Расчет ферм с шарнирными узлами

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образователь
ное учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)» 

_________________________________________________ 

Кафедра «Теоретическая механика» 

 
 

С.Б. КОСИЦЫН, М.М. БЕГИЧЕВ 

 
 
 
 
 
 

РАСЧЕТ ФЕРМ С ШАРНИРНЫМИ УЗЛАМИ 

 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

МОСКВА – 2018 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образователь
ное учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)» 

_________________________________________________ 

Кафедра «Теоретическая механика» 

 
 

С.Б. КОСИЦЫН, М.М. БЕГИЧЕВ 

 
 
 
 
 
 

РАСЧЕТ ФЕРМ С ШАРНИРНЫМИ УЗЛАМИ 

 
 
 

Учебно-методическое пособие для студентов 

строительных специальностей 

 
 
 
 
 
 
 
 

МОСКВА – 2018 

УДК 624.071.3 
К - 71 
 
Косицын С.Б., Бегичев М.М. Расчет ферм с шарнирными 

узлами: Учебно-методическое пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 
2018. – 84 с. 

Учебно-методическое пособие предназначено для студен
тов строительных специальностей, выполняющих домашнее 
задание «Определение реакций опор и сил в стержнях плоской 
фермы» в курсе «Теоретическая механика». В учебном пособии 
подробно описан алгоритм расчета ферм с шарнирными узлами 
методом конечных элементов при помощи современного программного комплекса Femap. Приведен пример расчета плоской 
фермы. Подробно рассмотрены традиционные способы расчета 
плоских ферм с шарнирными узлами. 

 
Рецензент: доцент кафедры «Строительная механика» РУТ 

(МИИТ), кандидат технических наук, доцент Г.А. Мануйлов 

 
 
 
 
 
 

 
 РУТ (МИИТ), 2018 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено 

для студентов, изучающих курс «Теоретическая механика», а 
частности тему «Расчет ферм с шарнирными узлами». 

Структура учебно-методического пособия построена таким 

образом, чтобы читатель мог приобрести и расширить свои знания и степень владения аналитическими методами расчета плоских ферм (способ вырезания узлов, способ сквозных сечений), а 
также получить навыки расчета таких конструкций при помощи 
метода конечных элементов (МКЭ). 

Расчет при помощи метода конечнх элементов ориентиро
ван на читателей, начинающих осваивать МКЭ и представляет 
из себя пошаговое руководство по составлению модели фермы, 
задания материала и граничных условий, проведения расчета и 
анализу результатов. 

Изучение основ МКЭ ведется при использовании про
граммного комплекса Femap, получившему широкое распространение в строительных и машиностроительных расчетах, 
благодаря своей простоте и удобству использования. 

 
 
 

1. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ С ШАРНИРНЫМИ 

УЗЛАМИ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ 

 
1.1. Постановка задачи. 
 
Рассмотрим ферму, нагруженную тремя сосредоточенными 

силами в узлах: F1=50 Кн, F2=20 Кн, F3=10 Кн (рис. 1.1). Для 
расчета приняты следующие исходные данные: размеры d=3 м, 
h=4 м. Определить реакции внешних связей и усилия, возникающие в стержнях: 3-4, 3-5, 4-5, 4-6, 5-6, 5-7, 9-10, 9-11, 10-11, 
10-12, 11-12, 11-13, 13-14. 

 

 

Рис. 1.1. Рассчитываемая ферма. 

 
1.2. Проверка геометрической неизменяемости и стати
ческой определимости фермы. 

 
Чтобы задача имела решение в рамках допущений, приня
тых в теоретической механике, ферма должна быть геометрически неизменяемой и статически определимой: то есть не быть 

механизмом, а число условий равновесия должно равняться 
количеству неизвестных усилий. 

Для ферм, образованных из шарнирных треугольников, вы
полнение условий геометрической неизменяемости и статической определимости проверяют по формуле: 

k = 2n – 3, 

где k – число неизвестных усилий, а n – число узлов фермы. 

В нашем примере k = 25, n = 14, то есть. 

k = 25 = 2∙14 – 3 = 25 = 2n – 3, 

следовательно, задача – статически определена, а ферма – 

статически определима. 

 
1.3. Определение реакций внешних связей. 
 
Рассматривая ферму как абсолютно твердое тело, отбросим 

внешние связи, приложенные в точках 1 и 9 ( в точке 1 – стержень с шарнирами по концам, в точке 9 – шарнирно неподвижная опора), и заменим связи их реакциями: R1, X9, Y9. Таким 
образом, активные F1, F2, F3 и реактивные R1, X9, Y9 силы образуют произвольную плоскую систему сил, для которой можно 
составить три условия равновесия, то есть количество уравнений совпадает с количеством неизвестных реакций внешних 
связей. Уравнения равновесия выбираем так, чтобы в каждое 
входило по одному неизвестному: 

∑М1 = 0,  F2∙h – F1∙2d + Y9∙4d – F3∙6d = 0; 
∑М9 = 0,  F2∙h – R1∙4d + F1∙2d – F3∙2d = 0; 

∑Fkx = 0,  X9 – F2 = 0. 

