Решение задач теории вероятностей и математической статистики в среде Scilab

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

А. Н. Титов, Р. Ф. Тазиева

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ 

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 

СТАТИСТИКИ В СРЕДЕ SCILAB

2-е изд., стереотипное

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому 
и техническому образованию 
в качестве учебно-методического пособия для 
студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки 09.03.02 –
«Информационные системы и технологии», 
22.03.01 – «Материаловедение и технологии материалов», 
18.03.01 – Химическая технология», 
28.03.02 – «Наноинженерия».

Казань

Издательство КНИТУ

2019

УДК 519.21:004(07)
ББК 22.171:32.97я7

Т45

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. М. Х. Хайруллин

канд. экон. наук О. С. Семичева

Т45

Титов А. Н. 
Решение задач теории вероятностей и математической статистики 
в среде Scilab : учебно-методическое пособие / 
А. Н. Титов, Р. Ф. Тазиева; Минобрнауки России, Казан. 
нац. исслед. технол. ун-т. – 2-е изд., стереотип. – Казань : 
Изд-во КНИТУ, 2019. – 120 с.

ISBN 978-5-7882-2605-7

Рассматриваются возможности системы компьютерной математики 
Scilab для проведения статистического анализа данных на ПК, вопросы 
генерирования случайных величин с заданным законом распределения. 
Описывается технология работы со статистическим блоком 
среды Scilab. Содержатся краткие сведения из теории вероятностей и 
математической статистики, облегчающие восприятие излагаемого материала. 
Для оценки уровня усвоения студентами пройденного материала 
предложены варианты заданий для самостоятельной работы.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 
09.03.02 «Информационные системы и технологии», 22.03.01 
«Материаловедение и технологии материалов», 18.03.01 «Химическая 
технология», 28.03.02 «Наноинженерия».

Подготовлено на кафедре информатики и прикладной математики.

ISBN 978-5-7882-2605-7
© Титов А. Н., Тазиева Р. Ф., 2019
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 519.21:004(07)
ББК 22.171:32.97я7

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................................................................................5

1. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ................................................7

1.1. Дискретные случайные величины и их характеристики..............7

1.2. Статистические функции Scilab для работы с дискретными 
случайными величинами.........................................................................9

1.3. Непрерывные случайные величины и их характеристики..........13

1.3.1. Нормальный закон распределения........................................15

1.3.2. Распределение Шарлье ..........................................................20

1.3.3. Логарифмически нормальное распределение......................23

1.3.4. Распределение Фишера–Снедекора......................................27

1.3.5. Гамма-распределение.............................................................29

1.3.6. Бета-распределение................................................................31

1.3.7. Распределение хи-квадрат .....................................................33

1.3.8. Распределение Стьюдента .....................................................35

1.3.9.  Распределение Вейбулла ......................................................37

1.3.10. Показательное (экспоненциальное) распределение..........40

1.3.11. Распределение Коши............................................................42

1.3.12. Распределение Накагами .....................................................44

1.4. Генерирование случайных чисел в Scilab.....................................46

1.5. Случайные векторы ........................................................................63

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.............................66

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА............................................69

2.1. Расчет выборочных характеристик статистического 
распределения ........................................................................................69

2.1.1. Точечные оценки ............................................................................69

2.1.1.1. Средние величины в статистике ........................................70

2.1.1.2. Характеристики рассеяния .................................................74

2.1.1.3. Другие характеристики формы и рассеяния.....................80

2.1.1.4. Построение гистограммы и полигона частот в Scilab......83

2.1.1.5. Работа с таблицами, содержащими нечисловые данные.....
(nan – not-a-number)……………………………..............................85

2.1.2. Интервальные (доверительные) оценки параметров 
распределения...........................................................................................88

2.1.2.1. Построение доверительного интервала для 
математического ожидания и дисперсии .......................................89

2.1.2.2.  F – тест. Случай нескольких выборок ..............................94

2.2. Корреляция и регрессия .................................................................97

3. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ .......................101

3.1. Понятие множественной корреляции .........................................101

3.2. Измерение тесноты множественной линейной корреляционной 
связи ......................................................................................................109

3.3. Проверка адекватности модели множественной линейной 
корреляции ...........................................................................................110

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ...........................115

ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................118

Предметный указатель ...........................................................................119

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важнейших аналитических инструментариев в сфере 

поддержки процессов принятия решений являются статистические ме-
тоды. Статистикой пользуются все – от политиков, желающих предска-
зать исход выборов, до предпринимателей, стремящихся оптимизиро-
вать прибыль при тех или иных вложениях капитала. Применение эко-
номико-математических методов и использование вычислительной 
техники при анализе социально-экономических явлений значительно 
продвинуло развитие статистической науки.

