Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, физике и теплотехнике

-1
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ, 

ФИЗИКЕ И ТЕПЛОТЕХНИКЕ

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2019

-2
УДК 517.3(075)
ББК 22.161.1я7

П42

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук О. Е. Тихонов
канд. физ.-мат. наук Е. А. Турилова

П42

Авторы: Д. Н. Бикмухаметова, Р. Ф. Ахвердиев,
А. Р. Миндубаева, Л. В. Веселова, Г. Б. Гурьянова,
О. Н. Тюленева
Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к 
механике, физике и теплотехнике : учебно-методическое пособие / 
Д. Н. Бикмухаметова [и др.]; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. 
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 96 с.

ISBN 978-5-7882-2581-4

Изложены теоретические сведения по разделам курса «Математика: 

Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения к механике, физике и теплотехнике». Приведены разнообразные задачи и примеры
по темам, также подобраны задачи для самостоятельного решения. Включено
тридцать вариантов расчетного задания.

Предназначено для бакалавров всех направлений подготовки, изучаю
щих дисциплину «Математика».

Подготовлено на кафедре высшей математики.

ISBN 978-5-7882-2581-4
© Бикмухаметова Д. Н., Ахвердиев Р. Ф., 

Миндубаева А. Р., Веселова Л. В., 
Гурьянова Г. Б., Тюленева О. Н., 2019

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 517.3(075)
ББК 22.161.1я7

-3
z

y

x

0

D

iS




1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Поверхностные интегралы являются обобщением двойного инте
грала (как и криволинейные интегралы по отношению к определенному).

1.1. Поверхностные интегралы первого рода

Рассмотрим гладкую поверхность  в трехмерном пространстве, 

заданную уравнением 
(
)
y
x
f
z
,
=
. Разобьем ее произвольным образом 

на
n частей с площадями 
(
)
n
i
Si
,.......
3
,
2
,
1
,
=

, 

обозначив за 
i

характер
ный размер каждой части 
(например, длины частей)
(рис. 1). Пусть некоторая 
функция 
(
)z
y
x
F
,
непре
рывна 
в 
каждой 
точке 

поверхности  . Рассмотрим
произведение
вида 

(
)
i
i
i
i
S
z
y
x
F

,
, 
где

(
)−
i
i
i
z
y
x ,
произвольная точка, принадлежащая i-му участку поверх
ности 
(
)
y
x
f
z
,
=
.

Определение. Если при стремлении  к нулю, где 

n
i

i

,1

max

=

=


, 

существует конечный предел интегральной суммы 
(
)

=



n

i

i
i
i
i
S
z
y
x
F

1

,
, 

не зависящий от способа разбиения области 
и выбора точек 

(
)
i
i
i
z
y
x ,
, то этот предел называется поверхностным интегралом 

первого рода (или интегралом по площади поверхности) и обозначается

(
)
(
)
i

n

i

i
i
i
S
z
y
x
F
dS
z
y
x
F

=



=
→

1
0
,
,
lim
,
,


.
(1)

Рис. 1

-4
1.1.1. Свойства поверхностного интеграла первого рода

1) 
S
dS =



, где 
−
S
площадь поверхности  ;

2) 
(
)
(
)
(
).
,
,
,
,
,
const
c
dS
z
y
x
F
c
dS
z
y
x
cF
=
= 





;

3) 
(
)
(
)
(
)
=
+



dS
z
y
x
F
z
y
x
F
,
,
,
,
2
1

(
)
(
)dS
z
y
x
F
dS
z
y
x
F






+
=
,
,
,
,
2
1
;

4) 
(
)
=



dS
z
y
x
F
,
,
(
)
(
)
,
,
,
,
,

2
1

dS
z
y
x
F
dS
z
y
x
F






+

(
)
2
1



=

;

5) если 
(
)
(
)z
y
x
F
z
y
x
F
,
,
2
1

, то 

(
)
(
) dS
z
y
x
F
dS
z
y
x
F







,
,
,
,
2
1
;

6) 
(
)
(
) dS
z
y
x
F
dS
z
y
x
F







,
,
,
,
;

7) теорема о среднем. Если функция 
(
)z
y
x
F
,
непрерывна в любой 

точке поверхности  , то существует такая точка (
)
0
0
0 ,
z
y
x
, что

(
)
(
) S
z
y
x
F
dS
z
y
x
F
0
0
0
,
,
,
,
=



,

где 
−
S
площадь поверхности  .

