Математическое обеспечение финансовых решений

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 
____________________________________________
Кафедра «Математика» 
 
 
А.С.МИЛЕВСКИЙ 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ  
ФИНАНСОВЫХ РЕШЕНИЙ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
Москва - 2018 
 
 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 
____________________________________________
Кафедра «Математика» 
 
 
А.С.МИЛЕВСКИЙ 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ  
ФИНАНСОВЫХ РЕШЕНИЙ 
 
Учебное пособие 
Для направления  
38.04.08 «Финансы и кредит» 
магистратуры 
 
 
Москва - 2018 
 
 

 
УДК-330.4 
М-60 
       Милевский 
А.С. 
Математическое 
обеспечение 
финансовых решений.: Учебное пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 
2018. – 134 c. 
 
       Учебное 
пособие 
предназначено 
для 
подготовки 
магистров направления 39.04.08 «Финансы и кредит». 
Рассмотрены следующие темы: некоторые математические 
модели рыночной экономики, элементы финансового 
анализа 
в 
условиях 
определённости, 
элементы 
финансового анализа в условиях неопределённости, 
некоторые математические модели финансового рынка, 
примеры задач оптимизации. 
 
Рецензенты: 
Тюрин Н.А., профессор РАН по отд. мат. наук,  
доктор ф.-м.н., нач. сектора №1 научного отдела 
«Современная математическая физика» ЛТФ ОИЯИ 
(Дубна). 
Деснянский В.Н., профессор, к.ф.-м.н., зав. кафедрой  
“Математический анализ” РУТ (МИИТ) 
 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 
 

1. НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 
РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ 
1.1. Введение 
Экономические 
объекты 
и 
явления 
обладают 
большой 
сложностью. Многие объекты непосредственно исследовать 
невозможно. В других случаях натурные эксперименты требуют 
много времени и средств. Отсюда возникает необходимость 
применения экономико-математических моделей. 
Экономико-математическая модель – математическое описание 
экономического процесса или объекта, произведенное в целях их 
исследования и управления им. модели служат для анализа 
определенных 
сторон, 
свойств, 
характеристик 
объектов 
моделирования. На основе анализа моделей осуществляется 
оптимизация принимаемых решений. Вместе с тем модель не 
является копией оригинала, она должна адекватно отражать 
только 
интересующие 
нас 
характеристики 
объекта 
моделирования. 
Разработка 
экономико-математических 
моделей 
включает 
множество этапов: 
• 
постановка задачи  
• 
формализация задачи 
• 
выбор метода моделирования  
• 
построение модели  
• 
процесс моделирования 
• 
анализ полученного решения  
• 
уточнение модели  
• 
внедрение модели в практику 
Один и тот же объект в зависимости от целей его исследования 
может быть представлен моделями разной математической 
3 

формы и сложности. Модель экономической системы всегда 
проще оригинала. Она не может отразить всех аспектов 
функционирования реальной системы. Можно потребовать 
только 
с 
достаточной 
точностью 
воспроизвести 
нужные 
характеристики объекта. Адекватность модели проверяется 
практическим подтверждением её предсказаний. 
Задачами моделирования являются: анализ экономических 
объектов, 
экономическое 
прогнозирование, 
выработка 
управленческих решений. Однако далеко не во всех случаях 
данные, 
полученные 
из 
экономико-математического 
моделирования, могут использоваться непосредственно как 
готовые решения. 
1.2. 
Производственные функции 
Рассмотрим простейший вид моделей – функциональные 
зависимости. 
Функция выпуска (производственная функция) – количественная 
зависимость между факторами производства (обычно K – капитал 
и L – труд) и объёмом выпускаемой продукции Y: Y=F(K, L). Как 
правило, предполагается выполнение условий.  
• 
Непрерывность. 
• 
При отсутствии хотя бы одного ресурса производство 
невозможно: F(0,L)=F(K,0)=0. 
• 
Неотрицательная 
и 
невозрастающая 
предельная 
производительность факторов:  



  0,  


 	 0, 
где х – это K или L.  
Прибыль выражается формулой 
П  
,     , 
4 

где p – цена единицы продукта, r – ставка процента, w – 
номинальная заработная плата. 
С 
производственной 
функцией 
связаны 
всевозможные 
показатели отдачи ресурсов, например: 
• 
отдача от масштаба:  
/

,  где  

 

 , 
• 
эластичность замещения факторов:   
/
/, 
• 
средний продукт капитала! 

