Математический анализ
Математический анализ: конспект лекций для экономистов
Эта книга представляет собой конспект лекций по математическому анализу, предназначенный для студентов экономического направления. Материал охватывает ключевые разделы, необходимые для понимания математических методов, применяемых в экономике.
Пределы и непрерывность
Первый раздел посвящен основам анализа, начиная с числовых множеств (натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел) и логических символов. Рассматриваются понятия ограниченности множеств, последовательностей, пределов последовательностей и функций. Особое внимание уделяется свойствам пределов, вычислению пределов элементарных функций и раскрытию неопределенностей. Также обсуждаются односторонние пределы, непрерывность функции в точке и на отрезке, классификация точек разрыва и свойства непрерывных функций на отрезке, включая теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса и теорему Коши.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Второй раздел посвящен дифференциальному исчислению. Рассматриваются понятия производной, ее геометрический смысл, уравнения касательной и нормальной прямой. Обсуждаются правила дифференцирования, производные сложных, неявных и параметрически заданных функций, а также дифференциал. Рассматриваются теоремы о среднем (Ролля, Лагранжа, Коши), признаки возрастания и убывания функций, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, выпуклость, точки перегиба, асимптоты и схема построения графика функции. Завершается раздел формулой Тейлора и ее применением к приближенным вычислениям.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Третий раздел посвящен дифференциальному исчислению функций нескольких переменных. Рассматриваются понятия предела, частных производных, дифференциала, градиента, производной по направлению, касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности. Обсуждаются необходимое и достаточное условия экстремума, условный экстремум и метод множителей Лагранжа.
Неопределенный и определенный интегралы
Четвертый раздел посвящен неопределенному интегралу, включая первообразную, свойства неопределенного интеграла, основные методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям), интегрирование рациональных функций, тригонометрических функций и иррациональностей. Пятый раздел посвящен определенному интегралу, его свойствам, формуле Ньютона-Лейбница, несобственным интегралам и приложениям.
Приложения интегрального исчисления
Шестой раздел рассматривает приложения определенного интеграла, включая вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длины дуги кривой, а также приложения в экономике (издержки хранения товара, объем произведенной продукции) и приближенное вычисление интегралов (формулы трапеций и Симпсона).
Двойные интегралы
Седьмой раздел посвящен двойным интегралам, их свойствам, вычислению в декартовых координатах, изменению порядка интегрирования и применению к вычислению площадей и объемов.
Дифференциальные уравнения
Восьмой раздел посвящен дифференциальным уравнениям, их определению, задаче Коши, уравнениям с разделяющимися переменными, однородным уравнениям первого порядка, линейным уравнениям первого порядка, уравнению Бернулли, понижению порядка уравнений и линейным дифференциальным уравнениям произвольного порядка с постоянными коэффициентами.
Ряды
Девятый раздел посвящен рядам, включая определение ряда, сходимость и расходимость рядов, признаки сходимости знакоположительных рядов (признак сравнения, предельный признак, признак Даламбера, интегральный признак Коши), абсолютную и условную сходимость, перестановку членов ряда, знакочередующиеся ряды и признак Лейбница. Завершается раздел рассмотрением степенных рядов, области сходимости и радиуса сходимости.
Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»
Кафедра “Математика”
А.С.МИЛЕВСКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Конспект лекций
Москва - 2018
Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»
Кафедра “Математика”
А.С.МИЛЕВСКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Конспект лекций
Для студентов направления «Экономика»
Москва - 2018
УДК-517
М-60
Милевский А.С. Математический анализ. Конспект лекций. - М.: РУТ (МИИТ), 2018. - 131 с.
Конспект лекций предназначен для студентов, изучающих курс математического анализа. Включает материал по пределам, дифференциальному исчислению функций одной переменной, дифференциальному исчислению функций нескольких переменных, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям и рядам.
Рецензенты:
Тюрин Н.А., профессор РАН по отд. мат. наук, доктор ф.-м.н., нач. сектора №1 научного отдела «Современная математическая физика» ЛТФ ОИЯИ (Дубна).
Деснянский В.Н., профессор, к.ф.-м.н., зав. кафедрой “Математический анализ” РУТ (МИИТ).
© РУТ (МИИТ), 2018
1. Пределы и непрерывность
1.1. Числовые множества.
