Математика: итоговое тестирование в системе Moodle

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

МАТЕМАТИКА: ИТОГОВОЕ 
ТЕСТИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ 

MOODLE

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2020

УДК 51(079)
ББК 22.1я7

М33

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доц. А. В. Антонова
канд. физ.-мат. наук, доц. Д. В. Шевченко

М33

Авторы: Н. Н. Газизова, Р. Ш. Корнеева, Е. Д. Крайнова, 
Н. В. Никонова, А. А. Осипов
Математика: итоговое тестирование в системе Moodle : учебно-методическое пособие / Н. Н. Газизова [и др.]; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2020. – 128 с.

ISBN 978-5-7882-2811-2

Содержит теоретические сведения и прикладные задачи по разделам: 

линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, комплексные числа, теория рядов, векторный анализ, теория вероятностей и математической статистики. 

Предназначено для студентов 1-го и 2-го курсов, изучающих дисци
плины «Математика», «Дополнительные главы математики». Может быть использовано для промежуточного и итогового тестирования в системе Moodle.

Подготовлено на кафедре высшей математики.

ISBN 978-5-7882-2811-2
© Газизова Н. Н., Корнеева Р. Ш., 

Крайнова Е. Д., Никонова Н. В., 
Осипов А. А., 2020

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2020

УДК 51(079)
ББК 22.1я7

ВВЕДЕНИЕ

Изучение данного пособия позволяет сформировать у обучаемых 

общекультурные и профессиональные компетенции:

– способность работать самостоятельно;
– способность к самоорганизации и самообразованию;
– владение культурой математического мышления, способность 

к обобщению и анализу информации, постановке целей и выбору путей 
достижения поставленной цели;

– готовность применять фундаментальные математические, есте
ственно-научные и общеинженерные знания в общепрофессиональной 
деятельности.

Учебно-методическое пособие состоит из трех частей. Первая 

часть содержит следующие разделы математики: линейная алгебра, 
векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление; вторая часть – комплексные числа, интегральное исчисление, дифференциальные уравнения; третья часть – векторный анализ, 
теория рядов, теория вероятностей и математической статистики, примеры решения типовых задач, тестовые задания и ответы к ним. Теоретическая часть включает в себя все необходимые сведения для подготовки к итоговому тестированию, а также может использоваться при 
подготовке к контрольным работам, коллоквиумам и экзаменам в конце 
семестра. Текст иллюстрируется большим количеством примеров и рисунков.

Помимо основных формул, определений, авторы предлагают 

подробный разбор тестовых заданий по указанным темам. Тестовые задания (20 вариантов) могут использовать как преподаватели для проведения практических занятий со студентами, организации аудиторных 
контрольных, зачетных и проверочных работ, так и студенты для самостоятельного изучения теоретического материала и индивидуальной 
подготовки к контрольным работам, коллоквиуму и экзамену.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Определители и их свойства

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица 

чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Определение. Числа m и n называются размерностями мат
рицы



















mn
m
m

n

n

a
a
a

a
a
a

a
a
a

...

...
...
...
...

...

...

=
А

2
1

2
22
21

1
12
11

Обозначения: А – матрица, аij – элемент матрицы, i – номер 

строки, в которой стоит данный элемент, j – номер соответствующего 
столбца, m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение. Матрица 
называется квадратной, 
если m = n. 

Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Определение. Определителем второго порядка (детерминан
том), соответствующим квадратной матрице 2-го порядка, называется 
число

=detA=
,
(1)

вычисляемое по правилу =
=а11а22–а21а12.

Пример. Определитель II порядка  
9
6

4
3
−

равен …

1)  3;    2) –3;   3) 51;  4) –51.
Решение. Используя формулу (1), получаем 

9
6

4
3
−

=39–6(–4)=27+24=51.

Ответ: 3.
Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим 

квадратной матрице 3-го порядка, называется число

22
21

12
11
а
а

а
а

22
21

12
11
а
а

а
а

.  (2)

Пример. Определитель III порядка 

2
3
4

5
1
1

2
1
5

−

−

−
−

равен …

1)  105;    2) –1;   3) 1;  4) –11.
Решение. Используя (2), получаем

=
−
−
+
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=

3
4
1
1
2
2
4
5
1
)1
(
2
3
5
1
5
2
3
4
5
1
1
2
1
5

=–5(–2–15)+(2–(–20))+2(3–4)=85+22–2=105.
Ответ: 1.
Определение. Системой m линейных алгебраических уравне
ний с n неизвестными называется  система вида

,
(3)

где aij – коэффициенты при неизвестных (первый индекс указывает номер уравнения, второй – номер неизвестной); bi – свободные члены, 

Определение. Решением системы (3) называется совокупность 

n чисел (
, которые при подстановке вместо неизвестных 

в уравнения обращают эти уравнения в тождества.