Получили вторую (дополнительную) форму условий равно
весия. Проверим достаточное условие равновесия: ось X (рис. 
1.1), на которую проектировались силы, не должна быть перпендикулярна прямой, проходящей через моментные точки, то 

есть прямой АВ. Условие выполнено. Из составленных уравнений находим реакции связей: 

Y9 = (F1∙2d – F2∙h + F3∙6d)/4d, 

Y9 = (50∙6 – 20∙4 + 10∙18)/12 = 33,3 кН; 

R1 = (F2∙h + F1∙2d – F3∙2d)/4d, 

R1 = (20∙4 + 50∙6 – 10∙6)/12 = 26,7 кН; 

X9 = F2, 

X9 = 20 кН. 

Для проверки полученных результатов составим такое 

уравнение равновесия, в которое войдут все три найденные реакции: 

∑М6 = 0,  X9∙h – R1∙2d + Y9∙2d – F3∙4d = 0, 

20∙4 – 26,7∙6 + 33,3∙6 – 10∙12 = 279,8 – 280,2 ≠ 0. 

Относительная погрешность равна 
 = ((279,8 – 280,2) / ((279,8+280,2) / 2))∙100% = – 0,143%. 
Она по абсолютной величине оказалась меньше 3% и соот
ветствует инженерной точности. 

 
1.4. Определение тригонометрических функций углов 

наклона стержней фермы. 

 
Найдем значения тригонометрических функций углов α и γ, 

необходимых для дальнейшего расчета: 

sinα = 
2
2
h
d

h



,  sinα = 

2
2
4
3

4



 = 0,8; 

cosα = 
2
2
h
d

d



,  cosα = 

2
2
4
3

3



 = 0,6; 

sinγ = 
2
2
h
)
d
4
(

h



,  sinγ = 

2
2
4
12

4



 = 0,316; 

cosγ = 
2
2
h
)
d
4
(

d
4



,  cosγ = 

2
2
4
12

12



 = 0,949. 

Для расчета ферм на постоянную нагрузку чаще всего ис
пользуют способ вырезания узлов и способ сквозных сечений. 

 
1.5. Способ вырезания узлов для определения усилий в 

стержнях фермы. 

 
Способ вырезания узлов состоит в том, что из фермы выре
зают узел, в котором сходится не более двух стержней, усилия в 
которых неизвестны. Для полученной плоской системы сходящихся сил записывают два условия равновесия: 

∑Fkx = 0;  
∑Fky = 0. 

Полученные уравнения дают возможность найти два неиз
вестных усилия. После этого вырезают следующий узел фермы, 
причем усилия, найденные из равновесия предыдущего узла, 
считаются известными. 

Иногда вырезают узел, содержащий три неизвестных уси
лия, при условии, что линии действия двух из них направлены 
вдоль одной прямой (узел 3 на рис. 1.1). При этом определить 
можно только одно усилие, направленное под углом к прямой 
линии, о которой было сказано выше. 

Вырежем узел 3 (рис. 1.1). 
 

 

Рис. 1.2. Вырезанный узел 3. 

Запишем условия равновесия плоской системы сходящихся 

сил, приложенных в узле 3 (рис.1.2): 

∑Fkx = 0,  N3-5 – N3-1 = 0; 

∑Fky = 0,  N3-4 = 0. 

Из второго уравнения находим усилие в стержне 3-4: 

N3-4 = 0. 

Первое уравнение найти величину какого-нибудь усилия не 

позволяет, однако с его помощью можно записать условие, связывающее между собой усилия в стержнях 3-1 и 3-5: 

N3-1 = N3-5. 

Вырежем узел 9 (рис. 1.1). 
 

 

Рис. 1.3. Вырезанный узел 9. 

 
Запишем условия равновесия плоской системы сходящихся 

сил, приложенных в узле 9 (рис.1.3): 

∑Fkx = 0,  N9-11 + X9 – N9-7 = 0; 

∑Fky = 0,  N9-10 + Y9 = 0. 

Из полученных уравнений находим усилие в стержне 9-10: 

N9-10 = – Y9,  N9-10 = – 33,3 кН 

и условие, связывающее усилия в стержнях 9-7 и 9-11: 

N9-7 = X9 + N9-11. 

Вырежем узел 12 (рис. 1.1).