Математический анализ
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Российский университет транспорта
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 131
Дополнительно
Конспект лекций предназначен для студентов, изучающих курс математического анализа. Включает материал по пределам, дифференциальному исчислению функций одной переменной, дифференциальному исчислению функций нескольких переменных, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям и рядам.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»
Кафедра “Математика”
А.С.МИЛЕВСКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Конспект лекций
Москва - 2018
Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»
Кафедра “Математика”
А.С.МИЛЕВСКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Конспект лекций
Для студентов направления «Экономика»
Москва - 2018
УДК-517
М-60
Милевский А.С. Математический анализ. Конспект лекций. - М.: РУТ (МИИТ), 2018. - 131 с.
Конспект лекций предназначен для студентов, изучающих курс математического анализа. Включает материал по пределам, дифференциальному исчислению функций одной переменной, дифференциальному исчислению функций нескольких переменных, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям и рядам.
Рецензенты:
Тюрин Н.А., профессор РАН по отд. мат. наук, доктор ф.-м.н., нач. сектора №1 научного отдела «Современная математическая физика» ЛТФ ОИЯИ (Дубна).
Деснянский В.Н., профессор, к.ф.-м.н., зав. кафедрой “Математический анализ” РУТ (МИИТ).
© РУТ (МИИТ), 2018
1. Пределы и непрерывность
1.1. Числовые множества.
N={1,2,3,...}- множество натуральных чисел
Z={0 +1 +2,...} - множество целых чисел
Z₊={0,1,2,...}- множество неотрицательных целых чисел
Q - множество рациональных чисел
R - множество действительных чисел (“числовая ось")
С - множество комплексных чисел (будет позже)
[a;b]={xeR: a<x<b} - отрезок
(a;b)={xeR: a<x<b} - интервал
Окрестностью точки х на числовой прямой называется любой интервал, содержащий эту точку.
-А Проколотой окрестностью точки х на числовой прямой называется окрестность точки х, из которой удалили саму точку х.
3
2.2. Логические символы
А >В означает “из А следует В”
В этом случае i
А - достаточное условие для В, В - необходимое условие для А
А< >В означает “А эквивалентно В”
АлВ означает “А и В” AvB означает “А или В”
А означает “не А”
V означает “любой, для любого" и т.п.
3 означает “существует”
1.3. Границы множества
_____________________________е
Множество A cz R называется
ограниченным сверху, если
ЗМ, такое что УхеА: х<М
-¹' Множество А с R называется
ограниченным снизу, если
... (допишите сами)
Множество Ac R называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е.
ЗМ, такое что УхсА: ... (допишите сами)
4
Примеры.
= 1: — ' 4 9 16
-2; 4; - 8:16; ...
Последовательность ап называется неубывающей, если Vn: aₙ₊₁>aₙ
Пример. {аи}=1;1;2;3;3;5;6 ...
Последовательность ап называется невозрастающей,
если ...
_________________________________£
Последовательность ап называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая
5
_______________________________________________£
Говорят, что пределом последовательности aₙ является со, если |ап| имеет пределом +«■
_________________________________£
Если последовательность имеет конечный предел, она называется сходящейся, иначе расходящейся
Примеры.
lim Д- = 0; lim 3й = +оо;
<*->+= п п^~х
г г /⁷ ⁺ ² 9
hm cos п не существует; lim------------= !
п->-х п _|_ 3
6
Где-то предел
Верхняя граница
Теорема. Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Теорема. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет конечный предел.
Э-| З2
•------• •
1.6. Свойства предела
>Если последовательности {ап} и {bn) сходятся, то lim(aₙ ± bn) = lim aₙ ± lim bₙ, lim(aₙ ■ kJ = lim aₙ ■ lim bₙ;
>Если последовательности {aₙ} и {bn) сходятся, bₙ#0 и lim bₙ#0, то
lim(aₙ / bn) = lim aₙ / lim bₙ;
>Если последовательности {ап} и {bn) сходятся, bₙ#0, lim ап^0 и lim bn=0, то
lim(aₙ I bn) = »;
>Если последовательность {ап} сходится,
bₙ#0 и lim bn= да, то
lim(aᵣ< / bp) = 0.
7
1.7. Предел функции
Пример.
lim f(x) = ?
Нт /(х) = ?
lim /О) = ?
Нт /(X) = ?
Нт /(х) = 3
Нт /(х) = +ОТ
“предел в точке 2 слева
Нт f (х) = от
“предел в точке 2 справа”
Односторонние пределы:
Нт f (х) = +от
lim /(х) =
lim /(*) = ?
lim /(*) = ?
8
Сс Свойства предела функции аналогичны свойствам
предела последовательности. Например
>Если функции f(x) и д(х) имеют конечный предел
при х->-а. то
lim(f(x) ± g(х)) = lim f(x)± lim g (х)3
lim(f(x) ■ g(x)) = lim f(x) ■ lim g(x);
>Если функции f(x) и g(x) имеют конечный предел
при х^а и lim g(x)#0, то 1
lim(f(xj/ g(x)) = lim f(x) / lim g(x);
и т.п. у
1.8. Вычисление пределов элементарных функций
и последовательностей
________________ш
Элементарными функциями называют:
1. Степенную, показательную, логарифмическую,
тригонометрические и обратные к ним.
2. Функции, которые можно получить из
элементарной при помощи конечного числа
арифметических операций, а также взятия
композиции. j
Элементарную функцию обычно задают формулой.
|'31их'|
Пример. /'(х) sin з------ + 2
I V X-l t
9