Линейная алгебра

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 
____________________________________________ 
 
Кафедра “Математика” 
 
 
 
 
А.С.МИЛЕВСКИЙ 
 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
 
 
 
Конспект лекций 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва - 2018 
 
 
1   
 
 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 
____________________________________________ 
 
Кафедра “Математика” 
 
 
 
 
А.С.МИЛЕВСКИЙ 
 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
 
 
 
Конспект лекций 
 
Для студентов  
направления «Экономика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва - 2018 
 
 
2   
 
 

 
УДК-512.64 (075) 
М-60 
Милевский А.С. Линейная алгебра. Конспект лекций. 
– М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 89 c. 
 
Конспект лекций предназначен для студентов, изучающих курс линейной алгебры. Включает материал по 
матричной алгебре, системам линейных уравнений, 
линейным пространствам, евклидовым пространствам, комплексным числам, векторной алгебре, аналитической геометрии. 
 
Рецензенты: 
Тюрин Н.А., профессор РАН по отд. мат. наук,  
доктор ф.-м.н., нач. сектора №1 научного отдела 
«Современная математическая физика» ЛТФ ОИЯИ 
(Дубна). 
Деснянский В.Н., профессор, к.ф.-м.н., зав. кафедрой  
“Математический анализ” РУТ (МИИТ). 
 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 
3   
 
 

1. Матрицы 
1.1. n
1.1. n-мерные
мерные векторы
векторы
a2
Пример
Пример.
. Двумерный вектор
a
a = (a1;a2)
a1
Координаты
вектора
Пример
Пример.
. Трёхмерный вектор
a = (a1;a2;a3)
Пример
Пример.
. n-мерный вектор
a = (a1;a2;…;an)
a


1
a
2
=
a
...
Замечание
Замечание.
. Нередко n-мерный вектор
записывается в столбик. Вот так:










n
a


 
1.2. 
1.2. Линейные
Линейные операции
операции над
над векторами
векторами
1
1.2.1 
.2.1 Умножение
Умножение вектора
вектора на
на число
число
Пример
Пример
Если a = (–1;4;0;2), то
(–3)·a = (3; –12;0; –6)
1
1.2.2 
.2.2 Сложение
Сложение векторов
векторов одинаковой
одинаковой размерности
размерности
Пример
Пример
Если a = (–1;4;0;1;2), b = (2;1;3;1;1), то
a+b = (1;5;3;2;3)
Замечание
Замечание.
. Аналогично
определяется
вычитание векторов
 
3 
 

1.
1.3
3. 
. Матрицы
Матрицы
...
a
a
a


1
12
11
n
a
a
a
2
22
21
n
Матрица- это прямоугольная
таблица из чисел










...
...
...
...
...
...
a
a
a
2
1
mn
m
m


Пример
Пример. 
. Матрица
размера 4×2 (4 строки, 2 
столбца):
4
1


Обозначение. aij – это число, 
стоящее в i-й строке и j-м
столбце
A
−
=










−
π
2
2
0
1
4


Если число строк равно числу
столбцов, то матрица называется
квадратной
 
•
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим
числом. 
•
Матрица, все элементы которой равны нулю, называются
нулевой матрицей и обозначается через 0. 
•
Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют
элементами главной диагонали. 
•
Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы
главной диагонали, называются диагональными матрицами и
записываются так:
0
...
0
a


11
a
22
A
=










...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
nn
a


 
4 
 

Если все элементы aii диагональной
матрицы равны 1 , то она называется
единичной и обозначается E
Примеры
Примеры единичных
единичных матриц
матриц различного
различного размера
размера:
:


0
0
1


=
=
( )
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
,
1
0
0
1
,
1
E
E
E
E

=










=



1
0
0
0
1
0












1
0
0
0


 
1.4. 
1.4. Линейные
Линейные операции
операции над
над матрицами
матрицами
1
1.
.4
4.1 
.1 Умножение
Умножение матрицы
матрицы на
на число
число
Пример
Пример
2
4
1
A
A
10
20
5
5
1
5
3

−
−
=
5
25
15





−
−
=
⋅
⇒










1
1.
.4
4.2 
.2 Сложение
Сложение матриц
матриц одинакового
одинакового размера
размера
Пример
Пример

−
−
1
11
4
3
7
3
2
6
1
1
3
2
1
5
3
2
4
1





−
+








−
=










Задача
Задача.
. Решить
Решить

−
+
1
2
23
9
2
2
3
1
4X





=







матричное
матричное
уравнение
уравнение



 
5 
 

1.
1.5
5. 
. Транспонирование
Транспонирование матрицы
матрицы
3
1
−


Пример
Пример.
.
2
4
1
T
A
A
1
5
3
=
⇒














−
−
=
1
2
5
4
−


2×3
3×2
Свойство
Свойство:
:
(
)
A
A
T
T
=
 
1.6. 
1.6. Умножение
Умножение матриц
матриц
Произведение A·B 
матриц A и B 
определено, только
если количество
столбцов в матрице A
равно количеству
строк в матрице В
3
1

Пример
Пример.
.
,
2
4
1
B
A
Если
Если
(
)







=
=
1
6
1
2


то
то можно
можно умножить
умножить A (3 
A (3 столбца
столбца)
) на
на B
B (3 
(3 строки
строки),
),
и
и нельзя
нельзя умножить
умножить B 
B на
на A
A
 
6 
 

Пример
Пример.
. Если
Если матрица A состоит из одной
строки (размер 1×n), а матрица B – из одного
столбца (размер n×1), то A·B – размера 1×1, т,е. 
число:
2


⋅
−
5
2
3
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
+
⋅
=
(
)
(
)
(
)
42
7
5
4
2
1
)
3
(
2
1










7
4
1


A
B
A·B
 
 
7 
 



⋅



Итак
Итак,
,
(
)
(
)
9
21
1
6
1
2
3
1
2
4
1
=







−
=
A
B
B
A
B
A





=






Задача
Задача.
.
?
?
.
5
2
4
1
3
0
,
4
1
1
0
2
1
=
⋅
=
⋅





Ответ
Ответ

4
1
3
0
4
1
1
0
2
1
,
21
9
11
2

−












⋅




=






5
2






4
1
3
0
16
6
3
12
3
3
4
1
1
0
2
1




−
−
=










−
⋅






5
2
20
9
3
−




 
 
8 
 

 
1.
1.7
7. 
. Свойства
Свойства умножения
умножения матриц
матриц
1. A·E=E·A=A
2. (αA)·B= α(A·B), α–любое число
3. (A·B)·C=A·(B·C)
4. (A+B)·C =A·C+B·C
5. A·(B+C)=A·B+A·C
6. (A·B)T=BT ·AT
Замечание
Замечание.
. Из первого свойства видно, что единичные
матрицы при умножении ведут себя как число “1”.
1
1
 
9