1.1.2. Вычисление поверхностных интегралов первого рода

Если  – незамкнутая гладкая поверхность, не имеющая крат
ных точек, а 
−
D
ее проекция на плоскость XOY , то поверхностный 

-5
интеграл первого рода вычисляется через двойной интеграл по формуле

(
)
(
)
(
)
.
1
,
,
,
,
,

2
2

dxdy
y
z

x
z
y
x
f
y
x
F
dS
z
y
x
F

D












+







+
= 



(2)

Аналогично можно вычислить поверхностный интеграл первого 

рода в случаях,
когда уравнение поверхности 
имеет вид 

(
)z
y
x
,

=
или 
(
)z
x
y
,

=
. В первом случае он сводится к двой
ному интегралу по проекции поверхности  на плоскость YOZ , во 
втором случае – по проекции на плоскость XOZ .

Пример 1. Вычислить интеграл по площади поверхности 



xdS , 

где  – полусфера 
2
2
1
y
x
z
−
−
=
.

Решение. Проекция поверхности  на плоскость XOY (область

D ) есть круг единичного радиуса с центром в начале координат. Граница области D – окружность 
1
2
2
=
+ y
x
. Вычислим в соответствии 

с формулой (2):

2
2
2
2
1

,

1
y
x

y

y
z

y
x

x

x
z

−
−

−
=



−
−

−
=


,

тогда

=














−
−

−
+














−
−

−
+
= 


D

dxdy

y
x

y

y
x

x
x
xdS

2

2
2

2

2
2
1
1

1

.

1
1

1

2
2
2
2
dxdy

y
x

x
dxdy
y
x
x

D
D


−
−

=
−
−
=

-6
Для вычисления полученного двойного интеграла перейдем к 

полярным 
координатам 
(
)

,
r
, 
используя 
формулы 




rdrd
dxdy
r
y
r
x
=
=
=
,
sin
,
cos
. При этом















−

=

−

=

−
−







2

0

1

0
2

2

2
2
2
1

cos

1

cos

1
r

dr
r
d
rdrd

r

r
dxdy

y
x

x

D
D

.

Вычислим внутренний интеграл:

(
)
.
4
2
sin
2
1

2
1
2
cos
1
2
1

sin

cos

cos
1
,
sin

1

2

0

2

0

2

0

2

2
1

0
2

2








=





 −
=
−
=

=
=











=

=
−
=
=

−






t
t
dt
t

dt
t

dt
t
dr

t
r
t
r

r

dr
r

Таким образом,

(
)
.0
0
sin
2
sin
4

sin
4
cos
4
1

2

0

2

0

2
2

=
−
=

=
=
=

−
−

=
















d
dxdy

y
x

x
dS
x

D

Пример 2.
Вычислить 
интеграл 
первого 
рода 

(
)



+
+
dS
z
y
x
3
4
6
, где  – часть плоскости 
6
3
2
=
+
+
z
y
x
, рас
положенная в первом октанте.

Решение. Поверхность интегрирования  – треугольник ABC , 

ее проекция D на плоскость XOY – треугольник OAB (рис. 2). 

-7
Рис. 2

Из уравнения плоскости имеем
(
)
,

3

1
,
2
6

3

1
−
=




−
−
=

x

z
y
x
z
.

3

2
−
=





y

z

Тогда из формулы (2) следует:

(
)
(
)

(
)
(
)

(
)

(
)
=
+
−
=






+
+
=

=








+
+
=
+
+
=

=
+
+
−
−
+
+
=
+
+











−

−



dy
y
y
dy
x
xy
x

dx
y
x
dy
dxdy
y
x

dxdy
y
x
y
x
dS
z
y
x

y

y

D

D

3

0

2

3

0

2
6

0

2

2
6

0

3

0

21
10
14
2
6
2
2
5

3
14

6
2
5
3
14

3
14
6
2
5

9
4

9
1
1
2
6
4
6
3
4
6

14
54
21
5
3
14
2

3

0

2

3

=









+
−
=
y
y
y
.

1.2. Поверхностные интегралы второго рода

Определение. Гладкая поверхность  называется двусторонней, 

если для любой точки 


M
и замкнутого контура L , лежащего на 

поверхности  , не пересекающего границы поверхности и проходящего через точку M, направление нормали n в этой точке после обхода контура L совпадает с исходным.

C

x

z

y

A

B

6

3

2
B

A

6

3

0
x

y

D

O

-8
Если после обхода по кон
туру направление нормали в точке M противоположно исходному, поверхность называется односторонней.

