Сложные проценты

 

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 

 

 КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 

 
 

 

М.В. Ишханян, Л.В. Кекух 

 
 

Сложные  проценты 

 

Учебное пособие 

 

 
 
 
 
 
 

 

Москва – 2018 

 
 

 

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 

 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 
 
 
 

М.В. Ишханян, Л.В. Кекух 

 
 
 

Сложные  проценты 

 
 

Учебное пособие 

 для студентов направления   

 «Экономика» 

 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 

 

УДК – 51 
И 97 

 
Ишханян М.В., Кекух Л.В.  Сложные проценты: Учеб
ное пособие.  – М.: РУТ(МИИТ), 2018. – 75 с. 

Учебное пособие предназначено для студентов направ
ления 380301 «Экономика», обучающихся по дисциплине 
«Финансовая математика». Учебное пособие удовлетворяет 
требованиям ФГОС 3+  и написано в соответствие рабочей 
программой дисциплины «Финансовая математика».  Пособие включает следующие темы: «Формула наращения», 
«Сравнение роста по сложным и простым процентам», «Номинальная ставка», «Эффективная ставка», «Дисконтирование по сложной ставке», «Эффективная учетная ставка», 
«Наращение по учетной ставке», «Определение срока ссуды 
и размера процентной ставки», «Непрерывные проценты», 
«Связь дискретных и непрерывных процентных ставок». 
Предлагаемое пособие содержит задачи для самостоятельного решения и может быть полезно в процессе аудиторной 
и самостоятельной работы студентов.   
 
 
 
 

Рецензенты:  
 
О.А. Платонова, к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой «Высшая и 
вычислительная математика» РУТ(МИИТ). 
А.С. Поляков, к.ф.-м.н., старший консультант ООО «Глоу 
Байт Консалтинг». 

 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 

Оглавление 
§1. Формула наращения .................................................. 4 

Переменные ставки ...................................................... 6 

§2. Сравнение роста по сложным и простым процентам

 ................................................................................................... 7 

§3. Номинальная ставка ................................................... 8 
§4. Эффективная ставка ................................................. 11 
§5. Дисконтирование по сложной ставке .................... 12 

Математическое дисконтирование ........................... 12 

Правило 69 ............................................................... 16 
Правило 72 ............................................................... 16 

Учет по сложной учетной ставке .............................. 16 

§6. Эффективная учетная ставка .................................. 17 
§7. Наращение по учетной ставке ................................ 18 
§8. Определение срока ссуды и размера процентной 

ставки ..................................................................................... 19 

Срок ссуды .................................................................. 19 
Величина процентной ставки .................................... 20 

§9.Непрерывные проценты ........................................... 23 

Формула непрерывного начисления процентов ...... 23 
Сила роста ................................................................... 25 
Переменная сила роста .............................................. 26 

§10.  Связь дискретных и непрерывных процентных 

ставок...................................................................................... 29 

§11. Практикум ............................................................... 31 

Решение типовых задач ............................................. 31 
Задачи для самостоятельного решения .................... 45 
Тестовые задания ....................................................... 53 

Приложения .................................................................... 73 

Приложение 1 ............................................................. 73 
Приложение 2 ............................................................. 74 

Литература ...................................................................... 75 
 

§1. Формула наращения  
 
В среднесрочных и долгосрочных финансовых опера
циях, если проценты не выплачиваются сразу после их 
начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют 
сложные проценты.  

База для начисления сложных процентов не остается 

постоянной – она увеличивается во времени. Присоединение начисленных  процентов к сумме, которая послужила 
базой для их начисления, называют капитализацией процентов. 

Найдем формулу для расчета наращенной суммы. 
Пусть Р – первоначальная сумма, i – годовая процент
ная ставка. 

За первый год наращенная сумма равна 

𝑆1 = 𝑃 +  𝑃𝑖 = 𝑃 (1 + 𝑖). 

За второй год наращенная сумма равна 

𝑆2 = 𝑆1 + 𝑆1𝑖 = 𝑆1(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)2. 