,:  
• 
средний продукт капитала: ! 

, 
• 
предельный продукт капитала: " 

, 
• 
предельный продукт труда: " 

 
Одним из ключевых моментов при построении эмпирических 
производственных функций является выбор функциональной 
формы. При этом важно учитывать, какие предпосылки и 
ограничения связаны с этим выбором. До сих пор не создано 
производственной функции, которая бы получила однозначное 
признание исследователей.  
В 
одной 
из 
самых 
ранних 
работ 
была 
предложена 
производственная функция Кобба-Дугласа: 
#  $ ∙& ∙', 
где A – технологический коэффициент, α≥0 – коэффициент 
эластичности 
по 
капиталу, 
β≥0 
– 
коэффициент 
эластичности по труду. Функция Кобба-Дугласа является 
удобным 
математическим 
инструментом 
для 
описания 
производственного процесса, что предопределило ее роль как 
одной из наиболее популярных производственных функций в 
прикладных экономических исследованиях. Однако данная 
функциональная форма неявно накладывает на моделируемый 
производственный процесс ряд существенных ограничений. 
5 

Большое 
распространение 
получила 
также 
функция 
с 
постоянной эластичностью замещения факторов CES: 
#  $ ∙
() * 
1  ()
,
) 
Функция CES соответствует ситуации, когда есть основания 
предполагать, 
что 
этот 
уровень 
взаимозаменяемости 
производственных факторов существенно не изменяется при 
изменении объемов вовлекаемых ресурсов. 
Если ρ→0, в пределе получится частный случай функции КоббаДугласа с α+β=1. 
Если 
ρ→–∞, 
в 
пределе 
получится 
так 
называемая 
производственная функция Леонтьева: 
#  -./0, 12, 
где a, b – некоторые параметры. Эта функция описывает 
производственные процессы, в которых недостаток одного 
фактора нельзя компенсировать избытком другого. 
Существует довольно много теоретических работ, в которых 
рассматриваются 
другие 
функциональные 
формы 
производственных функций. 
Для 
нахождения 
числовых 
значений 
параметров 
производственной 
функции 
обычно 
применяют 
метод 
наименьших 
квадратов. 
В 
этом 
случае 
коэффициенты 
подбираются из условий вида 
3   45#
6  7
869
 →-./, 
6 

Типовая задача. По исходным данным оценить коэффициенты A, 
α, β в формуле Кобба-Дугласа 
L
K
Y
4
2
34
ln
ln
ln
L
K
Y
6
3
53
39
,
1
69
,
0
53
,
3
79
,
1
1
,
1
96
,
3
7
5
81
7
5
81
9
7
113
95
,
1
61
,
1
39
,
4
95
,
1
61
,
1
39
,
4
4
9
97
2
,
2
95
,
1
73
,
4
 
Решение. Обычно 
удобнее иметь дело с 
линейными 
зависимостями. В 
данном случае функция 
приводится к линейному 
виду 
логарифмированием:  
;/#  ;/$ * ;/ * <;/. 
39
,
1
2
,
2
57
,
4
Оценим 
коэффициенты 
методом 
наименьших 
квадратов, 
используя надстройку MS Excel – Анализ данных – Регрессия: 
 
7 

,
2
ln
A



 







≈






41
,
0
70
,
0
β
α




Отсюда получаем: 
41
,
0
70
,
0
12
L
K
Y
⋅
⋅
=
. 
Задача. По исходным данным оценить коэффициенты A, α, β в 
формуле 
Кобба-Дугласа 
 
Ответ. 
66
,
0
29
,
0
38
,
5
L
K
Y
⋅
⋅
=
 
Задача. По исходным данным оценить коэффициенты A, α, β в 
формуле 
Кобба-Дугласа 
 
8 

Ответ. 
27
,
0
42
,
0
07
,
6
L
K
Y
⋅
⋅
=
 
Типовая задача. По исходным данным оценить коэффициенты A, 
α, ρ функции с постоянной эластичностью замещения факторов 
CES: 
L
K
Y
4
2
34
6
3
53
Решение. 
Зависимость 
не 
приводится 
к 
линейному 
виду. 
Поэтому 
будем 
непосредственно минимизировать остаточную 
сумму квадратов 3  . 
Заполним ячейки в MS Excel: 
7
5
81
7
5
81
9
7
113
4
9
97
 
Вызовем надстройку Поиск решения: 
9