Линейная алгебра
Линейная алгебра: конспект лекций для экономистов
Данный конспект лекций, разработанный А.С. Милевским для студентов направления "Экономика" Российского университета транспорта (МИИТ), представляет собой систематизированное изложение ключевых концепций линейной алгебры. Материал охватывает широкий спектр тем, необходимых для понимания математических основ экономических моделей и анализа данных.
Матрицы и линейные операции
В начале конспекта рассматриваются основы работы с матрицами. Вводятся понятия n-мерных векторов, линейных операций над ними (умножение на число, сложение) и различных типов матриц (прямоугольные, квадратные, диагональные, единичные). Подробно описываются линейные операции над матрицами: умножение матрицы на число, сложение матриц одинакового размера, транспонирование и умножение матриц. Особое внимание уделяется условиям выполнимости операций и свойствам умножения матриц. Завершается раздел рассмотрением определителя квадратной матрицы и обратной матрицы, включая методы их вычисления и условия существования.
Системы линейных уравнений
Следующий раздел посвящен системам линейных уравнений. Рассматриваются основные понятия, методы решения (с использованием обратной матрицы, формулы Крамера, метода Гаусса), классификация систем (совместные, несовместные, определенные, неопределенные), а также методы вычисления обратной матрицы и определителя с помощью элементарных преобразований. Отдельно рассматриваются вопросы линейной зависимости векторов, базиса множества векторов, ранга матрицы и его связь с определителем, а также классификация систем уравнений в контексте ранга матрицы.
Линейные и евклидовы пространства
В конспекте подробно излагаются основы теории линейных пространств, включая определение, примеры, линейную зависимость, базис, размерность, линейные операторы, их матрицы, ядро и образ. Рассматриваются собственные векторы и собственные значения линейных операторов, а также базисы, состоящие из собственных векторов. Далее рассматриваются евклидовы пространства, скалярное произведение, ортонормированные базисы, симметрические линейные операторы и квадратичные формы. Обсуждаются вопросы положительной и отрицательной определенности квадратичных форм.
Комплексные числа и векторная алгебра
В конспекте также рассматриваются комплексные числа, их алгебраические и тригонометрические формы, формула Эйлера, показательная форма записи и извлечение корней. Далее следует раздел, посвященный векторной алгебре, включающий скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, а также их геометрический смысл.
Аналитическая геометрия
Завершает конспект раздел, посвященный аналитической геометрии, в котором рассматриваются прямые и плоскости, их уравнения, а также кривые и поверхности второго порядка.
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» ____________________________________________ Кафедра “Математика” А.С.МИЛЕВСКИЙ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Конспект лекций Москва - 2018 1
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» ____________________________________________ Кафедра “Математика” А.С.МИЛЕВСКИЙ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Конспект лекций Для студентов направления «Экономика» Москва - 2018 2
УДК-512.64 (075) М-60 Милевский А.С. Линейная алгебра. Конспект лекций. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 89 c. Конспект лекций предназначен для студентов, изучающих курс линейной алгебры. Включает материал по матричной алгебре, системам линейных уравнений, линейным пространствам, евклидовым пространствам, комплексным числам, векторной алгебре, аналитической геометрии. Рецензенты: Тюрин Н.А., профессор РАН по отд. мат. наук, доктор ф.-м.н., нач. сектора №1 научного отдела «Современная математическая физика» ЛТФ ОИЯИ (Дубна). Деснянский В.Н., профессор, к.ф.-м.н., зав. кафедрой “Математический анализ” РУТ (МИИТ). © РУТ (МИИТ), 2018 3