Мощными возможностями статистической обработки данных 

обладают специализированные программные продукты, такие как Stat-
graphics, Statistica, SPSS Statistics и др. Стандартные статистические методы 
обработки данных включены в состав электронных таблиц, таких
как Lotus 1-2-3, Excel, в математические пакеты общего назначения, такие 
как Mathcad, Matlab, Scilab. Свободно распространяемая система 
компьютерной математики Scilab предоставляет пользователю большое 
количество (несколько сотен) функций для анализа и обработки 
данных, в частности функции для решения задач интерполяции и аппроксимации,  
математической статистики и анализа данных (статистические 
функции, статистическая регрессия, цифровая фильтрация, 
быстрое преобразование Фурье и другие), возможности обработки данных (
набор специальных функций, включая построение графиков, оптимизацию, 
решение уравнений, численное интегрирование и другие).
Scilab поддерживает язык программирования высокого уровня для организации 
технических вычислений. Последний факт выгодно отличает 
Scilab наряду с Mathcad и Matlab от упомянутых выше специализированных 
пакетов, так как решение статистических задач является, как 
правило, лишь частью общей задачи, стоящей перед исследователем.

Настоящее пособие призвано помочь тем пользователям (студен-

там, магистрам, аспирантам), которые используют или собираются ис-
пользовать систему компьютерной математики Scilab для статистиче-
ского анализа данных. При написании пособия авторы предполагают, 
что читатель уже имеет базовые знания по теории вероятностей и мате-
матической статистике, поэтому часть материала, с которой обычно 
начинается изложение основ теории вероятностей и математической 
статистики, опущена. Однако там, где это необходимо, приводятся
нужные формулы с пояснениями. Предполагается также, что читатель 
знаком с основами работы в среде Scilab.

Для облегчения понимания материал излагается в виде демон-

страционных примеров и задач, поскольку «при изучении наук при-
меры полезней правил» (Ньютон). При работе с данным пособием не 
обязательно читать все подряд, можно просто попробовать найти при-
мер, похожий на тот, решение которого интересует читателя. 

Пособие включает в себя три раздела. В первом разделе рассмот-

рены статистические функции для работы с дискретными (4 закона)  и 
непрерывными (12 законов) случайными величинами (далее СВ), во-
просы генерирования СВ с заданным законом распределения (11 зако-
нов), вычисления ковариации и коэффициента корреляции. Во втором
разделе рассмотрены вопросы оценки параметров распределения (то-
чечные и интервальные оценки для математического ожидания и дис-
персии), построения гистограмм, приведены примеры решения задач на 
F-тест, построения матриц ковариации, уравнения линейной регрессии. 
Рассмотрены вопросы работы с выборками, содержащими нечисловые 
данные (в Scilab это данные, принимающие значения NaN – not-a-num-
ber). В третьей части на примерах рассмотрены решения задач постро-
ения уравнения множественной линейной регрессии, построения дове-
рительных интервалов для найденных коэффициентов регрессии. По-
казано, как можно проверить значимость построенной модели. С целью 
расширения возможностей экономического анализа показано, как в вы-
бранной программной среде рассчитываются множественный коэффи-
циент корреляции, коэффициенты эластичности, парной корреляции, 
вариации, бета-коэффициенты (коэффициенты риска), коэффициенты 
детерминации и Q-коэффициенты. Теоретические аспекты экономиче-
ской интерпретации результатов, полученных в разделе три, выходят за 
пределы интересов данного пособия, главной целью которого являются 
вопросы обработки экспериментальных данных при решении статисти-
ческих задач как с использованием статистических функций Scilab, так 
и без них, если таковых функций в системе нет.

