Производная и ее свойства

 
 

Министерство транспорта  

Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

 «Российский университет транспорта  (МИИТ)» 

___________________________________________________ 

Кафедра «Математика» 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

А.И. ГУСЕВ 

 

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 

 
 

 

Министерство транспорта  

Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

 «Российский университет транспорта  (МИИТ)» 

__________________________________________________ 

Кафедра «Математика» 

 

 
 

 
 

 
 
 
 
 
 

А.И. Гусев 

 

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 

для студентов экономических специальностей 

 

 
 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

 
 

 
 

УДК  517 
Г96  

     

 Гусев А.И.  Производная и ее свойства: Учебно-методическое пособие. 

– М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 38 с. 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
      В 
учебно-методическом 
пособии 
представлен 
теоретический 
и 

практический  материал  для вычисления производных функций. Рассмотрены 
явный, неявный и  параметрический  вид задания функций.  
     Изложенный материал иллюстрируется  большим количеством  примеров и 
задач разного уровня сложности. 
      Учебно-методическое пособие содержит варианты  индивидуальных 
заданий. 
 

 
 
Рецензент д.т.н., профессор кафедры «Высшая математика» РУТ (МИИТ) 
                    Е.В.Корольков 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

© РУТ (МИИТ), 2018 

Определение  производной 
 
     Пусть функция   у = f (x )  определена на интервале ( а, b ).  Возьмем какоенибудь значение   
х  ( а, b ). Затем возьмем другое новое значение аргумента  х + х  ( а, b ),  
где  х может быть как положительным, так и отрицательным. Найдем 
приращение функции  у,  отвечающее приращению  х  аргумента:     у =  f 
(x + х ) -  f (x ). 
     Составим  разностное отношение приращения функции у  к 
соответствующему приращению  х  0  аргумента:                     

).
0
(
)
(
)
(










x
x

x
f
x
x
f

x
y
   

     При фиксированном  х  это отношение является функцией от  х:   
 
x
y


  = φ (х) . 

Если при  х  0  существует предел отношения   y / х,  то этот 

предел называется  производной от функции у = f (x ) в данной точке х
и обозначается    f (x ).
 

 

   Функция  у = f ( x ), имеющая производную в каждой точке интервала 
 ( а, b ), называется дифференцируемой  в этом интервале;  операция 
нахождения производной функции называется дифференцированием.    
 

Геометрический смысл производной  

  

   Рассмотрим график функции   у = f ( x ), непрерывной на интервале ( а, b ).   
Фиксируем произвольную точку  М (х, f ( x ) )  кривой   у = f ( x ).  Пусть 
Р (х +х, f (х + х ) )– другая точка этой кривой  (см. Рис.1). Проведем 
секущую МР .