 
поверхностные силы. Объемные силы непрерывно распределены по 
всему объему тел. Отметим, что к поверхностным силам относятся вес
тела, силы инерции, магнитные силы. Поверхностные силы действуют 
на поверхности тела.

Соприкосновение тел всегда происходит по некоторой площад
ке. Поэтому все поверхностные силы являются распределенными по 
площади. Если тела соприкасаются по узкой длинной области, то считается, что поверхностная сила действует по линии. Если размеры 
площадки, по которой происходит взаимодействие тел, малы по сравнению с размерами тела, то считается, что поверхностная сила приложена в точке и называется сосредоточенной.

По характеру изменения во времени различают нагрузки стати
ческие и динамические. 

Статические нагрузки являются постоянными либо медленно

изменяют свою величину или точку приложения (направление). Возникающие при этом силы инерции тела можно не учитывать. 

Динамические нагрузки быстро изменяются во времени, при 

этом в деформируемой конструкции возникают силы инерции, которые необходимо учитывать при расчетах, так как они достигают значительных величин.

Условия закрепления и способы соединения друг с другом эле
ментов конструкций оказывают существенное влияние на деформационные свойства конструкций. Закрепляющие тело элементы накладывают ограничения на его перемещение и повороты. Отметим, что 
ограничение, наложенное на перемещение тела в пространстве другими телами, называют связью. Следовательно, можно говорить, что закрепляющие тело элементы накладывают на него связи.

Сила, стремящаяся привести тело в движение, называется ак
тивной (внешней). Сила, препятствующая перемещению, называется 
реакцией связи. Воздействие закрепляющего элемента на стержень 
можно заменить силой, которая называется реакцией опоры.

К наиболее распространенным видам закрепления стержней от
носятся подвижный и неподвижный шарниры, а также заделка (защемление). Примеры таких способов закрепления стержней, а также 
используемые в расчетной схеме обозначения различных опорных 
элементов приведены на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Способы закрепления стержней: а – шарнирно
подвижная опора; б – шарнирно-неподвижная опора; 

в – заделка (защемление)

Сварные швы

Расчетная схема

в

Стержень

Расчетная схема
Стержень

Стержень
Стержень

Расчетная схема

б

а