1. Матрицы 1.1. n 1.1. n-мерные мерные векторы векторы a2 Пример Пример. . Двумерный вектор a a = (a1;a2) a1 Координаты вектора Пример Пример. . Трёхмерный вектор a = (a1;a2;a3) Пример Пример. . n-мерный вектор a = (a1;a2;…;an) a 1 a 2 = a ... Замечание Замечание. . Нередко n-мерный вектор записывается в столбик. Вот так: n a 1.2. 1.2. Линейные Линейные операции операции над над векторами векторами 1 1.2.1 .2.1 Умножение Умножение вектора вектора на на число число Пример Пример Если a = (–1;4;0;2), то (–3)·a = (3; –12;0; –6) 1 1.2.2 .2.2 Сложение Сложение векторов векторов одинаковой одинаковой размерности размерности Пример Пример Если a = (–1;4;0;1;2), b = (2;1;3;1;1), то a+b = (1;5;3;2;3) Замечание Замечание. . Аналогично определяется вычитание векторов 3
1. 1.3 3. . Матрицы Матрицы ... a a a 1 12 11 n a a a 2 22 21 n Матрица- это прямоугольная таблица из чисел ... ... ... ... ... ... a a a 2 1 mn m m Пример Пример. . Матрица размера 4×2 (4 строки, 2 столбца): 4 1 Обозначение. aij – это число, стоящее в i-й строке и j-м столбце A − = − π 2 2 0 1 4 Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной • Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. • Матрица, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. • Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. • Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так: 0 ... 0 a 11 a 22 A = ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... 0 nn a 4
Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1 , то она называется единичной и обозначается E Примеры Примеры единичных единичных матриц матриц различного различного размера размера: : 0 0 1 = = ( ) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , 1 0 0 1 , 1 E E E E = = 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1.4. 1.4. Линейные Линейные операции операции над над матрицами матрицами 1 1. .4 4.1 .1 Умножение Умножение матрицы матрицы на на число число Пример Пример 2 4 1 A A 10 20 5 5 1 5 3 − − = 5 25 15 − − = ⋅ ⇒ 1 1. .4 4.2 .2 Сложение Сложение матриц матриц одинакового одинакового размера размера Пример Пример − − 1 11 4 3 7 3 2 6 1 1 3 2 1 5 3 2 4 1 − + − = Задача Задача. . Решить Решить − + 1 2 23 9 2 2 3 1 4X = матричное матричное уравнение уравнение 5
1. 1.5 5. . Транспонирование Транспонирование матрицы матрицы 3 1 − Пример Пример. . 2 4 1 T A A 1 5 3 = ⇒ − − = 1 2 5 4 − 2×3 3×2 Свойство Свойство: : ( ) A A T T = 1.6. 1.6. Умножение Умножение матриц матриц Произведение A·B матриц A и B определено, только если количество столбцов в матрице A равно количеству строк в матрице В 3 1 Пример Пример. . , 2 4 1 B A Если Если ( ) = = 1 6 1 2 то то можно можно умножить умножить A (3 A (3 столбца столбца) ) на на B B (3 (3 строки строки), ), и и нельзя нельзя умножить умножить B B на на A A 6
Пример Пример. . Если Если матрица A состоит из одной строки (размер 1×n), а матрица B – из одного столбца (размер n×1), то A·B – размера 1×1, т,е. число: 2 ⋅ − 5 2 3 1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ( ) ( ) ( ) 42 7 5 4 2 1 ) 3 ( 2 1 7 4 1 A B A·B 7
⋅ Итак Итак, , ( ) ( ) 9 21 1 6 1 2 3 1 2 4 1 = − = A B B A B A = Задача Задача. . ? ? . 5 2 4 1 3 0 , 4 1 1 0 2 1 = ⋅ = ⋅ Ответ Ответ 4 1 3 0 4 1 1 0 2 1 , 21 9 11 2 − ⋅ = 5 2 4 1 3 0 16 6 3 12 3 3 4 1 1 0 2 1 − − = − ⋅ 5 2 20 9 3 − 8
1. 1.7 7. . Свойства Свойства умножения умножения матриц матриц 1. A·E=E·A=A 2. (αA)·B= α(A·B), α–любое число 3. (A·B)·C=A·(B·C) 4. (A+B)·C =A·C+B·C 5. A·(B+C)=A·B+A·C 6. (A·B)T=BT ·AT Замечание Замечание. . Из первого свойства видно, что единичные матрицы при умножении ведут себя как число “1”. 1 1 9