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неиз
вестными имеет единственное решение, если определитель системы не 
равен нулю. И это решение находится по формуле Крамера: 

,
(4)

32
31

22
21
13
33
31

23
21
12
33
32

23
22
11

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a

a
a
a
a
a

a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

+
−
=
=











=
+
+
+

=
+
+
+

=
+
+
+

m
n
2
2
1
1

2
n
2
2
22
1
21

1
n
1
2
12
1
11

b
...

..........
..........
..........
..........
..........

b
...

b
...

х
а
х
а
х
а

х
а
х
а
х
а

х
а
х
а
х
а

mn
m
m

n

n

.
,1
;
,1
n
j
m
i
=
=

)
;...;
;
2
1
nx
x
x

,n
j
,
j
j
x
1
   
Δ

Δ
=
=

где определители j называются определителями неизвестных хj и получаются из главного определителя путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.

Определение. Системой трех линейных алгебраических урав
нений с тремя неизвестными называется система вида







=
+
+

=
+
+

=
+
+

3
3
33
2
32
1
31

2
3
23
2
22
1
21

1
3
13
2
12
1
11

b

.
b

b

х
а
х
а
х
а

х
а
х
а
х
а

х
а
х
а
х
а

(5)

Рассмотрим систему (3). Если число строк совпадает с числом 

столбцов, т. е. m=n, то матрица А – квадратная и ее определитель – главный определитель системы. При 0 решение системы единственно и 
находится по формулам Крамера.

Тогда для системы (5) формулы Крамера будут иметь вид:







3
3
2
2
1
1
;
;
=
=
=
x
x
x
,

где определители 1, 2, 3 получаются из главного определителя путем замены 1-го, 2-го и 3-го столбцов соответственно столбцом свободных членов

Пример. Если (х0; у0) – решение системы   




=
−

=
+

8
2
3

5
3
4

y
x

y
x

, то зна
чение выражения 2х0–3у0 равно:

1) –1;   2)  –5;  3) –8;   4) 7 .
Решение. Решим систему методом Крамера:

;     

.   

17
9
8
3
3
)
2
(
4
2
3

3
4
−
=
−
−
=

−
−
=
−
=

;

34
24
10
3
8
)
2
(
5
2
8

3
5

1
−
=
−
−
=

−
−
=
−
=

;

12
2
22
1
22
2

12
1
1
a
b
a
b
a
b
a
b
−
=
=


21
1
11
2
2
21

1
11
2
a
b
a
b
b
a
b
a
−
=
=


17
15
32
5
3
8
4
8
3
5
4

2
=
−
=

−

=
=

;

х =
1
17
17
;2
17
34
2
1
−
=
−
=


=
=
−
−
=


у
.

Ответ: 4.

Пример. Найти у0 методом Крамера 







=
−
+

−
=
+
−

=
−
+

11
5
3

4
2
2

9
4
3

z
y
x

z
y
x

z
y
x

1) 0;   2) 2;   3) –2;   4) 1.
Решение. Так как нужно найти только у0, то решим систему ме
тодом Крамера:

=
;8
5
3

1
2
1
1
3

2
2
4
1
5

2
1
3

1
5
3

2
1
2

1
4
3

−
=
−
−
−
−
−

−
=

−

−

−

2=
16

1
11
3

2
4
2

1
9
3

−
=

−

−

−

; 

Таким образом, у =
2
8
16
2
=
−
−
=


.

Ответ: 2.

Матрицы и действия над ними

Определение. Произведением матрицы на число называется 

матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на 
заданное число.

Определение. Суммой матриц А и В одного размера называется 

матрица С=А+В такого же размера, получаемая из исходных путем 
сложения соответствующих элементов.

Пример. Если А =








−
−

4
3

1
5

, В=
, то 6А–2В равно 







−
0
4
5
3

1) 
;   2) 
;  3) 








−
−

24
10

16
24

;  4) 35.

Решение. Найдем 

6А=

6 ( 5)
6 ( 1)

6 3
6 4

 −
 −










=

30
6

18
24

−
−







,

2В=








−


0
2
4
2

5
2
)3
(
2

=



−

0
8

10
6

, 

6А–2В=








−
−

24
18

6
30

–



−

0
8

10
6

=








−
−

−
−
−
−
−

0
24
8
18

10
6
)
6
(
30

=

=

24
16

10
24

−
−







.