N={1,2,3,...}- множество натуральных чисел
Z={0 +1 +2,...} - множество целых чисел
Z₊={0,1,2,...}- множество неотрицательных целых чисел
Q - множество рациональных чисел
R - множество действительных чисел (“числовая ось")
С - множество комплексных чисел (будет позже)
[a;b]={xeR: a<x<b} - отрезок
(a;b)={xeR: a<x<b} - интервал
Окрестностью точки х на числовой прямой называется любой интервал, содержащий эту точку.
-А Проколотой окрестностью точки х на числовой прямой называется окрестность точки х, из которой удалили саму точку х.
3
2.2. Логические символы
А >В означает “из А следует В”
В этом случае i
А - достаточное условие для В, В - необходимое условие для А
А< >В означает “А эквивалентно В”
АлВ означает “А и В” AvB означает “А или В”
А означает “не А”
V означает “любой, для любого" и т.п.
3 означает “существует”
1.3. Границы множества
_____________________________е
Множество A cz R называется
ограниченным сверху, если
ЗМ, такое что УхеА: х<М
-¹' Множество А с R называется
ограниченным снизу, если
... (допишите сами)
Множество Ac R называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е.
ЗМ, такое что УхсА: ... (допишите сами)
4
Примеры.
= 1: — ' 4 9 16
-2; 4; - 8:16; ...
Последовательность ап называется неубывающей, если Vn: aₙ₊₁>aₙ
Пример. {аи}=1;1;2;3;3;5;6 ...
Последовательность ап называется невозрастающей,
если ...
_________________________________£
Последовательность ап называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая
5
_______________________________________________£
Говорят, что пределом последовательности aₙ является со, если |ап| имеет пределом +«■
_________________________________£
Если последовательность имеет конечный предел, она называется сходящейся, иначе расходящейся
Примеры.
lim Д- = 0; lim 3й = +оо;
<*->+= п п^~х
г г /⁷ ⁺ ² 9
hm cos п не существует; lim------------= !
п->-х п _|_ 3
6
Где-то предел
Верхняя граница
Теорема. Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Теорема. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет конечный предел.
Э-| З2
•------• •
1.6. Свойства предела
>Если последовательности {ап} и {bn) сходятся, то lim(aₙ ± bn) = lim aₙ ± lim bₙ, lim(aₙ ■ kJ = lim aₙ ■ lim bₙ;
>Если последовательности {aₙ} и {bn) сходятся, bₙ#0 и lim bₙ#0, то
lim(aₙ / bn) = lim aₙ / lim bₙ;
>Если последовательности {ап} и {bn) сходятся, bₙ#0, lim ап^0 и lim bn=0, то
lim(aₙ I bn) = »;
>Если последовательность {ап} сходится,
bₙ#0 и lim bn= да, то
lim(aᵣ< / bp) = 0.
7
1.7. Предел функции
Пример.
lim f(x) = ?
Нт /(х) = ?
lim /О) = ?
Нт /(X) = ?
Нт /(х) = 3
Нт /(х) = +ОТ
“предел в точке 2 слева
Нт f (х) = от
“предел в точке 2 справа”
Односторонние пределы:
Нт f (х) = +от
lim /(х) =
lim /(*) = ?
lim /(*) = ?
8
Сс Свойства предела функции аналогичны свойствам
предела последовательности. Например
>Если функции f(x) и д(х) имеют конечный предел
при х->-а. то
lim(f(x) ± g(х)) = lim f(x)± lim g (х)3
lim(f(x) ■ g(x)) = lim f(x) ■ lim g(x);
>Если функции f(x) и g(x) имеют конечный предел
при х^а и lim g(x)#0, то 1
lim(f(xj/ g(x)) = lim f(x) / lim g(x);
и т.п. у
1.8. Вычисление пределов элементарных функций
и последовательностей
________________ш
Элементарными функциями называют:
1. Степенную, показательную, логарифмическую,
тригонометрические и обратные к ним.
2. Функции, которые можно получить из
элементарной при помощи конечного числа
арифметических операций, а также взятия
композиции. j
Элементарную функцию обычно задают формулой.
|'31их'|
Пример. /'(х) sin з------ + 2
I V X-l t
9