    За третий год наращенная сумма равна    

    𝑆3 = 𝑆2 + 𝑆2𝑖 = 𝑆2(1 + 𝑖) = 𝑃(1 + 𝑖)3 и т. д. 

За 𝑛 лет наращенная сумма равна 

𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
(1)

 
Формулу (1) называют формулой наращения по слож
ным процентам. 

( 1 + 𝑖)𝑛 – множитель наращения по сложным процентам. 

Точность расчета множителя в практических расчетах 

определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.) 

Проценты за срок n находят по формуле: 
 

𝐼 = 𝑆 − 𝑃 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 − 𝑃 = 𝑃((1 + 𝑖)𝑛 − 1) 

 
Часть данных процентов получена за счет начисления 

процентов на проценты. Она составляет 

𝐼𝑝 = 𝑃[(1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑛𝑖)] 

Очевидно, что с ростом срока доля процентов на про
центы в общей сумме начисленных процентов увеличивается. 

Рост по сложным процентам представляет собой про
цесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель – (1 +  𝑖). 

Последний член прогрессии равен наращенной сумме в 

конце срока ссуды. 

Графическая иллюстрация наращения по сложным про
центам представлена на рис. 1. 

 

 

Рис.1 

 

Пример 1.1

Сбербанк начисляет ежегодно 5,5% годовых (слож
ных). Клиент положил в этот банк 10000 руб. Какой будет 
сумма на счету через 5 лет?

Решение.
𝑃=10000 руб., 𝑖 = 5,5%, 𝑛 = 5 лет, 𝑆 – ?
Наращённую сумму найдём по формуле наращения 

по сложным процентам(1):

𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 = 10000 (1 + 0,055)5 = 13069,60

≈ 13070 руб.

Примечание. Время при наращении по сложной ставке 

обычно измеряется как 365/365. 

Переменные ставки 
 
Формула (1) предполагает постоянную ставку на протя
жении всего срока начисления процентов.  

В случае, когда в контракте фиксируются изменения 

размеров ставок, то наращенная сумма вычисляется по формуле: 
 

𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖1)𝑛1(1 + 𝑖2)𝑛2 ⋅ … ⋅ (1 + 𝑖𝑘)𝑛𝑘,
(2)

 
где 𝑖1, 𝑖2, …, 𝑖𝑘 – последовательные значения ставок, 𝑛1, 𝑛2, 
…, 𝑛𝑘 – периоды, в течение которых «работают» соответствующие ставки. 

 

Пример 1.2

Контракт предусматривает следующий порядок 

начисления процентов в течение 5 лет: первые два года –
12,5% (сложных), в оставшиеся три года – 12,75%. Определить множитель наращения за 5 лет.

Решение.

𝑛 = 5 лет,   𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 𝑛5
𝑛1 = 𝑛2 = 1 год (итого 2 года), 𝑖1 = 𝑖2 = 12,5%
𝑛3 = 𝑛4 = 𝑛5 = 1 год (итого 3 года), 𝑖3 = 𝑖4 = 𝑖5 =

12,75%

(1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2)-?
Множитель наращения по сложным процентам равен:
( 1 + 0,125)2(1 + 0,1275)3 = 1,265625 ⋅ 1,433341

= 1,81407

 

§2. Сравнение роста по сложным и 

простым процентам 

 
Сравним множители наращения по простым и сложным 

процентным ставкам: 
1 +  𝑛𝑖 – множитель наращения по простым процентам; 
( 1 + 𝑖)𝑛– множитель наращения по сложным процентам. 

При  n = 1 множители наращения равны.  
При  n < 1 множитель наращения по простым процентам 

больше множителя наращения по сложным процентам. 

При  n > 1 множитель  наращения по сложным процен
там больше множителя  наращения по простым процентам.  

Отметим также, что при n > 1 с увеличением срока раз
личие в последствиях применения простых и сложных процентов усиливается. Графическую иллюстрацию соотношения множителей наращения см. на рис.2.