Все расчеты, приведенные в учебном пособии, выполнены в 

среде Scilab (версия 6.0.1).

1. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Дискретные случайные величины и их характеристики

Случайной величиной X называется величина, которая в резуль-

тате опыта (или испытания) принимает какое-либо значение, причем за-
ранее неизвестно, какое именно.

Пример 1.1. Подбрасывается игральная кость. Число, появляю-

щееся на верхней грани, ꟷ случайная величина. 

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.
Дискретная случайная величина – это величина, принимающая 

конечное (или счетное) множество значений. В примере 1.1 случайная 
величина является дискретной, принимающей шесть значений {1, 2, 3, 
4, 5, 6}.

Дискретная случайная величина задается законом или рядом рас-

пределения.

Закон распределения дискретной СВ Х – это таблица, в первой 

строке которой перечислены все значения, которые может принять слу-
чайная величина X, а в нижней  – вероятности того, что случайная ве-
личина X примет данное значение.

X
х1
х2
…
хn

P
p1
p2
…
pn

1
(
),
1, ,
1.

n

i
i
i
i
p
P X
x
i
n
p

=
=
=
=
=


Если по оси абсцисс отложить значения x1, x2, …, xn, а по оси ор-

динат ꟷ соответствующие вероятности p1, p2,…, pn, и соединить сосед-
ние точки отрезками, то получим многоугольник распределения слу-
чайной величины X.

Характеристики случайной величины Х.
1. Функция распределения F(x).
Функция распределения F(x) действительной переменной x опре-

деляется формулой (1.1):

F(x)=P(X<x).
(1.1)

Это вероятность того, что случайная величина X примет значение

меньшее, чем х. Функция распределения может принимать значения от 
0 до 1.

2. Математическое ожидание M(X). Это число, подсчитываемое 

по формуле

1
(
)
.
(1.2)

n

k
k
k
M X
x p

=
=

3. Мода случайной величины X.
Определяется как такое возможное значение случайной вели-

чины X, вероятность которого максимальна. Так, xm – мода случайной 
величины X, если 

max
.
(1.3)
m
k
k
P(X
x )
{P(X
x )}
=
=
=

4. Дисперсия D(X). Дисперсией (рассеянием) случайной вели-

чины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от 
математического ожидания.

Это неотрицательное число, подсчитываемое по формуле

2
2

1
(
)
(
(
))
(
(
))
.
(1.4)

n

k
k
k
D X
M X
M X
x
M X
p

=
=
−
=
−


Можно доказать, что

2
2
2
2

1
(
)
(
)
(
(
))
(
(
)) .
(1.5)

n

k
k
k
D X
M X
M X
x p
M X

=
=
−
=
−


5. Среднеквадратическое отклонение  (
):
Х


(
)
(
).
(1.6)
X
D X

=

σ(Х) имеет размерность случайной величины. D(X) и σ(X) харак-

теризуют степень рассеяния случайной величины относительно ее ма-
тематического ожидания.

6. Начальный момент m-го порядка αm(X), m=0,1, 2, …
Это число

1
(
)
(
).
(1.7)

n
m
m
m
k
k
k
X
x p
M X


=
=
=


7. Центральный момент m-го порядка μm(X):

1
(
)
(
(
))
(
(
))
.
(1.8)

n
m
m
m
k
k
k
X
M X
M X
x
M X
p


=
=
−
=
−


8. Коэффициент асимметрии, или «скошенности», распределения 

(
):
As X

3
3
(
)
(
)
.
(1.9)
(
)
X
As X
X


=

9. Коэффициент эксцесса распределения Ex(X):

4
4
(
)
(
)
3.
(1.10)
(
)
X
Ex X
X


=
−

1.2. Статистические функции Scilab для работы с дискретными 

случайными величинами

Для работы с дискретными СВ в Scilab предназначены функции 

binomial, cdfbin, cdfnbn, cdfpoi. 

Пусть проводится  n последовательных испытаний, в каждом из 

которых может произойти некоторое случайное событие  А. Испытания 
независимы друг от друга. Пусть задана вероятность наступления со-
бытия  А в  одном испытании (опыте) p(A)=p и она не меняется от 
опыта к опыту. 