Ответ: 3.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Векторы. Скалярное, векторное произведения

Определение. Прямоугольной (декартовой) системой координат 

называется совокупность точки 𝑂 и ортонормированного базиса i , j ,
k , т. е. такого базиса, в котором векторы имеют длины, равные 1, и 
взаимно перпендикулярны. Три взаимно перпендикулярные прямые в 

направлении базисных векторов i , j , k
называются осями коорди
нат: осью абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

Определение. Вектор – это направленный отрезок, т. е. отрезок, 

имеющий длину и определенное направление.

Графически векторы изображаются в виде направленных отрез
ков прямой определенной длины.

В

А









−
−
17
2
17
9








−
3
1
1
2

Вектор, начало которого – точка А, а конец – точка В, обознача
ется АВ . Также вектор обозначают одной буквой, например
.

Пусть в прямоугольной системе координат точка А имеет коор
динаты А(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), тогда координаты вектора АВ
можно найти по формуле

АВ ={ xB- xA, yB-yA, zB-zA}.
(6)

Определение. Произведением 
вектора
на 
вещественное 

число  называется вектор
, определяемый условием

1) 
=
.

И, если 
≠0, то еще двумя условиями:

2) вектор
коллинеарен вектору
;

3) векторы
и
направлены одинаково, если >0 , и противо
положно, если <0. 

Произведение вектора
на число  обозначается 
.

В координатном представлении, если векторы 
и 
заданы как 

={ax; ay; az},  
={bx; by; bz}, то вектор суммы получается суммирова
нием соответствующих координат слагаемых:

+
={ax+ bx; ay+ by; az+ bz}.

Произвольный вектор 
пространства разлагается единствен
ным образом по базисным векторам i , j , k :

=axi +ay j +az k a

→ = ax i

→

+ ay j

→

+ azk

→

.

Длина вектора
a
→ в прямоугольной системе координат равна

2
z
2
y
2
x
a
a
a
a
+
+
=
.
(7)

Пример. Найти длину вектора 
={3; 1; –5}.

Решение.
35
5
1
3
2
2
2
=
+
+
=
a
|a
→| = √12 + 22 + (-3)2( = √14. 

Пусть заданы векторы 
={ax; ay; az} и
={bx; by; bz}. Если эти 

векторы коллинеарны, то в соответствии с определением произведения 
вектора на число они отличаются друг от друга числовым множителем, 
т. е. получаем

{bx; by; bz}=λ{ax; ay; az} 
y
x
z

x
y
z

b
b
b
a
a
a
=
=
.

a

a

b

b
a

b

b
a

b
a

a
a

a
b

a
b

a
b

a

a

a

a

a
b

Пример. Определить, при каких значениях αα и ββ векторы 

={2; α; 1} и 
={3; –6; β} коллинеарны.

Решение. Координаты данных векторов пропорциональны:


=
−


=
1

6
3

2
.

3

2 =

-6

α =

β

1
Находим, что
4
 = − , 
3

2
 =
. При 

этих значениях α и β векторы коллинеарны.

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов
и

называется скалярная величина, равная произведению модулей этих 

векторов на косинус угла между ними:

·
= |
| · |
| cos α.

Скалярное произведением двух векторов
и
– это скалярная 

величина, равная сумме попарного произведения координат векторов
и
.

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов

={ax ; ay} и 
={bx ; by} можно найти, воспользовавшись следующей 

формулой:

·
= ax · bx + ay · by.

В случае пространственной задачи скалярное произведение век
торов 
= {ax ; ay ; az} и  
= {bx ; by ; bz} вычисляют, воспользовав
шись следующей формулой:

·
= ax · bx + ay · by + az · bz.
(8)

Пример. Если 
={–5; 2; –7},
={0; –1; –2}, то 5
+2
равно:

1)   {–25; 8; –39};     2) {3; 1; – 2};   3) {3; –3; 6};   4)  6.     
Решение:
5
={5(–5);52;5(–7)}={–25;10; –35};

2
={20; 2(–1); 2(–2)}={0;–2;–4}.

5
+2
={–25+0;10+(–2);–35+(–4)}={–25; 8; –39}.

Ответ: 1.
Пример. Пусть 
={2; –4; 1}, 
={0; 1; –3}. Тогда скалярное про
изведение векторов 

равно:

1) –7;  2) 0;  3) {0; –3; –3};    4)   –6.  

a
b

a

b

a
b
a
b

a
b

a
b

a
b

a b

a
b

a
b

a
b
a
b

a
b
a
b

a
b

a b