Выберем одну из сторон 

гладкой двусторонней поверхности  , задав одно из двух возможных направлении нормали к 
ней, т. е. введем ориентацию поверхности (рис. 3). Считаем n
единичным 
вектором, 
тогда 






cos
,
cos
,
cos
=
n
.

Разобьем выбранную сто
рону поверхности  на m частей с площадями 
(
)
m
i
Si
,
1
,
=

и в 

каждой из этих частей возьмем произвольную точку 
(
)
i
i
i
i
z
y
x
M
,
. 

Зададим 
непрерывные 
на 
поверхности 

функции

(
)
(
)
(
)z
y
x
R
z
y
x
Q
z
y
x
P
,
,
,
,
,
,
,
,
и составим сумму

(
)
(
)
(
)
xy
i

m

i

i
i
i

xz
i
i
i
i

yz
i
i
i
i
S
z
y
x
R
S
z
y
x
Q
S
z
y
x
P

+

+


=1

,
,
,
,
,
,
,
(3)

где 
−



yz
i

xz
i

xy
i
S
S
S
,
,
площади проекций i – части поверхности  на 

координатные плоскости 
YOZ
XOZ
XOY
,
,
соответственно.

Определение. Поверхностным интегралом второго рода (поверх
ностным интегралом по координатам) от функций 
(
)z
y
x
P
,
,
, 

(
)z
y
x
Q
,
,
, (
)z
y
x
R
,
,
двусторонней ориентированной поверхности 

 называется предел интегральной суммы (3) при стремлении  к 
нулю, если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности на части и выбора в них точек 
i
M
( 

n
i

i

,1

max

=

=


, где 
i

– ха
рактерный размер каждой части).

x

z

y
0
i


j


k




M

n

-9
Итак,

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
.
,
,
,
,
,
,
lim

,
,
,
,
,
,

1
0

xy
i

m

i

i
i
i

xz
i
i
i
i

yz
i
i
i
i
S
z
y
x
R
S
z
y
x
Q
S
z
y
x
P

dxdy
z
y
x
R
dxdz
z
y
x
Q
dydz
z
y
x
P


+

+

=

=
+
+





=
→





(4)

Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны 

уже рассмотренным свойствам поверхностного интеграла первого рода.
Необходимо отметить, что поверхностный интеграл второго рода меняет знак при смене сторон поверхности интегрирования.

1.2.1. Вычисление поверхностных интегралов второго рода

Вычисление поверхностных интегралов второго рода сводится к 

вычислению соответствующих двойных интегралов.

Пусть область интегрирования поверхностного интеграла  за
дана уравнением 
(
)
0
,
,
=
z
y
x
F
, тогда поверхностный интеграл вто
рого рода вычисляется по формуле

(
)
(
)
(
)
=
+
+



dxdy
z
y
x
R
dxdz
z
y
x
Q
dydz
z
y
x
P
,
,
,
,
,
,

(
)
(
)
(
)
(
)









=

yz
xz

dxdz
z
z
x
y
x
Q
dydz
z
y
z
y
x
P
,
,
,
,
,
,
(5)

(
)
(
)





yz

dxdy
y
x
z
y
x
R
,
,
,
,

где 
−



yz
xz
xy
,
,
проекции 
поверхности 

на 
плоскости 

YOZ
XOZ
XOY
,
,
соответственно;
(
)z
y
x
,
– выражение переменной 

x через y и z ;
(
)z
x
y
,
– выражение переменной y через x и z ;

(
)
y
x
z
,
– выражение переменной z через x и y из уравнения по
верхности  .

Двойной знак в формуле (5) соответствует двум различным сто
ронам поверхности  . Плюс соответствует интегрированию по верхней стороне поверхности  (в этом случае угол между нормалью к 
поверхности и осью OZ острый).

-10
Пример 3. Вычислить интеграл
(
)



−
dxdy
a
z

2
по верхней сто
роне полусферы 
a
z
a
az
z
y
x
2
,
2
2
2
2


=
+
+
.

Решение.
Преобразуем 
уравнение 
поверхности 
к 
виду 

(
)
2
2
2
2
a
a
z
y
x
=
−
+
+
, откуда 
2
2
2
y
x
a
a
z
−
−
+
=
(рис. 4).

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4

-2

0

2

4

Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг 

2
2
2
a
y
x

+
(область D ). Тогда

(
)
(
)


−
−
=
−


D

dxdy
y
x
a
dxdy
a
z
2
2
2
2
.

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам, используя формулы



rdrd
dxdy
r
y
r
x
=
=
=
,
sin
,
cos
.

Рис. 4