Пусть  X – случайная величина, равная числу наступлений собы-

тия  А  в  n опытах. Очевидно, 
n
X
,0
=
.

Вероятность того, что в  n опытах событие  А наступит ровно  m

раз, подсчитывается по формуле Бернулли:

!
(
)
(1
)
(1
)
.
!(
)!

m
m
n m
m
n m
n
n
n
P X
m
C p
p
p
p
m n
m

−
−
=
=
−
=
−
−
(1.11)

Здесь n!=1·2·3···n. Так, 5!=1·2·3·4·5=120. Принято считать, что 

0!=1.

Говорят, что случайная величина X имеет биномиальное распре-

деление. 

Вероятность того, что в  n опытах событие  А наступит не более  

m раз, можно вычислить по формуле (1.12):

(
)
(0)
(1)
(2)
...
( ).
n
n
n
n
n
P X
m
P
P
P
P m

=
+
+
+
+
(1.12)

Каждое 
m
i
i
Pn
,
0
),
(
=
в (1.12)  вычисляют по формуле (1.11).

Можно доказать, что 
1
)
(
...
)
2
(
)1(
)
0
(
=
+
+
+
+
n
P
P
P
P
n
n
n
n
.

Пример 1.2. Проведено 4 независимых испытания, в каждом из 

которых может произойти некоторое событие А с вероятностью 0,2. 
Построить закон распределения СВХ – числа наступлений события А –
и вычислить вероятность того, что СВХ примет значение, не превосхо-
дящее двух. Построить многоугольник распределения СВХ .

Решение. Случайная величина Х может принять 5 разных значе-

ний – от 0 до 4. Для подсчета вероятностей воспользуемся функцией 
binomial.

-> x=0:4;p=binomial(0.2,4);[x;p]
ans =        0.          1.            2.           3.          4.    

0.4096   0.4096   0.1536   0.0256   0.0016

В этом примере первый элемент массива p (вторая строка) – это 

P4(0), последний – P4(4).

Для того чтобы определить вероятность того, что СВХ примет 

значение, не превосходящее двух P(X≤2), используем функцию cdfbin.  
Она может иметь следующий вид:

[P,Q]=cdfbin("PQ",S,Xn,Pr,Ompr)
[S]=cdfbin("S",Xn,Pr,Ompr,P,Q)
[Xn]=cdfbin("Xn",Pr,Ompr,P,Q,S)
[Pr,Ompr]=cdfbin("PrOmpr",P,Q,S,Xn)
Здесь Pr – вероятность наступления события А в одном опыте 

Ompr=1–Pr; Xn – число опытов, S – максимальное интересующее нас 
число наступлений события А (в нашем примере 2), P+Q=1. Тогда

--> p1=cdfbin("PQ",2,4,0.2,0.8)
p1 = 0.9728
Для построения многоугольника распределения добавляем одну 

строку: 

--> plot(x,p,'.r-')
Получаем требуемый график.

Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей 

биномиальное распределение, 
(
)
M X
np
=
, где р – вероятность наступ-

ления события в одном опыте,  дисперсия
(
)
(1
)
D X
np
р
=
−
; 

α2=np[(n–1)p+1], α3=np[(n–1)(n–2)p2+3(n–1)p+1], μ3=npq(q–p), (q=1–p),

μ4=npq[1+3pq(n–2)]. Коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса 

равны соответственно

1 6
,
,
.
q
q
p
pq
V
As
Ex
np
npq
npq
−
−
=
=
=

Пусть в схеме Бернулли с вероятностью наступления события А

в одном опыте, равной р, заранее фиксируется число появлений собы-
тия А, после которого испытания прекращаются (m). Пусть случайная 
величина Х – число непоявлений события А до момента наступления m-
го события А. Например, Х – число бракованных изделий до изготовле-
ния сотого (m=100) небракованного.  Случайное число Х неудачных ис-
пытаний до появления m-го успеха (наступления события А) подчиня-
ется отрицательному биноминальному распределению. Распределение 
используется при планировании запуска  изделий в производство для 
получения требуемого количества годных изделий при известном про-
центе выхода годных, при планировании объема испытаний до получе-
ния заданного числа отказов [1].

Вероятность того, что случайная величина Х до наступления m

успеха примет значение k

,
1
(
1)!
(
)
(1
)
(1
)
!(
1)!

k
m
k
m
k
m p
k m
k
m
P
X
k
C
p
p
p
p
k m
+
−
+
−
=
=
−
=
−
−
, m≥1; k=0,1, 2, ... (1.13)

Математическое ожидание, дисперсия, коэффициенты вариации, 

асимметрии и эксцесса равны соответственно 

2
(1
)
(1
)
1
(
)
,
(
)
,
,
(1
)

m
p
m
p
M X
D X
V
p
p
p
p

−
−
=
=
=
−




2
1
2
6
(2
)
(1
)
,
3
.
(1
)
p
As
p m
p
Ex
m
m
p

−
=
−
−
= +
+
−

У этого распределения множество возможных значений случай-

ной величины не ограничено сверху.

Для работы с отрицательным биномиальным распределением в 

Scilab используется функция cdfnbn. Синтаксис функции:

[P,Q]=cdfnbn("PQ",S,Xn,Pr,Ompr)
[S]=cdfnbn("S",Xn,Pr,Ompr,P,Q)
[Xn]=cdfnbn("Xn",Pr,Ompr,P,Q,S)
[Pr,Ompr]=cdfnbn("PrOmpr",P,Q,S,Xn)
В первой формуле P – вероятность того, что до получения Xn

успехов произойдет не более S неудач,  Pr – вероятность успеха в одном 
испытании (р),  Ompr=1–Pr. 

Пример 1.3. Вероятность получения дефектного изделия равна 

0.1. Какова вероятность того, что будут произведены 50 годных изде-
лий до появления десятого дефектного изделия. Вычислить вероят-
ность того, что до появления второго дефектного изделия будет произ-
ведено не более 5 годных изделий.

Решение. Успех здесь – появление бракованного изделия. Нужно 

определить вероятность того, что произойдет k «неуспехов» (произве-
дено 50 годных изделий k=50) до появления десятого «успеха» (m=10). 
Вероятность успеха равна 0.1.

В формуле (1.13) m=10; p=0.1; k=50. 

10
10
50
10
10
50
50 10 1
59
(
10)
0.1 0.9
0.1 0.9
0.03238.
P X
C
C
+
−
=
=
=
=

Для решения задачи в Scilab воспользуемся первой из приведен-

ных формул. В ней успех – появление годного изделия,  Pr =0.9, Xn=50.
P=P(X≤10) –P(X≤9).

P=cdfnbn("PQ",10,50,0.9,0.1) –cdfnbn("PQ",9,50,0.9,0.1)
Ответ: P  = 0.0323803.
cdfnbn("PQ",10,50,0.9,0.1) – это вероятность того, что до появления 
50 годных изделий бракованных будет не более 10.

Вероятность того, что до появления второго дефектного изделия 

будет произведено не более 5 годных изделий, равна

0
2
0
1
2
1
2
2
2
1
2
3

3
2
3
4
2
4
5
2
5
4
5
6

(
5)
0.1 0.9
0.1 0.9
0.1 0.9

0.1 0.9
0.1 0.9
0.1 0.9
0.1496944.

P X
C
C
C

C
C
C


=
+
+
+

+
+
+
=

Во второй части задачи «успех» – появление бракованного изделия, 
и до появления второго успеха (Xn=2) должно произойти не более 
5 неудач (число годных изделий S=5). Вероятность «успеха» Pr= 0.1. 
Тогда  (
)
(
)
Р Х
5 = cdfnbn "PQ",5,2,0.1,0.9


--> cdfnbn("PQ",5,2,0.1,0.9)
ans  = 0.1496944 

Если в формуле (1.11) n велико (больше 30), а p(A) – мала, то 

пользоваться этой формулой становится неудобно. Доказано, что в этом 
случае вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит ровно 
k раз, можно подсчитать по формуле Пуассона: 

!
)
(
k
e
k
P

k

n

 
=

−

,
(1.14)